Номер 734, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Числовые неравенства. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 734, страница 164.

734. Докажите, что сумма любого положительного числа и числа, ему обратного, не меньше чем 2.

Для доказательства утверждения необходимо показать, что для любого положительного числа $a$ (то есть $a > 0$) выполняется неравенство: $a + \frac{1}{a} \ge 2$.

Рассмотрим два способа доказательства.

Способ 1: Алгебраические преобразования

Начнем с неравенства, которое нужно доказать:

$a + \frac{1}{a} \ge 2$

Поскольку по условию $a$ — положительное число ($a > 0$), мы можем умножить обе части неравенства на $a$. Знак неравенства при этом не изменится.

$a \cdot (a + \frac{1}{a}) \ge 2 \cdot a$

Раскроем скобки:

$a^2 + 1 \ge 2a$

Перенесём все члены в левую часть неравенства:

$a^2 - 2a + 1 \ge 0$

Левая часть этого неравенства представляет собой формулу квадрата разности:

$(a - 1)^2 \ge 0$

Полученное неравенство является истинным для любого действительного числа $a$, так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Поскольку все наши преобразования были равносильными для $a > 0$, то и исходное неравенство $a + \frac{1}{a} \ge 2$ также верно.

Равенство $a + \frac{1}{a} = 2$ достигается только тогда, когда $(a-1)^2 = 0$, то есть при $a=1$.

Способ 2: Использование неравенства о средних (неравенство Коши)

Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для двух неотрицательных чисел $x$ и $y$ гласит:

$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$

Поскольку по условию $a > 0$, то и обратное ему число $\frac{1}{a}$ также будет положительным. Применим неравенство Коши для чисел $x = a$ и $y = \frac{1}{a}$:

$\frac{a + \frac{1}{a}}{2} \ge \sqrt{a \cdot \frac{1}{a}}$

Упростим правую часть неравенства:

$\sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = \sqrt{1} = 1$

Теперь наше неравенство выглядит так:

$\frac{a + \frac{1}{a}}{2} \ge 1$

Умножим обе части на 2:

$a + \frac{1}{a} \ge 2$

Это полностью доказывает исходное утверждение. Равенство, согласно свойству неравенства Коши, достигается при $x=y$, то есть когда $a = \frac{1}{a}$, что приводит к $a^2=1$, и так как $a>0$, то $a=1$.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма любого положительного числа и обратного ему числа не меньше 2, причём равенство достигается только в том случае, если это число равно 1.