Номер 739, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Числовые неравенства. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 739, страница 164.

739. Докажите, что при $a \ge 0$ и $b \ge 0$ верно неравенство

$\frac{a+b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

Для доказательства неравенства $ \frac{a+b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} $ при условиях $a \ge 0$ и $b \ge 0$ выполним равносильные преобразования.

Поскольку по условию $a \ge 0$ и $b \ge 0$, обе части неравенства неотрицательны. Это позволяет нам возвести обе части в квадрат, не меняя знака неравенства:

$$ \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \le \left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\right)^2 $$

После возведения в квадрат получаем:

$$ \frac{(a+b)^2}{4} \le \frac{a^2+b^2}{2} $$

Раскроем скобки в числителе левой части по формуле квадрата суммы:

$$ \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \le \frac{a^2+b^2}{2} $$

Умножим обе части неравенства на 4. Так как 4 – положительное число, знак неравенства сохраняется:

$$ 4 \cdot \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \le 4 \cdot \frac{a^2+b^2}{2} $$

$$ a^2 + 2ab + b^2 \le 2(a^2+b^2) $$

Раскроем скобки в правой части и перенесем все слагаемые вправо:

$$ a^2 + 2ab + b^2 \le 2a^2 + 2b^2 $$

$$ 0 \le 2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 $$

Приведем подобные члены:

$$ 0 \le a^2 - 2ab + b^2 $$

Выражение в правой части является полным квадратом разности $a$ и $b$:

$$ 0 \le (a-b)^2 $$

Полученное неравенство $(a-b)^2 \ge 0$ истинно для любых действительных чисел $a$ и $b$, поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно при заданных условиях.

Ответ: Неравенство доказано, так как оно равносильно верному неравенству $(a-b)^2 \ge 0$.