Страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

748. Известно, что $a < b$. Сравните, если возможно, $a$ и $b + 1$, $a - 3$ и $b$, $a - 5$ и $b + 2$, $a + 4$ и $b - 1$.

a и b + 1

По условию задачи известно, что $a < b$. Нам нужно сравнить $a$ и $b + 1$. Так как прибавление положительного числа (1) к числу $b$ увеличивает его, то справедливо неравенство $b < b + 1$. Теперь у нас есть система из двух неравенств: $a < b$ и $b < b + 1$. По свойству транзитивности неравенств (если $x < y$ и $y < z$, то $x < z$), мы можем сделать вывод, что $a < b + 1$.

Ответ: $a < b + 1$.

a - 3 и b

По условию $a < b$. Сравним $a - 3$ и $b$. Вычитание положительного числа (3) из числа $a$ уменьшает его, поэтому $a - 3 < a$. Мы получили систему неравенств: $a - 3 < a$ и $a < b$. Снова используя свойство транзитивности, получаем, что $a - 3 < b$.

Ответ: $a - 3 < b$.

a - 5 и b + 2

По условию $a < b$. Сравним $a - 5$ и $b + 2$. Мы знаем, что $a - 5 < a$ (так как вычитаем 5) и $b < b + 2$ (так как прибавляем 2). Мы можем объединить эти неравенства с исходным в одну цепочку: $a - 5 < a < b < b + 2$. Из этой цепочки следует, что первый член ($a - 5$) меньше последнего ($b + 2$).

Ответ: $a - 5 < b + 2$.

a + 4 и b - 1

По условию $a < b$. Сравним $a + 4$ и $b - 1$. Для сравнения двух выражений можно рассмотреть их разность: $(a + 4) - (b - 1) = a + 4 - b + 1 = (a - b) + 5$.

Из условия $a < b$ следует, что разность $a - b$ является отрицательным числом: $a - b < 0$. Однако результат выражения $(a - b) + 5$ зависит от конкретных значений $a$ и $b$. Он может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Приведем примеры, удовлетворяющие условию $a < b$:

• Если $a = 1$ и $b = 10$, то $a + 4 = 5$, а $b - 1 = 9$. В этом случае $a + 4 < b - 1$.
• Если $a = 5$ и $b = 6$, то $a + 4 = 9$, а $b - 1 = 5$. В этом случае $a + 4 > b - 1$.
• Если $a = 1$ и $b = 6$, то $a + 4 = 5$, а $b - 1 = 5$. В этом случае $a + 4 = b - 1$.

Так как в зависимости от конкретных значений $a$ и $b$ результат сравнения может быть разным, однозначно сравнить эти выражения на основании имеющихся данных невозможно.

Ответ: Сравнить невозможно.

749. Какими числами (положительными или отрицательными) являются a и b, если известно, что верны неравенства:

a) $a - 3 > b - 3$ и $b > 4;

б) $a - 8 > b - 8$ и $a < -12;

в) $7a > 7b$ и $b > \frac{1}{2};

г) $-2a > -2b$ и $b < -\frac{1}{3}$?

а)

Даны неравенства: $a - 3 > b - 3$ и $b > 4$.

Из второго неравенства $b > 4$ следует, что число $b$ больше положительного числа 4, а значит, $b$ само является положительным числом.

Рассмотрим первое неравенство $a - 3 > b - 3$. По свойству неравенств, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство. Прибавим к обеим частям число 3:

$a - 3 + 3 > b - 3 + 3$

Получим $a > b$.

Так как $a > b$ и $b > 4$, то по свойству транзитивности неравенств получаем, что $a > 4$. Это означает, что число $a$ также является положительным.

Ответ: $a$ и $b$ — положительные числа.

б)

Даны неравенства: $a - 8 > b - 8$ и $a < -12$.

Из второго неравенства $a < -12$ следует, что число $a$ меньше отрицательного числа -12, а значит, $a$ само является отрицательным числом.

Рассмотрим первое неравенство $a - 8 > b - 8$. Прибавим к обеим частям число 8:

$a - 8 + 8 > b - 8 + 8$

Получим $a > b$, что то же самое, что и $b < a$.

Так как $b < a$ и $a < -12$, то по свойству транзитивности неравенств получаем, что $b < -12$. Это означает, что число $b$ также является отрицательным.

Ответ: $a$ и $b$ — отрицательные числа.

в)

Даны неравенства: $7a > 7b$ и $b > \frac{1}{2}$.

Из второго неравенства $b > \frac{1}{2}$ следует, что число $b$ больше положительного числа $\frac{1}{2}$, а значит, $b$ само является положительным числом.

Рассмотрим первое неравенство $7a > 7b$. По свойству неравенств, если обе части верного неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Разделим обе части на 7 (так как $7 > 0$):

$\frac{7a}{7} > \frac{7b}{7}$

Получим $a > b$.

Так как $a > b$ и $b > \frac{1}{2}$, то по свойству транзитивности $a > \frac{1}{2}$. Это означает, что число $a$ также является положительным.

Ответ: $a$ и $b$ — положительные числа.

г)

Даны неравенства: $-2a > -2b$ и $b < -\frac{1}{3}$.

Из второго неравенства $b < -\frac{1}{3}$ следует, что число $b$ меньше отрицательного числа $-\frac{1}{3}$, а значит, $b$ само является отрицательным числом.

Рассмотрим первое неравенство $-2a > -2b$. По свойству неравенств, если обе части верного неравенства разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. Разделим обе части на -2 (так как $-2 < 0$) и поменяем знак $>$ на $

$\frac{-2a}{-2} < \frac{-2b}{-2}$

Получим $a < b$.

Так как $a < b$ и $b < -\frac{1}{3}$, то по свойству транзитивности $a < -\frac{1}{3}$. Это означает, что число $a$ также является отрицательным.

Ответ: $a$ и $b$ — отрицательные числа.

750. Используя свойства неравенств, запишите верное неравенство, которое получится, если:

а) к обеим частям неравенства $18 > -7$ прибавить число $-5$; число $2,7$; число $7$;

б) из обеих частей неравенства $5 > -3$ вычесть число $2$; число $12$; число $-5$;

в) обе части неравенства $-9 < 21$ умножить на $2$; на $-1$; на $-\frac{1}{3}$;

г) обе части неравенства $15 > -6$ разделить на $3$; на $-3$; на $-1$.

а)

Исходное неравенство: $18 > -7$.

Свойство: если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство. Знак неравенства при этом не изменяется.

1. Прибавим к обеим частям число $-5$:

$18 + (-5) > -7 + (-5)$

$13 > -12$

2. Прибавим к обеим частям число $2,7$:

$18 + 2,7 > -7 + 2,7$

$20,7 > -4,3$

3. Прибавим к обеим частям число $7$:

$18 + 7 > -7 + 7$

$25 > 0$

Ответ: $13 > -12$; $20,7 > -4,3$; $25 > 0$.

б)

Исходное неравенство: $5 > -3$.

Свойство: если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то получится верное неравенство. Знак неравенства при этом не изменяется.

1. Вычтем из обеих частей число $2$:

$5 - 2 > -3 - 2$

$3 > -5$

2. Вычтем из обеих частей число $12$:

$5 - 12 > -3 - 12$

$-7 > -15$

3. Вычтем из обеих частей число $-5$:

$5 - (-5) > -3 - (-5)$

$10 > 2$

Ответ: $3 > -5$; $-7 > -15$; $10 > 2$.

в)

Исходное неравенство: $-9 < 21$.

Свойства: 1) если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство, при этом знак неравенства сохраняется; 2) если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

1. Умножим обе части на $2$ (положительное число, знак не меняется):

$-9 \cdot 2 < 21 \cdot 2$

$-18 < 42$

2. Умножим обе части на $-1$ (отрицательное число, знак меняется с < на $>$):

$-9 \cdot (-1) > 21 \cdot (-1)$

$9 > -21$

3. Умножим обе части на $-\frac{1}{3}$ (отрицательное число, знак меняется с < на $>$):

$-9 \cdot (-\frac{1}{3}) > 21 \cdot (-\frac{1}{3})$

$3 > -7$

Ответ: $-18 < 42$; $9 > -21$; $3 > -7$.

г)

Исходное неравенство: $15 > -6$.

Свойства: 1) если обе части верного неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство, при этом знак неравенства сохраняется; 2) если обе части верного неравенства разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

1. Разделим обе части на $3$ (положительное число, знак не меняется):

$15 : 3 > -6 : 3$

$5 > -2$

2. Разделим обе части на $-3$ (отрицательное число, знак меняется с $>$ на <):

$15 : (-3) < -6 : (-3)$

$-5 < 2$

3. Разделим обе части на $-1$ (отрицательное число, знак меняется с $>$ на <):

$15 : (-1) < -6 : (-1)$

$-15 < 6$

Ответ: $5 > -2$; $-5 < 2$; $-15 < 6$.

751. Известно, что $a < b$. Используя свойства неравенств, запишите верное неравенство, которое получится, если:

а) к обеим частям этого неравенства прибавить число 4;

б) из обеих частей этого неравенства вычесть число 5;

в) обе части этого неравенства умножить на 8;

г) обе части этого неравенства разделить на $\frac{1}{3}$;

д) обе части этого неравенства умножить на $-4,8$;

е) обе части этого неравенства разделить на $-1$.

а) Согласно свойству неравенств, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Прибавив число 4 к обеим частям исходного неравенства $a < b$, получим верное неравенство. Ответ: $a + 4 < b + 4$

б) Согласно свойству неравенств, если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Вычтя число 5 из обеих частей исходного неравенства $a < b$, получим верное неравенство. Ответ: $a - 5 < b - 5$

в) Согласно свойству неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Так как $8 > 0$, то при умножении обеих частей неравенства $a < b$ на 8 знак неравенства сохранится. Ответ: $8a < 8b$

г) Разделить обе части неравенства на $\frac{1}{3}$ равносильно умножению их на 3. Согласно свойству неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Так как $3 > 0$, то при делении обеих частей неравенства $a < b$ на $\frac{1}{3}$ знак неравенства сохранится. Ответ: $3a < 3b$

д) Согласно свойству неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный. Так как $-4,8 < 0$, то при умножении обеих частей неравенства $a < b$ на -4,8 знак неравенства $<$ меняется на $>$. Ответ: $-4,8a > -4,8b$

е) Согласно свойству неравенств, если обе части верного неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный. Так как $-1 < 0$, то при делении обеих частей неравенства $a < b$ на -1 знак неравенства $<$ меняется на $>$. Ответ: $-a > -b$

752. Известно, что $a < b$. Поставьте вместо звёздочки знак $<$ или $>$ так, чтобы получилось верное неравенство:

а) $-12,7a * -12,7b$;

б) $\frac{a}{3} * \frac{b}{3}$;

в) $0,07a * 0,07b$;

г) $-\frac{a}{2} * -\frac{b}{2}$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами числовых неравенств. Основное правило гласит: если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если же обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Нам дано исходное неравенство: $a < b$.

а)

Сравниваем выражения $-12,7a$ и $-12,7b$. Чтобы получить эти выражения из исходного неравенства $a < b$, нужно обе его части умножить на число $-12,7$. Так как $-12,7$ является отрицательным числом, знак неравенства $<$ нужно изменить на противоположный, то есть на $>$.

$a < b$

$a \cdot (-12,7) > b \cdot (-12,7)$

$-12,7a > -12,7b$

Ответ: $-12,7a > -12,7b$.

б)

Сравниваем выражения $\frac{a}{3}$ и $\frac{b}{3}$. Чтобы получить эти выражения, нужно обе части исходного неравенства $a < b$ разделить на число 3. Так как 3 является положительным числом, знак неравенства $<$ сохраняется.

$a < b$

$\frac{a}{3} < \frac{b}{3}$

Ответ: $\frac{a}{3} < \frac{b}{3}$.

в)

Сравниваем выражения $0,07a$ и $0,07b$. Для этого умножим обе части исходного неравенства $a < b$ на число $0,07$. Так как $0,07$ является положительным числом, знак неравенства $<$ сохраняется.

$a < b$

$a \cdot 0,07 < b \cdot 0,07$

$0,07a < 0,07b$

Ответ: $0,07a < 0,07b$.

г)

Сравниваем выражения $-\frac{a}{2}$ и $-\frac{b}{2}$. Эти выражения можно получить, умножив обе части исходного неравенства $a < b$ на число $-\frac{1}{2}$. Так как $-\frac{1}{2}$ является отрицательным числом, знак неравенства $<$ нужно изменить на противоположный, то есть на $>$.

$a < b$

$a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) > b \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$-\frac{a}{2} > -\frac{b}{2}$

Ответ: $-\frac{a}{2} > -\frac{b}{2}$.

753. Каков знак числа a, если известно, что:

а) $5a < 2a;$

б) $7a > 3a;$

в) $-3a < 3a;$

г) $-12a > -2a?$

а) Дано неравенство $5a < 2a$. Для определения знака числа $a$, решим это неравенство.
Перенесем член $2a$ из правой части в левую, изменив его знак:
$5a - 2a < 0$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$3a < 0$
Разделим обе части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не меняется:
$\frac{3a}{3} < \frac{0}{3}$
$a < 0$
Поскольку $a$ меньше нуля, число $a$ является отрицательным.
Ответ: число $a$ отрицательное.

б) Дано неравенство $7a > 3a$.
Перенесем член $3a$ из правой части в левую с противоположным знаком:
$7a - 3a > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$4a > 0$
Разделим обе части неравенства на 4. Знак неравенства сохраняется, так как 4 — положительное число:
$\frac{4a}{4} > \frac{0}{4}$
$a > 0$
Поскольку $a$ больше нуля, число $a$ является положительным.
Ответ: число $a$ положительное.

в) Дано неравенство $-3a < 3a$.
Перенесем член $3a$ из правой части в левую:
$-3a - 3a < 0$
Приведем подобные слагаемые:
$-6a < 0$
Разделим обе части неравенства на -6. При делении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$\frac{-6a}{-6} > \frac{0}{-6}$
$a > 0$
Поскольку $a$ больше нуля, число $a$ является положительным.
Ответ: число $a$ положительное.

г) Дано неравенство $-12a > -2a$.
Перенесем член $-2a$ из правой части в левую, изменив его знак:
$-12a + 2a > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$-10a > 0$
Разделим обе части неравенства на -10. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{-10a}{-10} < \frac{0}{-10}$
$a < 0$
Поскольку $a$ меньше нуля, число $a$ является отрицательным.
Ответ: число $a$ отрицательное.

754. Известно, что $c > d$. Объясните, на основании каких свойств можно утверждать, что верно неравенство:

а) $-7c < -7d$;

б) $\frac{c}{8} > \frac{d}{8}$;

в) $2c + 11 > 2d + 11$;

г) $0.01c - 0.7 > 0.01d - 0.7$;

д) $1 - c < 1 - d$;

е) $2 - \frac{c}{2} < 2 - \frac{d}{2}$.

Все преобразования основаны на свойствах числовых неравенств. Исходное условие: $c > d$.

а) $-7c < -7d$

Это неравенство получается из исходного неравенства $c > d$ путем умножения обеих его частей на отрицательное число $-7$.
Согласно свойству числовых неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
$c > d \quad | \cdot (-7)$
$-7c < -7d$

Ответ: Утверждение верно на основании свойства умножения обеих частей неравенства на отрицательное число.

б) $\frac{c}{8} > \frac{d}{8}$

Данное неравенство получено из исходного $c > d$ путем деления обеих его частей на положительное число $8$.
Согласно свойству числовых неравенств, если обе части верного неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
$c > d \quad | : 8$
$\frac{c}{8} > \frac{d}{8}$

Ответ: Утверждение верно на основании свойства деления обеих частей неравенства на положительное число.

в) $2c + 11 > 2d + 11$

Преобразование выполняется в два шага:
1. Сначала обе части исходного неравенства $c > d$ умножаются на положительное число $2$. Знак неравенства при этом сохраняется: $2c > 2d$.
2. Затем к обеим частям полученного неравенства прибавляется число $11$. При прибавлении одного и того же числа к обеим частям неравенства его знак также не меняется: $2c + 11 > 2d + 11$.

Ответ: Утверждение верно на основании свойств умножения на положительное число и прибавления числа к обеим частям неравенства.

г) $0,01c - 0,7 > 0,01d - 0,7$

Преобразование выполняется в два шага:
1. Обе части исходного неравенства $c > d$ умножаются на положительное число $0,01$. Знак неравенства сохраняется: $0,01c > 0,01d$.
2. Из обеих частей полученного неравенства вычитается число $0,7$. При вычитании одного и того же числа из обеих частей неравенства его знак не меняется: $0,01c - 0,7 > 0,01d - 0,7$.

Ответ: Утверждение верно на основании свойств умножения на положительное число и вычитания числа из обеих частей неравенства.

д) $1 - c < 1 - d$

Преобразование выполняется в два шага:
1. Обе части исходного неравенства $c > d$ умножаются на отрицательное число $-1$. Знак неравенства меняется на противоположный: $-c < -d$.
2. К обеим частям полученного неравенства прибавляется число $1$. Знак неравенства при этом не меняется: $1 - c < 1 - d$.

Ответ: Утверждение верно на основании свойств умножения на отрицательное число и прибавления числа к обеим частям неравенства.

е) $2 - \frac{c}{2} < 2 - \frac{d}{2}$

Преобразование выполняется в несколько шагов:
1. Сначала обе части исходного неравенства $c > d$ делятся на положительное число $2$. Знак неравенства сохраняется: $\frac{c}{2} > \frac{d}{2}$.
2. Затем обе части полученного неравенства умножаются на отрицательное число $-1$. Знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{c}{2} < -\frac{d}{2}$.
3. Наконец, к обеим частям прибавляется число $2$. Знак неравенства не меняется: $2 - \frac{c}{2} < 2 - \frac{d}{2}$.

Ответ: Утверждение верно на основании свойств деления на положительное число, умножения на отрицательное число и прибавления числа к обеим частям неравенства.