Номер 735, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Числовые неравенства. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 735, страница 164.

735. Докажите неравенство:

а) $ \frac{c^2+1}{2} \ge c; $

б) $ \frac{c}{c^2+1} \le \frac{1}{2}. $

а) Для доказательства неравенства $\frac{c^2+1}{2} \geq c$ выполним равносильные преобразования.

1. Умножим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства сохранится:

$c^2+1 \geq 2c$

2. Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства:

$c^2 - 2c + 1 \geq 0$

3. Заметим, что выражение в левой части является формулой квадрата разности:

$(c-1)^2 \geq 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной (то есть больше или равен нулю). Следовательно, неравенство $(c-1)^2 \geq 0$ верно при любых значениях $c$. Поскольку все выполненные преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $\frac{c^2+1}{2} \geq c$ верно для любого действительного числа $c$.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Для доказательства неравенства $\frac{c}{c^2+1} \leq \frac{1}{2}$ выполним равносильные преобразования.

1. Обратим внимание, что знаменатель дроби в левой части, $c^2+1$, всегда положителен при любом действительном $c$, так как $c^2 \geq 0$, и, следовательно, $c^2+1 \geq 1$.

2. Умножим обе части неравенства на положительное выражение $2(c^2+1)$. Знак неравенства при этом не изменится:

$2c \leq c^2+1$

3. Перенесём $2c$ в правую часть неравенства, изменив знак:

$0 \leq c^2 - 2c + 1$

4. Выражение в правой части представляет собой квадрат разности:

$0 \leq (c-1)^2$

Как и в предыдущем пункте, квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Таким образом, полученное неравенство верно для любого $c$. Ввиду равносильности всех преобразований, исходное неравенство $\frac{c}{c^2+1} \leq \frac{1}{2}$ также верно для любого действительного числа $c$.

Ответ: Неравенство доказано.