Номер 699, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 699, страница 156.

699. Туристы совершили три перехода в $12,5 \text{ км}$, $18 \text{ км}$ и $14 \text{ км}$, причём скорость на первом переходе была на $1 \text{ км/ч}$ меньше скорости на втором переходе и на столько же больше скорости на третьем. На третий переход они затратили на $30 \text{ мин}$ больше, чем на второй. Сколько времени заняли все переходы?

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $x$ км/ч — скорость туристов на первом переходе. Обозначим скорости на трех переходах как $v_1$, $v_2$ и $v_3$.

$v_1 = x$ км/ч.

Согласно условию, скорость на первом переходе ($v_1$) была на 1 км/ч меньше скорости на втором ($v_2$), следовательно, $v_2 = v_1 + 1 = x + 1$ км/ч.

Также, скорость на первом переходе ($v_1$) была на 1 км/ч больше скорости на третьем ($v_3$), следовательно, $v_3 = v_1 - 1 = x - 1$ км/ч.

Известны расстояния каждого перехода:

• $S_1 = 12,5$ км
• $S_2 = 18$ км
• $S_3 = 14$ км

Время, затраченное на каждый переход, вычисляется по формуле $t = S/v$:

• Время на первый переход: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{12,5}{x}$ ч
• Время на второй переход: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{18}{x+1}$ ч
• Время на третий переход: $t_3 = \frac{S_3}{v_3} = \frac{14}{x-1}$ ч

В условии сказано, что на третий переход они затратили на 30 минут (то есть на 0,5 часа) больше, чем на второй. На основании этого составим уравнение:

$t_3 = t_2 + 0,5$

$\frac{14}{x-1} = \frac{18}{x+1} + 0,5$

Решим полученное уравнение. Перенесем член с переменной в левую часть:

$\frac{14}{x-1} - \frac{18}{x+1} = 0,5$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$:

$\frac{14(x+1) - 18(x-1)}{(x-1)(x+1)} = 0,5$

$\frac{14x + 14 - 18x + 18}{x^2 - 1} = 0,5$

$\frac{32 - 4x}{x^2 - 1} = 0,5$

Умножим обе части на $2(x^2-1)$, чтобы избавиться от дроби. Область допустимых значений: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

$2(32 - 4x) = x^2 - 1$

$64 - 8x = x^2 - 1$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 8x - 65 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-65) = 64 + 260 = 324$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm 18}{2}$

$x_1 = \frac{-8 + 18}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-8 - 18}{2} = \frac{-26}{2} = -13$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -13$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость на первом переходе $v_1 = 5$ км/ч.

Найдем скорости на втором и третьем переходах:

• $v_2 = x + 1 = 5 + 1 = 6$ км/ч
• $v_3 = x - 1 = 5 - 1 = 4$ км/ч

Теперь вычислим время, затраченное на каждый переход:

• $t_1 = \frac{12,5}{5} = 2,5$ часа
• $t_2 = \frac{18}{6} = 3$ часа
• $t_3 = \frac{14}{4} = 3,5$ часа

Общее время, которое заняли все переходы, равно сумме времени каждого перехода:

$T_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 = 2,5 + 3 + 3,5 = 9$ часов.

Ответ: 9 часов.