Номер 708, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 708, страница 157.

708. Из города A в город B, расстояние между которыми 120 км, вышли одновременно два автомобиля. Первый из них ехал всё время с постоянной скоростью. Второй автомобиль первые $\frac{3}{4}$ ч ехал с той же скоростью, затем сделал остановку на 15 мин, после этого увеличил скорость на 5 км/ч и прибыл в город B вместе с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

Пусть $v$ км/ч — скорость первого автомобиля. По условию, это также начальная скорость второго автомобиля.

Первый автомобиль проехал все расстояние $S = 120$ км с постоянной скоростью $v$. Время, которое он затратил на весь путь, составляет:

$t_1 = \frac{S}{v} = \frac{120}{v}$ ч.

Теперь рассмотрим движение второго автомобиля. Его путь можно разбить на три этапа:

1. Первый участок пути: Второй автомобиль ехал первые $\frac{3}{4}$ часа со скоростью $v$. Расстояние, которое он проехал за это время: $S_1 = v \cdot \frac{3}{4} = \frac{3v}{4}$ км.

2. Остановка: Автомобиль сделал остановку на 15 минут. Переведем это время в часы, чтобы все единицы были согласованы: $15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4}$ ч.

3. Второй участок пути: После остановки скорость автомобиля увеличилась на 5 км/ч и стала равной $v + 5$ км/ч. Оставшееся расстояние, которое ему нужно было проехать, составляет $S_2 = 120 - S_1 = 120 - \frac{3v}{4}$ км. Время, затраченное на этот участок пути, равно $t_{2\_2} = \frac{S_2}{v+5} = \frac{120 - \frac{3v}{4}}{v+5}$ ч.

Общее время движения второго автомобиля $t_2$ складывается из времени движения на первом участке, времени остановки и времени движения на втором участке:

$t_2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{120 - \frac{3v}{4}}{v+5} = 1 + \frac{120 - \frac{3v}{4}}{v+5}$ ч.

Поскольку автомобили вышли одновременно и прибыли в город B одновременно, их общее время в пути равно: $t_1 = t_2$.

Составим уравнение:

$\frac{120}{v} = 1 + \frac{120 - \frac{3v}{4}}{v+5}$

Решим это уравнение. Перенесем 1 в левую часть:

$\frac{120}{v} - 1 = \frac{120 - \frac{3v}{4}}{v+5}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{120 - v}{v} = \frac{120 - \frac{3v}{4}}{v+5}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$(120 - v)(v + 5) = v \cdot (120 - \frac{3v}{4})$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$120v + 600 - v^2 - 5v = 120v - \frac{3v^2}{4}$

$115v + 600 - v^2 = 120v - \frac{3v^2}{4}$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$v^2 - \frac{3v^2}{4} + 120v - 115v - 600 = 0$

$\frac{4v^2 - 3v^2}{4} + 5v - 600 = 0$

$\frac{1}{4}v^2 + 5v - 600 = 0$

Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби:

$v^2 + 20v - 2400 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2400) = 400 + 9600 = 10000$

$\sqrt{D} = \sqrt{10000} = 100$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 + 100}{2 \cdot 1} = \frac{80}{2} = 40$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 - 100}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$

Так как скорость автомобиля не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -60$ не является решением задачи. Следовательно, скорость первого автомобиля равна 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.