Номер 742, страница 165 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Числовые неравенства. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 742, страница 165.

742. Одноклассники Коля и Миша вышли одновременно из посёлка на станцию. Коля шёл со скоростью $5 \text{ км/ч}$, а Миша первую половину пути шёл со скоростью, на $0,5 \text{ км/ч}$ большей, чем Коля, а вторую половину пути — со скоростью, на $0,5 \text{ км/ч}$ меньшей, чем Коля. Кто из них первым пришёл на станцию?

Для того чтобы определить, кто из мальчиков пришёл на станцию первым, нам необходимо сравнить время, которое каждый из них затратил на весь путь. Пусть всё расстояние от посёлка до станции равно $S$ км.

Время в пути для Коли

Коля шёл весь путь с постоянной скоростью.
Скорость Коли: $v_К = 5$ км/ч.
Время, которое Коля затратил на весь путь $S$, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$:
$t_К = \frac{S}{5}$ ч.

Время в пути для Миши

Миша прошёл первую половину пути ($\frac{S}{2}$) с одной скоростью, а вторую половину ($\frac{S}{2}$) — с другой.
1. Скорость Миши на первой половине пути была на 0,5 км/ч больше скорости Коли:
$v_{М1} = 5 + 0,5 = 5,5$ км/ч.
Время, затраченное на первую половину пути:
$t_{М1} = \frac{S/2}{v_{М1}} = \frac{S/2}{5,5} = \frac{S}{2 \cdot 5,5} = \frac{S}{11}$ ч.

2. Скорость Миши на второй половине пути была на 0,5 км/ч меньше скорости Коли:
$v_{М2} = 5 - 0,5 = 4,5$ км/ч.
Время, затраченное на вторую половину пути:
$t_{М2} = \frac{S/2}{v_{М2}} = \frac{S/2}{4,5} = \frac{S}{2 \cdot 4,5} = \frac{S}{9}$ ч.

Общее время Миши в пути равно сумме времени на двух участках:
$t_М = t_{М1} + t_{М2} = \frac{S}{11} + \frac{S}{9}$
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю $11 \cdot 9 = 99$:
$t_М = \frac{9S}{99} + \frac{11S}{99} = \frac{9S + 11S}{99} = \frac{20S}{99}$ ч.

Сравнение времени Коли и Миши

Теперь сравним время, затраченное Колей и Мишей.
Время Коли: $t_К = \frac{S}{5}$
Время Миши: $t_М = \frac{20S}{99}$

Чтобы сравнить эти два выражения, нам нужно сравнить дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{20}{99}$. Приведём их к общему знаменателю $5 \cdot 99 = 495$:
$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 99}{5 \cdot 99} = \frac{99}{495}$
$\frac{20}{99} = \frac{20 \cdot 5}{99 \cdot 5} = \frac{100}{495}$

Сравниваем полученные дроби:
$\frac{99}{495} < \frac{100}{495}$
Это означает, что $\frac{1}{5} < \frac{20}{99}$, и, следовательно, $t_К < t_М$.

Поскольку время Коли в пути меньше времени Миши, Коля пришёл на станцию первым.

Ответ: Коля пришёл на станцию первым.