Страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

724. Сравните числа $a$ и $b$, если:

а) $a - b = -0,001$;

б) $a - b = 0$;

в) $a - b = 4,3$.

Для сравнения чисел a и b анализируют знак их разности $a-b$. Существуют три возможных случая:
1. Если разность $a - b$ является положительным числом ($a - b > 0$), то число a больше числа b ($a > b$).
2. Если разность $a - b$ является отрицательным числом ($a - b < 0$), то число a меньше числа b ($a < b$).
3. Если разность $a - b$ равна нулю ($a - b = 0$), то числа a и b равны ($a = b$).

а) По условию дано, что $a - b = -0,001$.
Разность $a - b$ равна отрицательному числу $-0,001$.
Это соответствует второму случаю: $a - b < 0$.
Следовательно, $a < b$.
Ответ: $a < b$.

б) По условию дано, что $a - b = 0$.
Разность $a - b$ равна нулю.
Это соответствует третьему случаю: $a - b = 0$.
Перенеся b в правую часть равенства, получаем $a = b$.
Ответ: $a = b$.

в) По условию дано, что $a - b = 4,3$.
Разность $a - b$ равна положительному числу $4,3$.
Это соответствует первому случаю: $a - b > 0$.
Следовательно, $a > b$.
Ответ: $a > b$.

725. Известно, что $a < b$. Может ли разность $a - b$ выражаться числом 3,72? -5? 0?

По условию задачи нам дано неравенство $a < b$. Чтобы определить, какие значения может принимать разность $a - b$, преобразуем данное неравенство. Вычтем из обеих частей неравенства переменную $b$:

$a - b < b - b$

$a - b < 0$

Таким образом, мы получили, что разность $a - b$ должна быть строго отрицательным числом. Теперь проверим каждое из предложенных значений.

3,72?

Число 3,72 является положительным ($3,72 > 0$). Это противоречит нашему выводу, что разность $a - b$ должна быть отрицательной. Следовательно, разность $a - b$ не может равняться 3,72.
Ответ: нет.

-5?

Число -5 является отрицательным ($-5 < 0$). Это соответствует условию $a - b < 0$. Значит, разность $a - b$ может быть равна -5. Например, это возможно, если $a = 1$ и $b = 6$. В этом случае $a < b$ (так как $1 < 6$) и $a - b = 1 - 6 = -5$.
Ответ: да.

0?

Если бы разность $a - b$ была равна 0, это означало бы, что $a = b$. Однако это противоречит исходному строгому неравенству $a < b$. Разность $a - b$ должна быть строго меньше нуля, поэтому она не может равняться нулю.
Ответ: нет.

726. Даны выражения

$3a(a + 6)$ и $(3a + 6)(a + 4)$.

Сравните их значения при $a = -5$; $0$; $40$. Докажите, что при любом $a$ значение первого выражения меньше значения второго.

Сравним значения выражений $3a(a + 6)$ и $(3a + 6)(a + 4)$ при $a = -5; 0; 40$.

1. При $a = -5$:
Значение первого выражения: $3a(a + 6) = 3(-5)(-5 + 6) = -15 \cdot 1 = -15$.
Значение второго выражения: $(3a + 6)(a + 4) = (3(-5) + 6)(-5 + 4) = (-15 + 6)(-1) = (-9)(-1) = 9$.
Сравнение: $-15 < 9$. Значение первого выражения меньше.

2. При $a = 0$:
Значение первого выражения: $3a(a + 6) = 3(0)(0 + 6) = 0 \cdot 6 = 0$.
Значение второго выражения: $(3a + 6)(a + 4) = (3(0) + 6)(0 + 4) = (6)(4) = 24$.
Сравнение: $0 < 24$. Значение первого выражения меньше.

3. При $a = 40$:
Значение первого выражения: $3a(a + 6) = 3(40)(40 + 6) = 120 \cdot 46 = 5520$.
Значение второго выражения: $(3a + 6)(a + 4) = (3(40) + 6)(40 + 4) = (120 + 6)(44) = 126 \cdot 44 = 5544$.
Сравнение: $5520 < 5544$. Значение первого выражения меньше.

Ответ: При $a = -5$ значения выражений равны -15 и 9; при $a = 0$ — 0 и 24; при $a = 40$ — 5520 и 5544. В каждом из этих случаев значение первого выражения меньше значения второго.

Докажем, что при любом a значение первого выражения меньше значения второго.

Чтобы доказать, что $3a(a + 6) < (3a + 6)(a + 4)$ для любого значения a, рассмотрим разность этих выражений. Для этого сначала упростим каждое из них, раскрыв скобки.

Упрощение первого выражения: $3a(a + 6) = 3a^2 + 18a$.

Упрощение второго выражения: $(3a + 6)(a + 4) = 3a \cdot a + 3a \cdot 4 + 6 \cdot a + 6 \cdot 4 = 3a^2 + 12a + 6a + 24 = 3a^2 + 18a + 24$.

Теперь найдем разность значения второго выражения и значения первого выражения: $(3a^2 + 18a + 24) - (3a^2 + 18a) = 3a^2 + 18a + 24 - 3a^2 - 18a = 24$.

Разность выражений равна 24. Так как $24 > 0$, это означает, что значение второго выражения всегда на 24 больше значения первого, независимо от значения переменной a.

Таким образом, неравенство $3a(a + 6) < (3a + 6)(a + 4)$ верно для любого a, что и требовалось доказать.

Ответ: Разность второго и первого выражений равна константе 24, которая больше нуля. Следовательно, значение первого выражения всегда меньше значения второго при любом значении a.

727. Даны выражения

$4b(b + 1)$ и $(2b + 7)(2b - 8)$.

Сравните их значения при $b = -3; -2; 10$. Можно ли утверждать, что при любом значении $b$ значение первого выражения больше, чем значение второго?

Сравним значения выражений $4b(b + 1)$ и $(2b + 7)(2b - 8)$ при заданных значениях $b$.

При b = -3

Первое выражение: $4b(b + 1) = 4(-3)(-3 + 1) = -12(-2) = 24$.

Второе выражение: $(2b + 7)(2b - 8) = (2(-3) + 7)(2(-3) - 8) = (-6 + 7)(-6 - 8) = 1 \cdot (-14) = -14$.

Сравнение: $24 > -14$.

Ответ: при $b = -3$ значение первого выражения больше значения второго.

При b = -2

Первое выражение: $4b(b + 1) = 4(-2)(-2 + 1) = -8(-1) = 8$.

Второе выражение: $(2b + 7)(2b - 8) = (2(-2) + 7)(2(-2) - 8) = (-4 + 7)(-4 - 8) = 3 \cdot (-12) = -36$.

Сравнение: $8 > -36$.

Ответ: при $b = -2$ значение первого выражения больше значения второго.

При b = 10

Первое выражение: $4b(b + 1) = 4(10)(10 + 1) = 40(11) = 440$.

Второе выражение: $(2b + 7)(2b - 8) = (2(10) + 7)(2(10) - 8) = (20 + 7)(20 - 8) = 27 \cdot 12 = 324$.

Сравнение: $440 > 324$.

Ответ: при $b = 10$ значение первого выражения больше значения второго.

Можно ли утверждать, что при любом значении b значение первого выражения больше, чем значение второго?

Для ответа на этот вопрос сравним выражения в общем виде. Для этого раскроем скобки в каждом выражении и приведем подобные слагаемые.

Первое выражение: $4b(b + 1) = 4b^2 + 4b$.

Второе выражение: $(2b + 7)(2b - 8) = 2b \cdot 2b + 2b \cdot (-8) + 7 \cdot 2b + 7 \cdot (-8) = 4b^2 - 16b + 14b - 56 = 4b^2 - 2b - 56$.

Теперь сравним полученные многочлены, решив неравенство:

$4b^2 + 4b > 4b^2 - 2b - 56$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числовые — в правую, или вычтем $4b^2$ из обеих частей:

$4b > -2b - 56$

Прибавим $2b$ к обеим частям неравенства:

$4b + 2b > -56$

$6b > -56$

Разделим обе части на 6:

$b > -\frac{56}{6}$

$b > -\frac{28}{3}$

$b > -9\frac{1}{3}$

Мы видим, что значение первого выражения больше значения второго только при $b > -9\frac{1}{3}$, а не при любом значении $b$.

Чтобы доказать это, приведем контрпример. Возьмем любое число, которое не удовлетворяет неравенству, например, $b = -10$ (так как $-10 < -9\frac{1}{3}$).

При $b = -10$:

Первое выражение: $4(-10)(-10 + 1) = -40(-9) = 360$.

Второе выражение: $(2(-10) + 7)(2(-10) - 8) = (-20 + 7)(-20 - 8) = (-13)(-28) = 364$.

Получаем $360 < 364$, то есть значение первого выражения меньше значения второго.

Ответ: нет, нельзя утверждать, что при любом значении $b$ значение первого выражения больше, чем значение второго. Это утверждение верно только при $b > -9\frac{1}{3}$.

728. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:

a) $3(a + 1) + a < 4(2 + a);$

б) $(7p - 1)(7p + 1) < 49p^2;$

в) $(a - 2)^2 > a(a - 4);$

г) $(2a + 3)(2a + 1) > 4a(a + 2).$

а) Чтобы доказать неравенство $3(a + 1) + a < 4(2 + a)$, преобразуем его.
Сначала раскроем скобки в обеих частях:
$3 \cdot a + 3 \cdot 1 + a < 4 \cdot 2 + 4 \cdot a$
$3a + 3 + a < 8 + 4a$
Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:
$4a + 3 < 8 + 4a$
Теперь вычтем из обеих частей неравенства выражение $4a$:
$4a + 3 - 4a < 8 + 4a - 4a$
$3 < 8$
Мы получили верное числовое неравенство $3 < 8$, которое не зависит от значения переменной $a$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $a$.
Ответ: Неравенство верно при любом значении переменной.

б) Чтобы доказать неравенство $(7p - 1)(7p + 1) < 49p^2$, преобразуем его левую часть.
Воспользуемся формулой разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:
$(7p)^2 - 1^2 < 49p^2$
$49p^2 - 1 < 49p^2$
Вычтем из обеих частей неравенства $49p^2$:
$49p^2 - 1 - 49p^2 < 49p^2 - 49p^2$
$-1 < 0$
Мы получили верное числовое неравенство $-1 < 0$, которое не зависит от значения переменной $p$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $p$.
Ответ: Неравенство верно при любом значении переменной.

в) Чтобы доказать неравенство $(a - 2)^2 > a(a - 4)$, раскроем скобки в обеих его частях.
В левой части применим формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 > a \cdot a - a \cdot 4$
$a^2 - 4a + 4 > a^2 - 4a$
Прибавим к обеим частям неравенства выражение $4a$:
$a^2 - 4a + 4 + 4a > a^2 - 4a + 4a$
$a^2 + 4 > a^2$
Теперь вычтем из обеих частей $a^2$:
$a^2 + 4 - a^2 > a^2 - a^2$
$4 > 0$
Мы получили верное числовое неравенство $4 > 0$, которое не зависит от значения переменной $a$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $a$.
Ответ: Неравенство верно при любом значении переменной.

г) Чтобы доказать неравенство $(2a + 3)(2a + 1) > 4a(a + 2)$, раскроем скобки в обеих его частях.
В левой части перемножим многочлены, а в правой — распределим множитель:
$2a \cdot 2a + 2a \cdot 1 + 3 \cdot 2a + 3 \cdot 1 > 4a \cdot a + 4a \cdot 2$
$4a^2 + 2a + 6a + 3 > 4a^2 + 8a$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$4a^2 + 8a + 3 > 4a^2 + 8a$
Вычтем из обеих частей неравенства выражение $4a^2 + 8a$:
$4a^2 + 8a + 3 - (4a^2 + 8a) > 4a^2 + 8a - (4a^2 + 8a)$
$3 > 0$
Мы получили верное числовое неравенство $3 > 0$, которое не зависит от значения переменной $a$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $a$.
Ответ: Неравенство верно при любом значении переменной.

729. Докажите неравенство:

а) $2b^2 - 6b + 1 > 2b(b - 3)$;

б) $(c + 2)(c + 6) < (c + 3)(c + 5)$;

в) $p(p + 7) > 7p - 1$;

г) $8y(3y - 10) < (5y - 8)^2$.

а) Чтобы доказать неравенство $2b^2 - 6b + 1 > 2b(b - 3)$, преобразуем его. Для этого раскроем скобки в правой части и перенесем все члены из правой части в левую с противоположными знаками, чтобы получить в правой части ноль.
$2b^2 - 6b + 1 - 2b(b - 3) > 0$
$2b^2 - 6b + 1 - (2b^2 - 6b) > 0$
$2b^2 - 6b + 1 - 2b^2 + 6b > 0$
Теперь приведем подобные слагаемые в левой части:
$(2b^2 - 2b^2) + (-6b + 6b) + 1 > 0$
$0 + 0 + 1 > 0$
$1 > 0$
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $b$. Это означает, что исходное неравенство верно при любом значении $b$.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Чтобы доказать неравенство $(c + 2)(c + 6) < (c + 3)(c + 5)$, раскроем скобки в обеих его частях, перемножая многочлены.
$c \cdot c + c \cdot 6 + 2 \cdot c + 2 \cdot 6 < c \cdot c + c \cdot 5 + 3 \cdot c + 3 \cdot 5$
$c^2 + 6c + 2c + 12 < c^2 + 5c + 3c + 15$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$c^2 + 8c + 12 < c^2 + 8c + 15$
Теперь перенесем все члены из правой части в левую с противоположными знаками:
$c^2 + 8c + 12 - (c^2 + 8c + 15) < 0$
$c^2 + 8c + 12 - c^2 - 8c - 15 < 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(c^2 - c^2) + (8c - 8c) + (12 - 15) < 0$
$0 + 0 - 3 < 0$
$-3 < 0$
Мы получили верное числовое неравенство, истинность которого не зависит от значения переменной $c$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $c$.
Ответ: Неравенство доказано.

в) Чтобы доказать неравенство $p(p + 7) > 7p - 1$, раскроем скобки в левой части и перенесем все члены из правой части в левую.
$p^2 + 7p > 7p - 1$
$p^2 + 7p - (7p - 1) > 0$
$p^2 + 7p - 7p + 1 > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$p^2 + (7p - 7p) + 1 > 0$
$p^2 + 1 > 0$
Это неравенство верно для любого действительного значения $p$. Квадрат любого числа $p^2$ всегда неотрицателен, то есть $p^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат всегда будет положительным: $p^2 + 1 \ge 1$, а значит $p^2 + 1 > 0$. Так как мы пришли к верному неравенству, исходное неравенство также верно при любом значении $p$.
Ответ: Неравенство доказано.

г) Чтобы доказать неравенство $8y(3y - 10) < (5y - 8)^2$, раскроем скобки в обеих частях. В правой части воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$8y \cdot 3y - 8y \cdot 10 < (5y)^2 - 2 \cdot 5y \cdot 8 + 8^2$
$24y^2 - 80y < 25y^2 - 80y + 64$
Перенесем все члены из левой части в правую с противоположными знаками. Это равносильно переносу всех членов в левую часть и умножению на -1 со сменой знака неравенства.
$0 < (25y^2 - 80y + 64) - (24y^2 - 80y)$
$0 < 25y^2 - 80y + 64 - 24y^2 + 80y$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$0 < (25y^2 - 24y^2) + (-80y + 80y) + 64$
$0 < y^2 + 64$
Это неравенство верно для любого действительного значения $y$. Квадрат любого числа $y^2$ всегда неотрицателен ($y^2 \ge 0$). Сумма неотрицательного числа и положительного числа 64 всегда будет положительной: $y^2 + 64 \ge 64$, а значит $y^2 + 64 > 0$. Поскольку мы получили верное неравенство, исходное неравенство также верно при любом значении $y$.
Ответ: Неравенство доказано.

730. Верно ли при любом $x$ неравенство:

а) $4x(x + 0.25) > (2x + 3)(2x - 3);$

б) $(5x - 1)(5x + 1) < 25x^2 + 2;$

в) $(3x + 8)^2 > 3x(x + 16);$

г) $(7 + 2x)(7 - 2x) < 49 - x(4x + 1)?$

а) $4x(x + 0,25) > (2x + 3)(2x - 3)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части выполним умножение, а в правой применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

$4x^2 + 4x \cdot 0,25 > (2x)^2 - 3^2$

$4x^2 + x > 4x^2 - 9$

Перенесем слагаемые с $x^2$ в одну сторону, чтобы упростить неравенство.

$4x^2 - 4x^2 + x > -9$

$x > -9$

Данное неравенство верно не для любого значения $x$, а только для тех $x$, которые больше $-9$. Например, при $x = -10$ неравенство $-10 > -9$ неверно. Следовательно, исходное неравенство неверно при любом $x$.

Ответ: нет, неверно.

б) $(5x - 1)(5x + 1) < 25x^2 + 2$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу разности квадратов.

$(5x)^2 - 1^2 < 25x^2 + 2$

$25x^2 - 1 < 25x^2 + 2$

Перенесем слагаемые с $x^2$ в одну сторону.

$25x^2 - 25x^2 < 2 + 1$

$0 < 3$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения $x$. Это означает, что исходное неравенство будет верным при любом значении $x$.

Ответ: да, верно.

в) $(3x + 8)^2 > 3x(x + 16)$

Раскроем скобки в обеих частях. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

$(3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 8 + 8^2 > 3x^2 + 3x \cdot 16$

$9x^2 + 48x + 64 > 3x^2 + 48x$

Перенесем все слагаемые в левую часть.

$9x^2 - 3x^2 + 48x - 48x + 64 > 0$

$6x^2 + 64 > 0$

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, $6x^2 \ge 0$. Сумма неотрицательного числа $6x^2$ и положительного числа $64$ всегда будет положительной. Минимальное значение левой части равно $6 \cdot 0^2 + 64 = 64$, что больше нуля. Таким образом, неравенство $6x^2 + 64 > 0$ верно при любом значении $x$.

Ответ: да, верно.

г) $(7 + 2x)(7 - 2x) < 49 - x(4x + 1)$

Раскроем скобки в обеих частях. В левой части применим формулу разности квадратов.

$7^2 - (2x)^2 < 49 - (4x^2 + x)$

$49 - 4x^2 < 49 - 4x^2 - x$

Перенесем слагаемые для упрощения.

$49 - 49 - 4x^2 + 4x^2 < -x$

$0 < -x$

Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный.

$x < 0$

Данное неравенство верно не для любого значения $x$, а только для отрицательных $x$. Например, при $x = 5$ неравенство $5 < 0$ неверно. Следовательно, исходное неравенство неверно при любом $x$.

Ответ: нет, неверно.

731. Докажите неравенство:

а) $a(a + b) \ge ab;$

б) $m^2 - mn + n^2 \ge mn;$

в) $10a^2 - 5a + 1 \ge a^2 + a;$

г) $2bc \le b^2 + c^2;$

д) $a(a - b) \ge b(a - b);$

е) $a^2 - a \le 50a^2 - 15a + 1.$

а) Для доказательства неравенства $a(a + b) \ge ab$ преобразуем его.
Раскроем скобки в левой части:
$a^2 + ab \ge ab$
Перенесем слагаемое $ab$ из правой части в левую, изменив его знак на противоположный:
$a^2 + ab - ab \ge 0$
$a^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной (то есть больше или равен нулю). Таким образом, неравенство $a^2 \ge 0$ истинно для любого значения $a$. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Для доказательства неравенства $m^2 - mn + n^2 \ge mn$ перенесем все слагаемые в одну часть:
$m^2 - mn + n^2 - mn \ge 0$
Приведем подобные члены:
$m^2 - 2mn + n^2 \ge 0$
Выражение в левой части представляет собой формулу сокращенного умножения — квадрат разности:
$(m - n)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, полученное неравенство верно для любых значений $m$ и $n$, а значит, верно и исходное неравенство.
Ответ: Неравенство доказано.

в) Докажем неравенство $10a^2 - 5a + 1 \ge a^2 + a$. Перенесем все члены из правой части в левую:
$10a^2 - 5a + 1 - a^2 - a \ge 0$
Упростим полученное выражение, приведя подобные слагаемые:
$(10a^2 - a^2) + (-5a - a) + 1 \ge 0$
$9a^2 - 6a + 1 \ge 0$
Левая часть этого неравенства является полным квадратом разности $(3a - 1)$:
$(3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 1 + 1^2 \ge 0$
$(3a - 1)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного выражения всегда больше или равен нулю. Это неравенство справедливо для любого значения $a$, следовательно, исходное неравенство также справедливо.
Ответ: Неравенство доказано.

г) Для доказательства неравенства $2bc \le b^2 + c^2$ перенесем $2bc$ в правую часть:
$0 \le b^2 + c^2 - 2bc$
Это то же самое, что и:
$b^2 - 2bc + c^2 \ge 0$
В левой части мы видим формулу квадрата разности:
$(b - c)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому это неравенство выполняется для любых значений $b$ и $c$. Значит, исходное неравенство также верно.
Ответ: Неравенство доказано.

д) Докажем неравенство $a(a - b) \ge b(a - b)$. Перенесем выражение из правой части в левую:
$a(a - b) - b(a - b) \ge 0$
Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:
$(a - b)(a - b) \ge 0$
$(a - b)^2 \ge 0$
Квадрат разности двух любых действительных чисел всегда больше или равен нулю. Таким образом, неравенство выполняется для любых $a$ и $b$.
Ответ: Неравенство доказано.

е) Докажем неравенство $a^2 - a \le 50a^2 - 15a + 1$. Перенесем все члены в правую часть для удобства:
$0 \le 50a^2 - 15a + 1 - (a^2 - a)$
$0 \le 50a^2 - 15a + 1 - a^2 + a$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$0 \le 49a^2 - 14a + 1$
Это неравенство эквивалентно следующему:
$49a^2 - 14a + 1 \ge 0$
Левая часть является полным квадратом разности $(7a - 1)$:
$(7a)^2 - 2 \cdot 7a \cdot 1 + 1^2 \ge 0$
$(7a - 1)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного выражения всегда неотрицателен. Неравенство истинно для любого значения $a$, а значит, и исходное неравенство тоже верно.
Ответ: Неравенство доказано.