Номер 714, страница 158 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 714, страница 158.

714. Отец и сын прошли 240 м, при этом отец сделал на 100 шагов меньше, чем сын. Найдите длину шага каждого из них, если шаг отца длиннее шага сына на 20 см.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — длина шага сына в метрах. Так как шаг отца на 20 см (0.2 м) длиннее, то его длина составляет $(x + 0.2)$ м.

Оба прошли одинаковое расстояние — 240 м. Расстояние равно произведению длины шага на количество шагов. Отсюда можно выразить количество шагов для каждого:

• Количество шагов сына: $n_{сына} = \frac{240}{x}$
• Количество шагов отца: $n_{отца} = \frac{240}{x + 0.2}$

По условию, отец сделал на 100 шагов меньше, чем сын. Составим уравнение:$n_{сына} - n_{отца} = 100$

Подставим выражения для количества шагов в это уравнение:$\frac{240}{x} - \frac{240}{x + 0.2} = 100$

Чтобы решить это уравнение, приведем левую часть к общему знаменателю:$\frac{240(x + 0.2) - 240x}{x(x + 0.2)} = 100$$\frac{240x + 48 - 240x}{x^2 + 0.2x} = 100$$\frac{48}{x^2 + 0.2x} = 100$

Теперь избавимся от знаменателя:$48 = 100(x^2 + 0.2x)$$48 = 100x^2 + 20x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$100x^2 + 20x - 48 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 4:$25x^2 + 5x - 12 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = 5^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-12) = 25 + 1200 = 1225$$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Теперь найдем возможные значения для $x$:$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 35}{2 \cdot 25} = \frac{30}{50} = 0.6$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 35}{2 \cdot 25} = \frac{-40}{50} = -0.8$

Поскольку длина шага не может быть отрицательной, единственное подходящее решение — $x = 0.6$.Таким образом, длина шага сына составляет 0.6 метра (или 60 см).

Длина шага отца равна:$x + 0.2 = 0.6 + 0.2 = 0.8$ метра (или 80 см).

Ответ: длина шага сына — 60 см, длина шага отца — 80 см.