Страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

732. (Для работы в парах.) Увеличится или уменьшится дробь $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа, если к её числителю и знаменателю прибавить по 1?

1) Рассмотрите на примерах, как изменяется дробь $\frac{a}{b}$. (Одному учащемуся рекомендуем взять дроби, у которых числитель меньше знаменателя, а другому — дроби, у которых числитель больше знаменателя.)

2) Обсудите друг с другом ваши наблюдения и выскажите гипотезу для каждого случая.

3) Проведите доказательство: один — для случая $a < b$, а другой — для случая $a > b$.

4) Проверьте друг у друга правильность рассуждений.

1) Рассмотрите на примерах, как изменяется дробь $\frac{a}{b}$. (Одному учащемуся рекомендуем взять дроби, у которых числитель меньше знаменателя, а другому — дроби, у которых числитель больше знаменателя.)

Случай 1: Числитель меньше знаменателя ($a < b$)

• Возьмем правильную дробь $\frac{1}{2}$. Прибавим по 1 к числителю и знаменателю: $\frac{1+1}{2+1} = \frac{2}{3}$. Сравним исходную и новую дроби: $\frac{1}{2} = 0,5$, а $\frac{2}{3} \approx 0,667$. Поскольку $0,667 > 0,5$, дробь увеличилась.
• Возьмем другую правильную дробь $\frac{3}{5}$. Новая дробь будет $\frac{3+1}{5+1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Сравним $\frac{3}{5} = 0,6$ и $\frac{2}{3} \approx 0,667$. Дробь снова увеличилась.

Случай 2: Числитель больше знаменателя ($a > b$)

• Возьмем неправильную дробь $\frac{3}{2}$. Прибавим по 1 к числителю и знаменателю: $\frac{3+1}{2+1} = \frac{4}{3}$. Сравним дроби: $\frac{3}{2} = 1,5$, а $\frac{4}{3} \approx 1,333$. Поскольку $1,333 < 1,5$, дробь уменьшилась.
• Возьмем другую неправильную дробь $\frac{5}{3}$. Новая дробь будет $\frac{5+1}{3+1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$. Сравним $\frac{5}{3} \approx 1,667$ и $\frac{3}{2} = 1,5$. Дробь снова уменьшилась.

Ответ: Примеры показывают, что если к числителю и знаменателю правильной дроби ($a < b$) прибавить 1, дробь увеличивается. Если же это сделать с неправильной дробью ($a > b$), она уменьшается.

2) Обсудите друг с другом ваши наблюдения и выскажите гипотезу для каждого случая.

На основе наблюдений из пункта 1 можно выдвинуть следующие гипотезы:

• Гипотеза для случая $a < b$: Если к числителю и знаменателю правильной дроби $\frac{a}{b}$ прибавить по 1, то полученная дробь $\frac{a+1}{b+1}$ будет больше исходной дроби.
• Гипотеза для случая $a > b$: Если к числителю и знаменателю неправильной дроби $\frac{a}{b}$ прибавить по 1, то полученная дробь $\frac{a+1}{b+1}$ будет меньше исходной дроби.

Ответ: Гипотеза для правильной дроби ($a < b$): $\frac{a+1}{b+1} > \frac{a}{b}$. Гипотеза для неправильной дроби ($a > b$): $\frac{a+1}{b+1} < \frac{a}{b}$.

3) Проведите доказательство: один — для случая $a < b$, а другой — для случая $a > b$.

Для доказательства гипотез необходимо сравнить дробь $\frac{a}{b}$ с дробью $\frac{a+1}{b+1}$. Удобнее всего это сделать, найдя их разность: $\frac{a+1}{b+1} - \frac{a}{b}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $b(b+1)$:

$\frac{a+1}{b+1} - \frac{a}{b} = \frac{(a+1)b}{b(b+1)} - \frac{a(b+1)}{b(b+1)} = \frac{ab+b - (ab+a)}{b(b+1)} = \frac{ab+b-ab-a}{b(b+1)} = \frac{b-a}{b(b+1)}$

Знак этой разности определяет, какая из дробей больше.

Доказательство для случая $a < b$ (правильная дробь)

Рассмотрим полученное выражение $\frac{b-a}{b(b+1)}$:

• Знаменатель $b(b+1)$ является произведением двух натуральных чисел, поэтому он всегда положителен.
• Числитель $b-a$. Так как по условию $a < b$, то разность $b-a$ будет положительным числом ($b-a > 0$).

Поскольку и числитель, и знаменатель положительны, вся дробь положительна. Следовательно, $\frac{b-a}{b(b+1)} > 0$.

Из этого следует, что $\frac{a+1}{b+1} - \frac{a}{b} > 0$, что равносильно $\frac{a+1}{b+1} > \frac{a}{b}$. Гипотеза доказана.

Доказательство для случая $a > b$ (неправильная дробь)

Снова рассмотрим выражение $\frac{b-a}{b(b+1)}$:

• Знаменатель $b(b+1)$ также положителен.
• Числитель $b-a$. Так как по условию $a > b$, то разность $b-a$ будет отрицательным числом ($b-a < 0$).

Поскольку числитель отрицателен, а знаменатель положителен, вся дробь отрицательна. Следовательно, $\frac{b-a}{b(b+1)} < 0$.

Из этого следует, что $\frac{a+1}{b+1} - \frac{a}{b} < 0$, что равносильно $\frac{a+1}{b+1} < \frac{a}{b}$. Гипотеза доказана.

Ответ: Доказано, что для любых натуральных $a$ и $b$, если $a < b$, то прибавление 1 к числителю и знаменателю увеличивает дробь. Если $a > b$, то такая операция уменьшает дробь. (Стоит отметить, что если $a=b$, то дробь равна 1, и после прибавления 1 к числителю и знаменателю она останется равной 1, то есть не изменится).

4) Проверьте друг у друга правильность рассуждений.

Представленные выше рассуждения и доказательства математически корректны. Они основаны на общем методе сравнения дробей через вычитание. Анализ знака разности $\frac{b-a}{b(b+1)}$ однозначно определяет результат для каждого из двух случаев ($a < b$ и $a > b$).

Ответ: Рассуждения и доказательства верны.

733. Докажите, что при $a > 0$ верно неравенство $\frac{a+2}{a} - 2 \ge 2 - \frac{a+2}{2}$.

Для доказательства неравенства $\frac{a+2}{a} - 2 \geq 2 - \frac{a+2}{2}$ при $a > 0$ выполним равносильные преобразования. Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{a+2}{a} - 2 - 2 + \frac{a+2}{2} \geq 0$

Упростим выражение:

$\frac{a+2}{a} + \frac{a+2}{2} - 4 \geq 0$

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{a+2}{a}$ и $\frac{a+2}{2}$ равен $2a$. Так как по условию $a > 0$, то и $2a > 0$.

$\frac{2(a+2)}{2a} + \frac{a(a+2)}{2a} - \frac{4(2a)}{2a} \geq 0$

Запишем все выражение в виде одной дроби:

$\frac{2(a+2) + a(a+2) - 8a}{2a} \geq 0$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2a + 4 + a^2 + 2a - 8a}{2a} \geq 0$

$\frac{a^2 - 4a + 4}{2a} \geq 0$

Заметим, что числитель представляет собой полный квадрат разности:

$a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$

Подставим это выражение обратно в неравенство:

$\frac{(a-2)^2}{2a} \geq 0$

Теперь проанализируем полученное неравенство. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому числитель $(a-2)^2 \geq 0$ при любом значении $a$. По условию задачи $a > 0$, следовательно, знаменатель $2a$ также строго больше нуля ($2a > 0$).

Отношение неотрицательного числа (числителя) к положительному числу (знаменателю) всегда будет неотрицательным. Таким образом, неравенство $\frac{(a-2)^2}{2a} \geq 0$ является верным для всех $a > 0$.

Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

734. Докажите, что сумма любого положительного числа и числа, ему обратного, не меньше чем 2.

Для доказательства утверждения необходимо показать, что для любого положительного числа $a$ (то есть $a > 0$) выполняется неравенство: $a + \frac{1}{a} \ge 2$.

Рассмотрим два способа доказательства.

Способ 1: Алгебраические преобразования

Начнем с неравенства, которое нужно доказать:

$a + \frac{1}{a} \ge 2$

Поскольку по условию $a$ — положительное число ($a > 0$), мы можем умножить обе части неравенства на $a$. Знак неравенства при этом не изменится.

$a \cdot (a + \frac{1}{a}) \ge 2 \cdot a$

Раскроем скобки:

$a^2 + 1 \ge 2a$

Перенесём все члены в левую часть неравенства:

$a^2 - 2a + 1 \ge 0$

Левая часть этого неравенства представляет собой формулу квадрата разности:

$(a - 1)^2 \ge 0$

Полученное неравенство является истинным для любого действительного числа $a$, так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Поскольку все наши преобразования были равносильными для $a > 0$, то и исходное неравенство $a + \frac{1}{a} \ge 2$ также верно.

Равенство $a + \frac{1}{a} = 2$ достигается только тогда, когда $(a-1)^2 = 0$, то есть при $a=1$.

Способ 2: Использование неравенства о средних (неравенство Коши)

Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для двух неотрицательных чисел $x$ и $y$ гласит:

$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$

Поскольку по условию $a > 0$, то и обратное ему число $\frac{1}{a}$ также будет положительным. Применим неравенство Коши для чисел $x = a$ и $y = \frac{1}{a}$:

$\frac{a + \frac{1}{a}}{2} \ge \sqrt{a \cdot \frac{1}{a}}$

Упростим правую часть неравенства:

$\sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = \sqrt{1} = 1$

Теперь наше неравенство выглядит так:

$\frac{a + \frac{1}{a}}{2} \ge 1$

Умножим обе части на 2:

$a + \frac{1}{a} \ge 2$

Это полностью доказывает исходное утверждение. Равенство, согласно свойству неравенства Коши, достигается при $x=y$, то есть когда $a = \frac{1}{a}$, что приводит к $a^2=1$, и так как $a>0$, то $a=1$.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма любого положительного числа и обратного ему числа не меньше 2, причём равенство достигается только в том случае, если это число равно 1.

735. Докажите неравенство:

а) $ \frac{c^2+1}{2} \ge c; $

б) $ \frac{c}{c^2+1} \le \frac{1}{2}. $

а) Для доказательства неравенства $\frac{c^2+1}{2} \geq c$ выполним равносильные преобразования.

1. Умножим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства сохранится:

$c^2+1 \geq 2c$

2. Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства:

$c^2 - 2c + 1 \geq 0$

3. Заметим, что выражение в левой части является формулой квадрата разности:

$(c-1)^2 \geq 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной (то есть больше или равен нулю). Следовательно, неравенство $(c-1)^2 \geq 0$ верно при любых значениях $c$. Поскольку все выполненные преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $\frac{c^2+1}{2} \geq c$ верно для любого действительного числа $c$.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Для доказательства неравенства $\frac{c}{c^2+1} \leq \frac{1}{2}$ выполним равносильные преобразования.

1. Обратим внимание, что знаменатель дроби в левой части, $c^2+1$, всегда положителен при любом действительном $c$, так как $c^2 \geq 0$, и, следовательно, $c^2+1 \geq 1$.

2. Умножим обе части неравенства на положительное выражение $2(c^2+1)$. Знак неравенства при этом не изменится:

$2c \leq c^2+1$

3. Перенесём $2c$ в правую часть неравенства, изменив знак:

$0 \leq c^2 - 2c + 1$

4. Выражение в правой части представляет собой квадрат разности:

$0 \leq (c-1)^2$

Как и в предыдущем пункте, квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Таким образом, полученное неравенство верно для любого $c$. Ввиду равносильности всех преобразований, исходное неравенство $\frac{c}{c^2+1} \leq \frac{1}{2}$ также верно для любого действительного числа $c$.

Ответ: Неравенство доказано.

736. Используя выделение квадрата двучлена, докажите неравенство:

a) $a^2 - 6a + 14 > 0;$

б) $b^2 + 70 > 16b.$

a) Докажем неравенство $a^2 - 6a + 14 > 0$.

Для доказательства используем метод выделения полного квадрата. Левая часть неравенства представляет собой квадратный трехчлен. Чтобы выделить квадрат двучлена, воспользуемся формулой квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В выражении $a^2 - 6a + 14$ определим, какого слагаемого не хватает до полного квадрата. Слагаемое $-6a$ является удвоенным произведением $a$ на некоторое число. Запишем это как $-2 \cdot a \cdot 3$. Следовательно, вторым числом в двучлене является $3$, а для полного квадрата нам необходимо слагаемое $3^2 = 9$.

Представим число $14$ в виде суммы $9 + 5$ и сгруппируем слагаемые:

$a^2 - 6a + 14 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 9 + 5 = (a^2 - 6a + 9) + 5$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(a - 3)^2$. Таким образом, мы преобразовали левую часть неравенства:

$(a - 3)^2 + 5$

Теперь проанализируем полученное выражение. Выражение $(a - 3)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(a - 3)^2 \geq 0$ при любом значении $a$.

Наименьшее значение выражения $(a - 3)^2$ равно 0 (достигается при $a=3$).

Следовательно, наименьшее значение всего выражения $(a - 3)^2 + 5$ равно $0 + 5 = 5$.

Поскольку наименьшее значение левой части неравенства равно 5, а $5 > 0$, то выражение $(a - 3)^2 + 5$ всегда будет строго больше нуля при любом значении $a$.

Таким образом, неравенство $a^2 - 6a + 14 > 0$ доказано.

Ответ: Неравенство доказано, так как $a^2 - 6a + 14 = (a - 3)^2 + 5$, и поскольку $(a - 3)^2 \geq 0$ для любого $a$, то $(a - 3)^2 + 5 \geq 5 > 0$.

б) Докажем неравенство $b^2 + 70 > 16b$.

Сначала перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы получить стандартный вид для анализа:

$b^2 - 16b + 70 > 0$

Теперь, как и в предыдущем пункте, выделим полный квадрат в левой части, используя формулу $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В выражении $b^2 - 16b + 70$ слагаемое $-16b$ является удвоенным произведением $b$ на некоторое число. Запишем это как $-2 \cdot b \cdot 8$. Следовательно, вторым числом в двучлене является $8$, а для полного квадрата нам необходимо слагаемое $8^2 = 64$.

Представим число $70$ в виде суммы $64 + 6$ и сгруппируем слагаемые:

$b^2 - 16b + 70 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 8 + 64 + 6 = (b^2 - 16b + 64) + 6$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(b - 8)^2$. Таким образом, левая часть неравенства преобразуется к виду:

$(b - 8)^2 + 6$

Проанализируем полученное выражение. Выражение $(b - 8)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(b - 8)^2 \geq 0$ при любом значении $b$.

Наименьшее значение выражения $(b - 8)^2$ равно 0 (достигается при $b=8$).

Следовательно, наименьшее значение всего выражения $(b - 8)^2 + 6$ равно $0 + 6 = 6$.

Поскольку $6 > 0$, то и все выражение $(b - 8)^2 + 6$ всегда будет строго больше нуля при любом значении $b$.

Это доказывает, что неравенство $b^2 - 16b + 70 > 0$, а значит и исходное неравенство $b^2 + 70 > 16b$, верно.

Ответ: Неравенство доказано, так как $b^2 + 70 > 16b$ равносильно $b^2 - 16b + 70 > 0$, а $b^2 - 16b + 70 = (b - 8)^2 + 6$. Поскольку $(b - 8)^2 \geq 0$ для любого $b$, то $(b - 8)^2 + 6 \geq 6 > 0$.

737. Верно ли утверждение:

а) неравенство $a^2 > 2a - 3$ верно при любом значении $a$;

б) неравенство $4a - 4 < a^2$ верно при любом значении $a$;

в) неравенство $8a - 70 < a^2$ верно при любом значении $a$?

Если утверждение неверно, приведите для него контрпример.

а) Чтобы проверить, верно ли неравенство $a^2 > 2a - 3$ при любом значении $a$, перенесём все его члены в одну сторону: $a^2 - 2a + 3 > 0$.Рассмотрим левую часть как квадратичную функцию $y(a) = a^2 - 2a + 3$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх. Чтобы определить, всегда ли значение функции положительно, найдём её наименьшее значение, выделив полный квадрат:$a^2 - 2a + 3 = (a^2 - 2a + 1) + 2 = (a - 1)^2 + 2$.Поскольку $(a-1)^2$ является квадратом, его наименьшее значение равно 0 (при $a=1$). Следовательно, наименьшее значение всего выражения равно $0 + 2 = 2$.Так как $2 > 0$, то и выражение $(a - 1)^2 + 2$ всегда больше 0. Таким образом, неравенство верно при любом значении $a$.

Ответ: утверждение верно.

б) Рассмотрим неравенство $4a - 4 < a^2$. Перенесём все члены в одну сторону: $a^2 - 4a + 4 > 0$.Преобразуем левую часть, используя формулу квадрата разности:$(a - 2)^2 > 0$.Выражение $(a - 2)^2$ равно квадрату действительного числа. Оно всегда неотрицательно, то есть $(a - 2)^2 \ge 0$.Неравенство будет нарушаться в том случае, когда левая часть не строго больше нуля, а равна нулю. Это происходит при $a - 2 = 0$, то есть при $a = 2$.Если $a = 2$, то неравенство $(2 - 2)^2 > 0$ превращается в $0 > 0$, что является ложным.Значит, утверждение неверно.Контрпример: при $a = 2$ исходное неравенство $4(2) - 4 < 2^2$ даёт $4 < 4$, что неверно.

Ответ: утверждение неверно, контрпример $a=2$.

в) Проверим, верно ли неравенство $8a - 70 < a^2$ при любом значении $a$. Перенесём все члены в одну сторону: $a^2 - 8a + 70 > 0$.Рассмотрим левую часть как квадратичную функцию $y(a) = a^2 - 8a + 70$. Это парабола с ветвями, направленными вверх. Выделим полный квадрат, чтобы найти её наименьшее значение:$a^2 - 8a + 70 = (a^2 - 8a + 16) - 16 + 70 = (a - 4)^2 + 54$.Наименьшее значение выражения $(a - 4)^2$ равно 0 (при $a=4$). Следовательно, наименьшее значение всего выражения равно $0 + 54 = 54$.Так как $54 > 0$, то выражение $(a - 4)^2 + 54$ всегда больше 0. Таким образом, неравенство верно при любом значении $a$.

Ответ: утверждение верно.

738. (Для работы в парах.) Докажите, что если $a$ и $b$ — положительные числа и $a^2 > b^2$, то $a > b$. Пользуясь этим свойством, сравните числа:

а) $\sqrt{6} + \sqrt{3}$ и $\sqrt{7} + \sqrt{2}$;

б) $\sqrt{3} + 2$ и $\sqrt{6} + 1$;

в) $\sqrt{5} - 2$ и $\sqrt{6} - \sqrt{3}$;

г) $\sqrt{10} - \sqrt{7}$ и $\sqrt{11} - \sqrt{6}$.

1) Проведите доказательство приведённого утверждения.

2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено сравнение выражений. Исправьте ошибки, если они допущены.

1) Проведите доказательство приведённого утверждения.

Требуется доказать, что если $a$ и $b$ — положительные числа и $a^2 > b^2$, то $a > b$.
Доказательство:
Начнем с данного нам неравенства $a^2 > b^2$.
Перенесем $b^2$ в левую часть неравенства, чтобы сравнить разность с нулем:
$a^2 - b^2 > 0$
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ к левой части:
$(a - b)(a + b) > 0$
Рассмотрим множители. По условию, $a$ и $b$ — положительные числа, то есть $a > 0$ и $b > 0$. Следовательно, их сумма $a + b$ также является положительным числом: $a + b > 0$.
У нас есть произведение двух множителей $(a - b)$ и $(a + b)$, которое больше нуля. Поскольку мы установили, что множитель $(a + b)$ положителен, для того чтобы произведение было положительным, второй множитель $(a - b)$ также должен быть положителен.
Таким образом, мы получаем неравенство:
$a - b > 0$
Перенеся $b$ в правую часть, получаем итоговый результат:
$a > b$
Что и требовалось доказать.

а) $\sqrt{6}+\sqrt{3}$ и $\sqrt{7}+\sqrt{2}$

Обозначим сравниваемые числа как $x = \sqrt{6}+\sqrt{3}$ и $y = \sqrt{7}+\sqrt{2}$. Оба числа являются суммами положительных корней, а значит, они положительны. Воспользуемся доказанным свойством и сравним их квадраты.
$x^2 = (\sqrt{6}+\sqrt{3})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 6 + 2\sqrt{18} + 3 = 9 + 2\sqrt{9 \cdot 2} = 9 + 6\sqrt{2}$.
$y^2 = (\sqrt{7}+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 7 + 2\sqrt{14} + 2 = 9 + 2\sqrt{14}$.
Теперь сравним полученные выражения для $x^2$ и $y^2$: $9 + 6\sqrt{2}$ и $9 + 2\sqrt{14}$.
Отбросив одинаковое слагаемое $9$, сравнение сводится к сравнению $6\sqrt{2}$ и $2\sqrt{14}$. Разделим оба выражения на $2$: $3\sqrt{2}$ и $\sqrt{14}$.
Чтобы сравнить эти два положительных числа, возведем их в квадрат:
$(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.
$(\sqrt{14})^2 = 14$.
Так как $18 > 14$, то $(3\sqrt{2})^2 > (\sqrt{14})^2$, и следовательно, $3\sqrt{2} > \sqrt{14}$.
Это означает, что $6\sqrt{2} > 2\sqrt{14}$, и, соответственно, $9 + 6\sqrt{2} > 9 + 2\sqrt{14}$.
Таким образом, $x^2 > y^2$. Поскольку $x$ и $y$ положительны, из этого следует, что $x > y$.
Ответ: $\sqrt{6}+\sqrt{3} > \sqrt{7}+\sqrt{2}$.

б) $\sqrt{3}+2$ и $\sqrt{6}+1$

Обозначим $x = \sqrt{3}+2$ и $y = \sqrt{6}+1$. Оба числа положительны. Сравним их квадраты.
$x^2 = (\sqrt{3}+2)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 + 2^2 = 3 + 4\sqrt{3} + 4 = 7 + 4\sqrt{3}$.
$y^2 = (\sqrt{6}+1)^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 1 + 1^2 = 6 + 2\sqrt{6} + 1 = 7 + 2\sqrt{6}$.
Сравним $x^2$ и $y^2$: $7 + 4\sqrt{3}$ и $7 + 2\sqrt{6}$.
Сравнение сводится к сравнению $4\sqrt{3}$ и $2\sqrt{6}$. Разделим на $2$: $2\sqrt{3}$ и $\sqrt{6}$.
Возведем эти положительные числа в квадрат:
$(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.
$(\sqrt{6})^2 = 6$.
Так как $12 > 6$, то $2\sqrt{3} > \sqrt{6}$, а значит $4\sqrt{3} > 2\sqrt{6}$.
Следовательно, $7 + 4\sqrt{3} > 7 + 2\sqrt{6}$, то есть $x^2 > y^2$.
Так как $x, y > 0$, то $x > y$.
Ответ: $\sqrt{3}+2 > \sqrt{6}+1$.

в) $\sqrt{5}-2$ и $\sqrt{6}-\sqrt{3}$

Обозначим $x = \sqrt{5}-2$ и $y = \sqrt{6}-\sqrt{3}$.
Сначала проверим, являются ли эти числа положительными. $2 = \sqrt{4}$, поэтому $x = \sqrt{5}-\sqrt{4}$. Так как $5 > 4$, то $\sqrt{5} > \sqrt{4}$, следовательно $x > 0$.
Так как $6 > 3$, то $\sqrt{6} > \sqrt{3}$, следовательно $y > 0$.
Оба числа положительные, поэтому можно сравнить их квадраты.
$x^2 = (\sqrt{5}-2)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}$.
$y^2 = (\sqrt{6}-\sqrt{3})^2 = (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 6 - 2\sqrt{18} + 3 = 9 - 6\sqrt{2}$.
Сравним $x^2$ и $y^2$: $9 - 4\sqrt{5}$ и $9 - 6\sqrt{2}$.
Сравнение сводится к сравнению $-4\sqrt{5}$ и $-6\sqrt{2}$. Это эквивалентно сравнению положительных чисел $4\sqrt{5}$ и $6\sqrt{2}$ с последующим обращением знака неравенства.
Возведем $4\sqrt{5}$ и $6\sqrt{2}$ в квадрат:
$(4\sqrt{5})^2 = 16 \cdot 5 = 80$.
$(6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72$.
Так как $80 > 72$, то $4\sqrt{5} > 6\sqrt{2}$.
При умножении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный: $-4\sqrt{5} < -6\sqrt{2}$.
Прибавив $9$ к обеим частям, получаем $9 - 4\sqrt{5} < 9 - 6\sqrt{2}$, то есть $x^2 < y^2$.
Поскольку $x$ и $y$ положительны, из $x^2 < y^2$ следует, что $x < y$.
Ответ: $\sqrt{5}-2 < \sqrt{6}-\sqrt{3}$.

г) $\sqrt{10}-\sqrt{7}$ и $\sqrt{11}-\sqrt{6}$

Обозначим $x = \sqrt{10}-\sqrt{7}$ и $y = \sqrt{11}-\sqrt{6}$.
Проверим, являются ли числа положительными. Так как $10 > 7$, то $\sqrt{10} > \sqrt{7}$, следовательно $x > 0$. Так как $11 > 6$, то $\sqrt{11} > \sqrt{6}$, следовательно $y > 0$.
Оба числа положительные, сравним их квадраты.
$x^2 = (\sqrt{10}-\sqrt{7})^2 = 10 - 2\sqrt{70} + 7 = 17 - 2\sqrt{70}$.
$y^2 = (\sqrt{11}-\sqrt{6})^2 = 11 - 2\sqrt{66} + 6 = 17 - 2\sqrt{66}$.
Сравним $x^2$ и $y^2$: $17 - 2\sqrt{70}$ и $17 - 2\sqrt{66}$.
Сравнение сводится к сравнению $-2\sqrt{70}$ и $-2\sqrt{66}$. Это эквивалентно сравнению $2\sqrt{70}$ и $2\sqrt{66}$ с обращением знака неравенства.
Сравним $\sqrt{70}$ и $\sqrt{66}$. Так как $70 > 66$, то $\sqrt{70} > \sqrt{66}$, и $2\sqrt{70} > 2\sqrt{66}$.
Умножая на $-1$, меняем знак неравенства: $-2\sqrt{70} < -2\sqrt{66}$.
Прибавив $17$ к обеим частям, получаем $17 - 2\sqrt{70} < 17 - 2\sqrt{66}$, то есть $x^2 < y^2$.
Поскольку $x$ и $y$ положительны, из $x^2 < y^2$ следует, что $x < y$.
Ответ: $\sqrt{10}-\sqrt{7} < \sqrt{11}-\sqrt{6}$.

739. Докажите, что при $a \ge 0$ и $b \ge 0$ верно неравенство

$\frac{a+b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

Для доказательства неравенства $ \frac{a+b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} $ при условиях $a \ge 0$ и $b \ge 0$ выполним равносильные преобразования.

Поскольку по условию $a \ge 0$ и $b \ge 0$, обе части неравенства неотрицательны. Это позволяет нам возвести обе части в квадрат, не меняя знака неравенства:

$$ \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \le \left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\right)^2 $$

После возведения в квадрат получаем:

$$ \frac{(a+b)^2}{4} \le \frac{a^2+b^2}{2} $$

Раскроем скобки в числителе левой части по формуле квадрата суммы:

$$ \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \le \frac{a^2+b^2}{2} $$

Умножим обе части неравенства на 4. Так как 4 – положительное число, знак неравенства сохраняется:

$$ 4 \cdot \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \le 4 \cdot \frac{a^2+b^2}{2} $$

$$ a^2 + 2ab + b^2 \le 2(a^2+b^2) $$

Раскроем скобки в правой части и перенесем все слагаемые вправо:

$$ a^2 + 2ab + b^2 \le 2a^2 + 2b^2 $$

$$ 0 \le 2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 $$

Приведем подобные члены:

$$ 0 \le a^2 - 2ab + b^2 $$

Выражение в правой части является полным квадратом разности $a$ и $b$:

$$ 0 \le (a-b)^2 $$

Полученное неравенство $(a-b)^2 \ge 0$ истинно для любых действительных чисел $a$ и $b$, поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно при заданных условиях.

Ответ: Неравенство доказано, так как оно равносильно верному неравенству $(a-b)^2 \ge 0$.