Номер 712, страница 158 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 712, страница 158.

712. Расстояние от пристани $M$ до пристани $N$ по течению реки катер проходит за $6 \text{ ч}$. Однажды, не дойдя $40 \text{ км}$ до пристани $N$, катер повернул назад и возвратился к пристани $M$, затратив на весь путь $9 \text{ ч}$. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна $2 \text{ км/ч}$.

Пусть $v_к$ км/ч — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде), а $v_т$ км/ч — скорость течения реки. По условию задачи $v_т = 2$ км/ч.

Скорость катера по течению реки равна $v_к + v_т = v_к + 2$ км/ч. Скорость катера против течения реки равна $v_к - v_т = v_к - 2$ км/ч. Для того чтобы катер мог двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $v_к > 2$.

Пусть $S$ км — расстояние от пристани $M$ до пристани $N$. Катер проходит это расстояние по течению за 6 часов. Используя формулу $S = v \cdot t$, составим первое уравнение: $S = (v_к + 2) \cdot 6$

Согласно второму условию, катер прошел от пристани $M$ в сторону пристани $N$, не дойдя до нее 40 км, повернул обратно и вернулся к пристани $M$. Это означает, что катер прошел расстояние, равное $S - 40$ км, по течению, а затем такое же расстояние $S - 40$ км против течения.

Время, затраченное на путь по течению, составляет $t_1 = \frac{S - 40}{v_к + 2}$ ч. Время, затраченное на обратный путь против течения, составляет $t_2 = \frac{S - 40}{v_к - 2}$ ч. Общее время этого путешествия составило 9 часов, т.е. $t_1 + t_2 = 9$. Составим второе уравнение: $\frac{S - 40}{v_к + 2} + \frac{S - 40}{v_к - 2} = 9$

Получили систему из двух уравнений с двумя переменными $S$ и $v_к$: $ \begin{cases} S = 6(v_к + 2) \\ \frac{S - 40}{v_к + 2} + \frac{S - 40}{v_к - 2} = 9 \end{cases} $

Подставим выражение для $S$ из первого уравнения во второе: $\frac{6(v_к + 2) - 40}{v_к + 2} + \frac{6(v_к + 2) - 40}{v_к - 2} = 9$

Упростим числитель в дробях: $6(v_к + 2) - 40 = 6v_к + 12 - 40 = 6v_к - 28$

Уравнение примет вид: $\frac{6v_к - 28}{v_к + 2} + \frac{6v_к - 28}{v_к - 2} = 9$

Вынесем общий множитель $(6v_к - 28)$ за скобки: $(6v_к - 28) \left( \frac{1}{v_к + 2} + \frac{1}{v_к - 2} \right) = 9$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(v_к + 2)(v_к - 2) = v_к^2 - 4$: $\frac{1}{v_к + 2} + \frac{1}{v_к - 2} = \frac{(v_к - 2) + (v_к + 2)}{(v_к + 2)(v_к - 2)} = \frac{2v_к}{v_к^2 - 4}$

Подставим полученное выражение обратно в уравнение: $(6v_к - 28) \cdot \frac{2v_к}{v_к^2 - 4} = 9$

Теперь решим это уравнение относительно $v_к$: $\frac{(6v_к - 28)(2v_к)}{v_к^2 - 4} = 9$
$12v_к^2 - 56v_к = 9(v_к^2 - 4)$
$12v_к^2 - 56v_к = 9v_к^2 - 36$
$12v_к^2 - 9v_к^2 - 56v_к + 36 = 0$
$3v_к^2 - 56v_к + 36 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-56)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 36 = 3136 - 432 = 2704$
$\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$

Теперь найдем значения $v_к$: $v_{к1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 + 52}{2 \cdot 3} = \frac{108}{6} = 18$
$v_{к2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 - 52}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Проверим найденные корни на соответствие условию $v_к > 2$. Корень $v_{к1} = 18$ удовлетворяет условию, так как $18 > 2$. Корень $v_{к2} = \frac{2}{3}$ не удовлетворяет условию, так как $\frac{2}{3} < 2$. Этот корень является посторонним, так как при такой скорости катер не смог бы двигаться против течения.

Следовательно, собственная скорость катера равна 18 км/ч.

Ответ: 18 км/ч.