Номер 709, страница 158 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 709, страница 158.

709. Автобус проехал расстояние между пунктами $A$ и $B$, равное 400 км, с некоторой постоянной скоростью. Возвращаясь обратно, он 2 ч ехал с той же скоростью, а затем увеличил скорость на 10 км/ч и возвратился в пункт $A$, затратив на обратный путь на 20 мин меньше, чем на путь из $A$ в $B$. Сколько времени затратил автобус на обратный путь?

Обозначим постоянную скорость автобуса как $v$ км/ч. Расстояние между пунктами A и B равно 400 км.

Время, затраченное на путь из A в B, можно выразить формулой: $t_{АВ} = \frac{S}{v} = \frac{400}{v}$ часов.

На обратном пути автобус ехал 2 часа со скоростью $v$, преодолев расстояние $S_1 = 2 \cdot v$ км. Оставшееся расстояние составляет $S_2 = 400 - 2v$ км. Это расстояние автобус проехал с увеличенной скоростью, равной $(v + 10)$ км/ч.

Время, затраченное на вторую часть обратного пути, равно $t_2 = \frac{S_2}{v+10} = \frac{400 - 2v}{v + 10}$ часов. Общее время, затраченное на обратный путь из B в A, складывается из времени на первом и втором участках: $t_{БА} = 2 + \frac{400 - 2v}{v + 10}$ часов.

По условию задачи, на обратный путь было затрачено на 20 минут меньше, чем на путь из A в B. Переведем 20 минут в часы: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3}$ часа. Таким образом, мы можем составить уравнение: $t_{АВ} - t_{БА} = \frac{1}{3}$

Подставим выражения для $t_{АВ}$ и $t_{БА}$ в уравнение: $\frac{400}{v} - \left(2 + \frac{400 - 2v}{v + 10}\right) = \frac{1}{3}$

Теперь решим это уравнение относительно $v$: $\frac{400}{v} - 2 - \frac{400 - 2v}{v + 10} = \frac{1}{3}$ $\frac{400}{v} - \frac{400 - 2v}{v + 10} = 2 + \frac{1}{3}$ $\frac{400(v + 10) - v(400 - 2v)}{v(v + 10)} = \frac{7}{3}$ $\frac{400v + 4000 - 400v + 2v^2}{v^2 + 10v} = \frac{7}{3}$ $\frac{2v^2 + 4000}{v^2 + 10v} = \frac{7}{3}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение): $3(2v^2 + 4000) = 7(v^2 + 10v)$ $6v^2 + 12000 = 7v^2 + 70v$ $v^2 + 70v - 12000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 70^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12000) = 4900 + 48000 = 52900$ $\sqrt{D} = \sqrt{52900} = 230$

Найдем корни уравнения: $v_1 = \frac{-70 + 230}{2} = \frac{160}{2} = 80$ $v_2 = \frac{-70 - 230}{2} = \frac{-300}{2} = -150$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, начальная скорость автобуса была $v = 80$ км/ч.

Теперь найдем время, затраченное на обратный путь. Сначала вычислим время на путь из A в B: $t_{АВ} = \frac{400}{80} = 5$ часов.

На обратный путь было затрачено на 20 минут меньше: $t_{БА} = 5 \text{ часов} - 20 \text{ минут} = 4 \text{ часа } 40 \text{ минут}$.

Проверим результат, используя вторую формулу для $t_{БА}$: $t_{БА} = 2 + \frac{400 - 2 \cdot 80}{80 + 10} = 2 + \frac{400 - 160}{90} = 2 + \frac{240}{90} = 2 + \frac{24}{9} = 2 + \frac{8}{3} = \frac{6}{3} + \frac{8}{3} = \frac{14}{3}$ часа. $\frac{14}{3}$ часа = $4 \frac{2}{3}$ часа = 4 часа и $\frac{2}{3} \cdot 60 = 40$ минут. Результаты совпадают.

Ответ: 4 часа 40 минут.