Номер 720, страница 159 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 720, страница 159.

720. Два хлопкоуборочных комбайна могут собрать хлопок с поля на 9 дней быстрее, чем один первый комбайн, и на 4 дня быстрее, чем один второй. За сколько дней каждый комбайн может собрать весь хлопок?

Пусть $t$ — это время в днях, за которое два комбайна соберут весь хлопок, работая вместе.

Согласно условию задачи, если два комбайна выполняют работу на 9 дней быстрее, чем один первый, то время работы первого комбайна в одиночку составляет $t_1 = t + 9$ дней.

Аналогично, если два комбайна выполняют работу на 4 дня быстрее, чем один второй, то время работы второго комбайна в одиночку составляет $t_2 = t + 4$ дня.

Примем весь объем работы (сбор хлопка с поля) за 1.

Тогда производительность (скорость работы) первого комбайна равна $P_1 = \frac{1}{t_1} = \frac{1}{t+9}$ (часть поля в день).

Производительность второго комбайна равна $P_2 = \frac{1}{t_2} = \frac{1}{t+4}$ (часть поля в день).

При совместной работе их производительности складываются. Совместная производительность двух комбайнов равна $P_{12} = \frac{1}{t}$.

Составим уравнение, приравняв совместную производительность к сумме производительностей каждого комбайна: $$ P_{12} = P_1 + P_2 $$ $$ \frac{1}{t} = \frac{1}{t+9} + \frac{1}{t+4} $$

Теперь решим это уравнение. Для начала приведем дроби в правой части к общему знаменателю $(t+9)(t+4)$: $$ \frac{1}{t} = \frac{(t+4) + (t+9)}{(t+9)(t+4)} $$ $$ \frac{1}{t} = \frac{2t + 13}{t^2 + 4t + 9t + 36} $$ $$ \frac{1}{t} = \frac{2t + 13}{t^2 + 13t + 36} $$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей. Допустимые значения $t > 0$. $$ 1 \cdot (t^2 + 13t + 36) = t \cdot (2t + 13) $$ $$ t^2 + 13t + 36 = 2t^2 + 13t $$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: $$ 2t^2 - t^2 + 13t - 13t - 36 = 0 $$ $$ t^2 - 36 = 0 $$

Решим полученное неполное квадратное уравнение: $$ t^2 = 36 $$ $$ t = \sqrt{36} \quad \text{или} \quad t = -\sqrt{36} $$ $$ t = 6 \quad \text{или} \quad t = -6 $$

Поскольку время $t$ не может быть отрицательной величиной, выбираем корень $t = 6$. Это означает, что два комбайна вместе могут собрать весь хлопок за 6 дней.

Теперь найдем время, за которое каждый комбайн может собрать хлопок, работая в одиночку:

Время работы первого комбайна: $t_1 = t + 9 = 6 + 9 = 15$ дней.

Время работы второго комбайна: $t_2 = t + 4 = 6 + 4 = 10$ дней.

Ответ: первый комбайн может собрать весь хлопок за 15 дней, а второй комбайн — за 10 дней.