Номер 729, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Числовые неравенства. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 729, страница 163.

729. Докажите неравенство:

а) $2b^2 - 6b + 1 > 2b(b - 3)$;

б) $(c + 2)(c + 6) < (c + 3)(c + 5)$;

в) $p(p + 7) > 7p - 1$;

г) $8y(3y - 10) < (5y - 8)^2$.

а) Чтобы доказать неравенство $2b^2 - 6b + 1 > 2b(b - 3)$, преобразуем его. Для этого раскроем скобки в правой части и перенесем все члены из правой части в левую с противоположными знаками, чтобы получить в правой части ноль.
$2b^2 - 6b + 1 - 2b(b - 3) > 0$
$2b^2 - 6b + 1 - (2b^2 - 6b) > 0$
$2b^2 - 6b + 1 - 2b^2 + 6b > 0$
Теперь приведем подобные слагаемые в левой части:
$(2b^2 - 2b^2) + (-6b + 6b) + 1 > 0$
$0 + 0 + 1 > 0$
$1 > 0$
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $b$. Это означает, что исходное неравенство верно при любом значении $b$.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Чтобы доказать неравенство $(c + 2)(c + 6) < (c + 3)(c + 5)$, раскроем скобки в обеих его частях, перемножая многочлены.
$c \cdot c + c \cdot 6 + 2 \cdot c + 2 \cdot 6 < c \cdot c + c \cdot 5 + 3 \cdot c + 3 \cdot 5$
$c^2 + 6c + 2c + 12 < c^2 + 5c + 3c + 15$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$c^2 + 8c + 12 < c^2 + 8c + 15$
Теперь перенесем все члены из правой части в левую с противоположными знаками:
$c^2 + 8c + 12 - (c^2 + 8c + 15) < 0$
$c^2 + 8c + 12 - c^2 - 8c - 15 < 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(c^2 - c^2) + (8c - 8c) + (12 - 15) < 0$
$0 + 0 - 3 < 0$
$-3 < 0$
Мы получили верное числовое неравенство, истинность которого не зависит от значения переменной $c$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $c$.
Ответ: Неравенство доказано.

в) Чтобы доказать неравенство $p(p + 7) > 7p - 1$, раскроем скобки в левой части и перенесем все члены из правой части в левую.
$p^2 + 7p > 7p - 1$
$p^2 + 7p - (7p - 1) > 0$
$p^2 + 7p - 7p + 1 > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$p^2 + (7p - 7p) + 1 > 0$
$p^2 + 1 > 0$
Это неравенство верно для любого действительного значения $p$. Квадрат любого числа $p^2$ всегда неотрицателен, то есть $p^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат всегда будет положительным: $p^2 + 1 \ge 1$, а значит $p^2 + 1 > 0$. Так как мы пришли к верному неравенству, исходное неравенство также верно при любом значении $p$.
Ответ: Неравенство доказано.

г) Чтобы доказать неравенство $8y(3y - 10) < (5y - 8)^2$, раскроем скобки в обеих частях. В правой части воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$8y \cdot 3y - 8y \cdot 10 < (5y)^2 - 2 \cdot 5y \cdot 8 + 8^2$
$24y^2 - 80y < 25y^2 - 80y + 64$
Перенесем все члены из левой части в правую с противоположными знаками. Это равносильно переносу всех членов в левую часть и умножению на -1 со сменой знака неравенства.
$0 < (25y^2 - 80y + 64) - (24y^2 - 80y)$
$0 < 25y^2 - 80y + 64 - 24y^2 + 80y$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$0 < (25y^2 - 24y^2) + (-80y + 80y) + 64$
$0 < y^2 + 64$
Это неравенство верно для любого действительного значения $y$. Квадрат любого числа $y^2$ всегда неотрицателен ($y^2 \ge 0$). Сумма неотрицательного числа и положительного числа 64 всегда будет положительной: $y^2 + 64 \ge 64$, а значит $y^2 + 64 > 0$. Поскольку мы получили верное неравенство, исходное неравенство также верно при любом значении $y$.
Ответ: Неравенство доказано.