Номер 723, страница 159 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 723, страница 159.

723. При совместной работе двух копировальных машин можно снять ксерокопию с рукописи за 6 мин. Если сначала снять ксерокопию с половины рукописи одной машиной, а затем с оставшейся части — другой машиной, то вся работа будет закончена через 12,5 мин. За какое время можно снять ксерокопию с рукописи каждой машиной в отдельности?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть весь объем работы (копирование всей рукописи) равен 1.

Пусть $t_1$ — это время в минутах, за которое первая копировальная машина выполнит всю работу самостоятельно, а $t_2$ — время, за которое вторая машина выполнит всю работу.

Тогда производительность первой машины (часть работы, выполняемая за минуту) равна $v_1 = \frac{1}{t_1}$, а производительность второй машины — $v_2 = \frac{1}{t_2}$.

1. Составим первое уравнение на основе первого условия.

При совместной работе их производительности складываются. Вся работа выполняется за 6 минут. Значит, их совместная производительность равна $\frac{1}{6}$ работы в минуту.

Получаем первое уравнение:

$v_1 + v_2 = \frac{1}{6}$

Подставив выражения для $v_1$ и $v_2$, получим:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6}$

2. Составим второе уравнение на основе второго условия.

Первая машина копирует половину рукописи (работа равна $\frac{1}{2}$). Время, которое она на это тратит, равно $\frac{\text{работа}}{\text{производительность}} = \frac{1/2}{v_1} = \frac{1/2}{1/t_1} = \frac{t_1}{2}$ минут.

Затем вторая машина копирует оставшуюся половину рукописи. Время, которое она тратит, равно $\frac{1/2}{v_2} = \frac{1/2}{1/t_2} = \frac{t_2}{2}$ минут.

Общее время, затраченное на всю работу, составляет 12,5 минут. Получаем второе уравнение:

$\frac{t_1}{2} + \frac{t_2}{2} = 12,5$

Умножим обе части этого уравнения на 2, чтобы упростить его:

$t_1 + t_2 = 25$

3. Решим полученную систему уравнений.

У нас есть система:

$\begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{6} \\ t_1 + t_2 = 25 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $t_2$ через $t_1$:

$t_2 = 25 - t_1$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{25 - t_1} = \frac{1}{6}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{(25 - t_1) + t_1}{t_1(25 - t_1)} = \frac{1}{6}$

$\frac{25}{25t_1 - t_1^2} = \frac{1}{6}$

Используем правило пропорции:

$25 \cdot 6 = 1 \cdot (25t_1 - t_1^2)$

$150 = 25t_1 - t_1^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$t_1^2 - 25t_1 + 150 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: нам нужны два числа, сумма которых равна 25, а произведение — 150. Это числа 10 и 15.

Таким образом, корни уравнения: $t_1 = 10$ и $t_1 = 15$.

Теперь найдем соответствующие значения для $t_2$:

• Если $t_1 = 10$ минут, то $t_2 = 25 - 10 = 15$ минут.
• Если $t_1 = 15$ минут, то $t_2 = 25 - 15 = 10$ минут.

В обоих случаях мы получаем, что время работы одной машины — 10 минут, а другой — 15 минут.

Ответ: Одна машина может снять ксерокопию со всей рукописи за 10 минут, а другая — за 15 минут.