Номер 749, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Свойства числовых неравенств. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 749, страница 168.

749. Какими числами (положительными или отрицательными) являются a и b, если известно, что верны неравенства:

a) $a - 3 > b - 3$ и $b > 4;

б) $a - 8 > b - 8$ и $a < -12;

в) $7a > 7b$ и $b > \frac{1}{2};

г) $-2a > -2b$ и $b < -\frac{1}{3}$?

а)

Даны неравенства: $a - 3 > b - 3$ и $b > 4$.

Из второго неравенства $b > 4$ следует, что число $b$ больше положительного числа 4, а значит, $b$ само является положительным числом.

Рассмотрим первое неравенство $a - 3 > b - 3$. По свойству неравенств, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство. Прибавим к обеим частям число 3:

$a - 3 + 3 > b - 3 + 3$

Получим $a > b$.

Так как $a > b$ и $b > 4$, то по свойству транзитивности неравенств получаем, что $a > 4$. Это означает, что число $a$ также является положительным.

Ответ: $a$ и $b$ — положительные числа.

б)

Даны неравенства: $a - 8 > b - 8$ и $a < -12$.

Из второго неравенства $a < -12$ следует, что число $a$ меньше отрицательного числа -12, а значит, $a$ само является отрицательным числом.

Рассмотрим первое неравенство $a - 8 > b - 8$. Прибавим к обеим частям число 8:

$a - 8 + 8 > b - 8 + 8$

Получим $a > b$, что то же самое, что и $b < a$.

Так как $b < a$ и $a < -12$, то по свойству транзитивности неравенств получаем, что $b < -12$. Это означает, что число $b$ также является отрицательным.

Ответ: $a$ и $b$ — отрицательные числа.

в)

Даны неравенства: $7a > 7b$ и $b > \frac{1}{2}$.

Из второго неравенства $b > \frac{1}{2}$ следует, что число $b$ больше положительного числа $\frac{1}{2}$, а значит, $b$ само является положительным числом.

Рассмотрим первое неравенство $7a > 7b$. По свойству неравенств, если обе части верного неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Разделим обе части на 7 (так как $7 > 0$):

$\frac{7a}{7} > \frac{7b}{7}$

Получим $a > b$.

Так как $a > b$ и $b > \frac{1}{2}$, то по свойству транзитивности $a > \frac{1}{2}$. Это означает, что число $a$ также является положительным.

Ответ: $a$ и $b$ — положительные числа.

г)

Даны неравенства: $-2a > -2b$ и $b < -\frac{1}{3}$.

Из второго неравенства $b < -\frac{1}{3}$ следует, что число $b$ меньше отрицательного числа $-\frac{1}{3}$, а значит, $b$ само является отрицательным числом.

Рассмотрим первое неравенство $-2a > -2b$. По свойству неравенств, если обе части верного неравенства разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. Разделим обе части на -2 (так как $-2 < 0$) и поменяем знак $>$ на $

$\frac{-2a}{-2} < \frac{-2b}{-2}$

Получим $a < b$.

Так как $a < b$ и $b < -\frac{1}{3}$, то по свойству транзитивности $a < -\frac{1}{3}$. Это означает, что число $a$ также является отрицательным.

Ответ: $a$ и $b$ — отрицательные числа.