Номер 728, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Числовые неравенства. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 728, страница 163.

728. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:

a) $3(a + 1) + a < 4(2 + a);$

б) $(7p - 1)(7p + 1) < 49p^2;$

в) $(a - 2)^2 > a(a - 4);$

г) $(2a + 3)(2a + 1) > 4a(a + 2).$

а) Чтобы доказать неравенство $3(a + 1) + a < 4(2 + a)$, преобразуем его.
Сначала раскроем скобки в обеих частях:
$3 \cdot a + 3 \cdot 1 + a < 4 \cdot 2 + 4 \cdot a$
$3a + 3 + a < 8 + 4a$
Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:
$4a + 3 < 8 + 4a$
Теперь вычтем из обеих частей неравенства выражение $4a$:
$4a + 3 - 4a < 8 + 4a - 4a$
$3 < 8$
Мы получили верное числовое неравенство $3 < 8$, которое не зависит от значения переменной $a$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $a$.
Ответ: Неравенство верно при любом значении переменной.

б) Чтобы доказать неравенство $(7p - 1)(7p + 1) < 49p^2$, преобразуем его левую часть.
Воспользуемся формулой разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:
$(7p)^2 - 1^2 < 49p^2$
$49p^2 - 1 < 49p^2$
Вычтем из обеих частей неравенства $49p^2$:
$49p^2 - 1 - 49p^2 < 49p^2 - 49p^2$
$-1 < 0$
Мы получили верное числовое неравенство $-1 < 0$, которое не зависит от значения переменной $p$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $p$.
Ответ: Неравенство верно при любом значении переменной.

в) Чтобы доказать неравенство $(a - 2)^2 > a(a - 4)$, раскроем скобки в обеих его частях.
В левой части применим формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 > a \cdot a - a \cdot 4$
$a^2 - 4a + 4 > a^2 - 4a$
Прибавим к обеим частям неравенства выражение $4a$:
$a^2 - 4a + 4 + 4a > a^2 - 4a + 4a$
$a^2 + 4 > a^2$
Теперь вычтем из обеих частей $a^2$:
$a^2 + 4 - a^2 > a^2 - a^2$
$4 > 0$
Мы получили верное числовое неравенство $4 > 0$, которое не зависит от значения переменной $a$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $a$.
Ответ: Неравенство верно при любом значении переменной.

г) Чтобы доказать неравенство $(2a + 3)(2a + 1) > 4a(a + 2)$, раскроем скобки в обеих его частях.
В левой части перемножим многочлены, а в правой — распределим множитель:
$2a \cdot 2a + 2a \cdot 1 + 3 \cdot 2a + 3 \cdot 1 > 4a \cdot a + 4a \cdot 2$
$4a^2 + 2a + 6a + 3 > 4a^2 + 8a$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$4a^2 + 8a + 3 > 4a^2 + 8a$
Вычтем из обеих частей неравенства выражение $4a^2 + 8a$:
$4a^2 + 8a + 3 - (4a^2 + 8a) > 4a^2 + 8a - (4a^2 + 8a)$
$3 > 0$
Мы получили верное числовое неравенство $3 > 0$, которое не зависит от значения переменной $a$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $a$.
Ответ: Неравенство верно при любом значении переменной.