Номер 705, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 705, страница 157.

705. Рыболов отправился на лодке от пункта $N$ вверх по реке. Проплыв $6 \text{ км}$, он бросил вёсла, и через 4 ч 30 мин после отправления из $N$ течение снова отнесло его к пункту $N$. Зная, что скорость лодки в стоячей воде $90 \text{ м/мин}$, найдите скорость течения реки.

Для решения задачи введем переменные и приведем все единицы измерения к единой системе.

• Пусть $x$ м/мин — искомая скорость течения реки.
• Собственная скорость лодки: $v_{соб} = 90$ м/мин.
• Расстояние, которое рыбак проплыл вверх по реке: $S = 6$ км $= 6000$ м.
• Общее время в пути: $T = 4$ ч $30$ мин $= 4 \cdot 60 + 30 = 270$ мин.

Весь путь можно разделить на два этапа:

1. Движение вверх по реке (против течения).

Рыболов греб, поэтому его скорость относительно берега была равна разности собственной скорости лодки и скорости течения:

$v_{против} = v_{соб} - v_{теч} = (90 - x)$ м/мин.

Время, затраченное на этот путь, равно:

$t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{6000}{90 - x}$ мин.

2. Движение вниз по реке (по течению).

Рыболов бросил вёсла, поэтому лодка просто дрейфовала по течению. Ее скорость была равна скорости течения реки:

$v_{по} = v_{теч} = x$ м/мин.

Лодка вернулась в исходный пункт N, значит, она прошла то же расстояние, что и вверх по реке, то есть 6000 м. Время, затраченное на обратный путь, равно:

$t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{6000}{x}$ мин.

Составление и решение уравнения.

Общее время путешествия является суммой времени движения против течения и времени движения по течению:

$T = t_{против} + t_{по}$

Подставим известные значения и выражения:

$270 = \frac{6000}{90 - x} + \frac{6000}{x}$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 30:

$9 = \frac{200}{90 - x} + \frac{200}{x}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $x(90-x)$:

$9 = \frac{200x + 200(90 - x)}{x(90 - x)}$

$9 = \frac{200x + 18000 - 200x}{90x - x^2}$

$9 = \frac{18000}{90x - x^2}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции:

$9(90x - x^2) = 18000$

Разделим обе части на 9:

$90x - x^2 = 2000$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 90x + 2000 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-90)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2000 = 8100 - 8000 = 100$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{90 + \sqrt{100}}{2} = \frac{90 + 10}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{90 - \sqrt{100}}{2} = \frac{90 - 10}{2} = \frac{80}{2} = 40$

Оба корня являются положительными числами и оба меньше собственной скорости лодки ( $50 < 90$ и $40 < 90$ ), что физически возможно, так как лодка смогла плыть против течения. Следовательно, задача имеет два возможных решения.

Проверим оба решения:

Если $x=40$ м/мин: $t = \frac{6000}{90-40} + \frac{6000}{40} = \frac{6000}{50} + 150 = 120 + 150 = 270$ мин. Верно.

Если $x=50$ м/мин: $t = \frac{6000}{90-50} + \frac{6000}{50} = \frac{6000}{40} + 120 = 150 + 120 = 270$ мин. Верно.

Ответ: скорость течения реки равна 40 м/мин или 50 м/мин.