Номер 704, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 704, страница 157.

704. Из пункта А отправили по течению плот. Вслед за ним через 5 ч 20 мин из того же пункта вышел катер и догнал плот, пройдя 20 км. Сколько километров в час проходил плот, если катер шёл быстрее его на 12 км/ч?

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение. Пусть $v_п$ (км/ч) — скорость плота. Поскольку плот движется по течению, его скорость равна скорости течения реки.

По условию, скорость катера на 12 км/ч больше скорости плота. Следовательно, скорость катера по течению $v_к$ равна $v_п + 12$ км/ч.

Катер отправился вслед за плотом через 5 часов 20 минут. Переведем это время в часы для удобства расчетов: $5 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 5 + \frac{20}{60} \text{ ч} = 5 + \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{16}{3} \text{ ч}$.

Катер догнал плот, пройдя расстояние $S = 20$ км. Это означает, что к моменту встречи и плот, и катер преодолели одинаковое расстояние в 20 км от пункта А.

Время, которое затратил на этот путь плот, равно $t_п = \frac{S}{v_п} = \frac{20}{v_п}$ часов.

Время, которое затратил на этот путь катер, равно $t_к = \frac{S}{v_к} = \frac{20}{v_п + 12}$ часов.

Так как катер вышел на $\frac{16}{3}$ часа позже плота, то время движения плота было на эту величину больше времени движения катера. Можем составить уравнение:

$t_п - t_к = \frac{16}{3}$

Подставим в него выражения для $t_п$ и $t_к$:

$\frac{20}{v_п} - \frac{20}{v_п + 12} = \frac{16}{3}$

Решим это уравнение. Для начала приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{20(v_п + 12) - 20v_п}{v_п(v_п + 12)} = \frac{16}{3}$

$\frac{20v_п + 240 - 20v_п}{v_п^2 + 12v_п} = \frac{16}{3}$

$\frac{240}{v_п^2 + 12v_п} = \frac{16}{3}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$240 \cdot 3 = 16 \cdot (v_п^2 + 12v_п)$

$720 = 16v_п^2 + 192v_п$

Разделим все уравнение на 16 для упрощения:

$45 = v_п^2 + 12v_п$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v_п^2 + 12v_п - 45 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу для корней или теорему Виета. По теореме Виета, сумма корней равна $-12$, а их произведение равно $-45$. Этим условиям удовлетворяют числа $3$ и $-15$.

Корни уравнения: $v_{п1} = 3$ и $v_{п2} = -15$.

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $-15$ не имеет физического смысла в данной задаче. Следовательно, скорость плота составляет 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.