Номер 718, страница 159 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 718, страница 159.

718. Сплав меди с цинком, содержащий 6 кг цинка, сплавили с 13 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве понизилось на 26%. Какова была первоначальная масса сплава?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $m_{cu}$ — первоначальная масса меди в сплаве (в кг). По условию, первоначальная масса цинка в сплаве составляла 6 кг.

Тогда первоначальная масса всего сплава $M_1$ равна:

$M_1 = m_{cu} + 6$

Процентное содержание (концентрация) меди в первоначальном сплаве $C_1$ рассчитывается как отношение массы меди к общей массе сплава, умноженное на 100%:

$C_1 = \frac{m_{cu}}{M_1} \times 100\% = \frac{m_{cu}}{m_{cu} + 6} \times 100\%$

После того как к сплаву добавили 13 кг цинка, масса меди не изменилась ($m_{cu}$), а масса цинка стала равной $6 + 13 = 19$ кг. Масса нового сплава $M_2$ составила:

$M_2 = m_{cu} + 19$

Концентрация меди в новом сплаве $C_2$ стала равна:

$C_2 = \frac{m_{cu}}{M_2} \times 100\% = \frac{m_{cu}}{m_{cu} + 19} \times 100\%$

По условию, содержание меди понизилось на 26%. Это означает, что разница между начальной и конечной концентрациями составляет 26 процентных пунктов:

$C_1 - C_2 = 26$

Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$ в это уравнение:

$\frac{m_{cu}}{m_{cu} + 6} \times 100 - \frac{m_{cu}}{m_{cu} + 19} \times 100 = 26$

Разделим обе части уравнения на 100:

$\frac{m_{cu}}{m_{cu} + 6} - \frac{m_{cu}}{m_{cu} + 19} = 0.26$

Вынесем $m_{cu}$ за скобки и приведем дроби к общему знаменателю:

$m_{cu} \left( \frac{1}{m_{cu} + 6} - \frac{1}{m_{cu} + 19} \right) = 0.26$

$m_{cu} \left( \frac{(m_{cu} + 19) - (m_{cu} + 6)}{(m_{cu} + 6)(m_{cu} + 19)} \right) = 0.26$

$m_{cu} \left( \frac{13}{m_{cu}^2 + 25m_{cu} + 114} \right) = 0.26$

Представим 0.26 в виде обыкновенной дроби $26/100 = 13/50$:

$\frac{13m_{cu}}{m_{cu}^2 + 25m_{cu} + 114} = \frac{13}{50}$

Так как масса меди $m_{cu}$ не может быть равна нулю, разделим обе части уравнения на 13:

$\frac{m_{cu}}{m_{cu}^2 + 25m_{cu} + 114} = \frac{1}{50}$

Воспользуемся свойством пропорции:

$50m_{cu} = m_{cu}^2 + 25m_{cu} + 114$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$m_{cu}^2 + 25m_{cu} - 50m_{cu} + 114 = 0$

$m_{cu}^2 - 25m_{cu} + 114 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $m_{cu1} = 6$ и $m_{cu2} = 19$.

Таким образом, мы получили два возможных значения массы меди. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Масса меди $m_{cu} = 6$ кг.

Первоначальная масса сплава: $M_1 = m_{cu} + 6 = 6 + 6 = 12$ кг.

Проверка:

Начальная концентрация меди: $C_1 = (6/12) \times 100\% = 50\%$.

Конечная концентрация меди: $C_2 = (6/(6+19)) \times 100\% = (6/25) \times 100\% = 24\%$.

Разница концентраций: $50\% - 24\% = 26\%$. Условие выполняется.

Случай 2: Масса меди $m_{cu} = 19$ кг.

Первоначальная масса сплава: $M_1 = m_{cu} + 6 = 19 + 6 = 25$ кг.

Проверка:

Начальная концентрация меди: $C_1 = (19/25) \times 100\% = 76\%$.

Конечная концентрация меди: $C_2 = (19/(19+19)) \times 100\% = (19/38) \times 100\% = 50\%$.

Разница концентраций: $76\% - 50\% = 26\%$. Условие также выполняется.

Оба решения являются математически верными, следовательно, задача имеет два возможных ответа.

Ответ: первоначальная масса сплава была 12 кг или 25 кг.