Номер 703, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 703, страница 157.

703. Моторная лодка прошла 35 км вверх по реке и на 18 км поднялась по её притоку, затратив на весь путь 8 ч. Скорость течения в реке на 1 км/ч меньше скорости течения в её притоке. Найдите скорость течения в реке, если скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч.

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение на основе данных из условия.

Пусть $x$ км/ч — скорость течения в реке.
По условию, скорость течения в притоке на 1 км/ч больше, следовательно, скорость течения в притоке равна $(x + 1)$ км/ч.
Собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде) равна 10 км/ч.

Когда лодка движется вверх по реке (против течения), ее скорость равна разности собственной скорости и скорости течения.
Скорость лодки вверх по реке: $v_1 = 10 - x$ км/ч.
Скорость лодки вверх по притоку: $v_2 = 10 - (x + 1) = 10 - x - 1 = 9 - x$ км/ч.

Заметим, что для движения против течения скорость лодки должна быть больше скорости течения, поэтому должны выполняться условия:
$10 - x > 0 \implies x < 10$
$9 - x > 0 \implies x < 9$
Также скорость течения не может быть отрицательной, $x > 0$. Таким образом, искомое значение $x$ должно находиться в интервале $(0; 9)$.

Время движения ($t$) вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.
Лодка прошла 35 км вверх по реке. Время, затраченное на этот путь: $t_1 = \frac{35}{10 - x}$ ч.
Лодка прошла 18 км вверх по притоку. Время, затраченное на этот путь: $t_2 = \frac{18}{9 - x}$ ч.

Общее время в пути составило 8 часов, поэтому можно составить уравнение:
$t_1 + t_2 = 8$
$\frac{35}{10 - x} + \frac{18}{9 - x} = 8$

Решим полученное уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю $(10 - x)(9 - x)$:
$\frac{35(9 - x) + 18(10 - x)}{(10 - x)(9 - x)} = 8$
Умножим обе части уравнения на знаменатель $(10 - x)(9 - x)$, учитывая, что $x \neq 10$ и $x \neq 9$:
$35(9 - x) + 18(10 - x) = 8(10 - x)(9 - x)$
Раскроем скобки:
$315 - 35x + 180 - 18x = 8(90 - 10x - 9x + x^2)$
$495 - 53x = 8(x^2 - 19x + 90)$
$495 - 53x = 8x^2 - 152x + 720$

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$8x^2 - 152x + 53x + 720 - 495 = 0$
$8x^2 - 99x + 225 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-99)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 225 = 9801 - 32 \cdot 225 = 9801 - 7200 = 2601$
Найдем корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$\sqrt{D} = \sqrt{2601} = 51$
$x_1 = \frac{99 + 51}{2 \cdot 8} = \frac{150}{16} = \frac{75}{8} = 9.375$
$x_2 = \frac{99 - 51}{2 \cdot 8} = \frac{48}{16} = 3$

Проверим найденные корни на соответствие ранее определенному условию $0 < x < 9$.
Корень $x_1 = 9.375$ не удовлетворяет условию $x < 9$. Если бы скорость течения в реке была 9.375 км/ч, то скорость вверх по притоку ($9 - x$) была бы отрицательной, что физически невозможно. Следовательно, этот корень является посторонним.
Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет условию $0 < 3 < 9$.

Таким образом, скорость течения в реке равна 3 км/ч.
Проверим решение:
Скорость течения в притоке: $3 + 1 = 4$ км/ч.
Время движения по реке: $\frac{35}{10 - 3} = \frac{35}{7} = 5$ ч.
Время движения по притоку: $\frac{18}{9 - 3} = \frac{18}{6} = 3$ ч.
Общее время: $5 + 3 = 8$ ч.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: скорость течения в реке равна 3 км/ч.