Страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

755. Известно, что $a, b, c$ и $d$ — положительные числа, причём $a > b, d < b, c > a.$ Расположите в порядке возрастания числа $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}.$

Для решения этой задачи нам нужно сначала упорядочить исходные положительные числа $a, b, c, d$, а затем, на основе этого порядка, расположить их обратные величины.

1. Анализ исходных неравенств.

Нам даны следующие соотношения:

1) $a > b$

2) $d < b$, что эквивалентно $b > d$

3) $c > a$

Объединим эти неравенства в одну общую цепочку. Из $c > a$ и $a > b$ следует, что $c > a > b$. Добавив к этому неравенство $b > d$, получаем итоговый порядок для исходных чисел:$c > a > b > d$.

2. Сравнение обратных величин.

Для любых положительных чисел действует правило: если одно число больше другого, то его обратная величина будет меньше. То есть, если $x > y > 0$, то $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$.

Применим это свойство к полученной нами цепочке неравенств $c > a > b > d$. Так как все числа положительны, мы можем взять обратные величины от каждой части неравенства, изменив знаки неравенства на противоположные:

$\frac{1}{c} < \frac{1}{a} < \frac{1}{b} < \frac{1}{d}$.

Это и есть искомый порядок чисел в порядке возрастания.

Ответ: $\frac{1}{c}, \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{d}$.

756. (Для работы в парах.) Известно, что $a$ — положительное число.

а) Расположите в порядке возрастания числа: $2a, a\sqrt{3}, -a, a(\sqrt{3} - \sqrt{2}), 3a.$

б) Расположите в порядке убывания числа: $6a, -a\sqrt{5}, a(\sqrt{7} - \sqrt{6}), -a, -5a - 1.$

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание. Исправьте допущенные ошибки.

а) Расположите в порядке возрастания числа: $2a, a\sqrt{3}, -a, a(\sqrt{3}-\sqrt{2}), 3a$.

Поскольку по условию $a$ — положительное число ($a > 0$), то для того чтобы сравнить данные числа, достаточно сравнить их коэффициенты. Если мы разделим каждое число на $a$, порядок между ними сохранится.

Сравним коэффициенты: $2$, $\sqrt{3}$, $-1$, $(\sqrt{3}-\sqrt{2})$ и $3$.

1. Определим знак каждого коэффициента. $-1$ — единственное отрицательное число, следовательно, оно будет наименьшим.

2. Сравним остальные, положительные коэффициенты: $2$, $\sqrt{3}$, $(\sqrt{3}-\sqrt{2})$, $3$.

3. Оценим приблизительные значения корней: $\sqrt{2} \approx 1.414$ и $\sqrt{3} \approx 1.732$.

Тогда:

• $\sqrt{3} \approx 1.732$
• $\sqrt{3}-\sqrt{2} \approx 1.732 - 1.414 = 0.318$

4. Теперь мы можем расположить все коэффициенты в порядке возрастания (от меньшего к большему):
$-1$ (самое маленькое)
$\sqrt{3}-\sqrt{2} \approx 0.318$
$\sqrt{3} \approx 1.732$
$2$
$3$ (самое большое)

Таким образом, получаем неравенство для коэффициентов:
$-1 < \sqrt{3}-\sqrt{2} < \sqrt{3} < 2 < 3$

5. Умножим все части этого неравенства на положительное число $a$. Знак неравенства при этом не изменится:
$-a < a(\sqrt{3}-\sqrt{2}) < a\sqrt{3} < 2a < 3a$

Ответ: $-a$, $a(\sqrt{3}-\sqrt{2})$, $a\sqrt{3}$, $2a$, $3a$.

б) Расположите в порядке убывания числа: $6a, -a\sqrt{5}, a(\sqrt{7}-\sqrt{6}), -a, -5a-1$.

Так же, как и в предыдущем задании, будем сравнивать коэффициенты при $a$, так как $a > 0$. Число $-5a-1$ представим в виде $a(-5 - \frac{1}{a})$.

Сравним следующие значения: $6$, $-\sqrt{5}$, $(\sqrt{7}-\sqrt{6})$, $-1$ и $(-5 - \frac{1}{a})$.

1. Оценим приблизительные значения:

• $\sqrt{5} \approx 2.236$, значит $-\sqrt{5} \approx -2.236$
• $\sqrt{6} \approx 2.449$, $\sqrt{7} \approx 2.646$. Тогда $\sqrt{7}-\sqrt{6} \approx 2.646 - 2.449 = 0.197$.
  Более строго: $\sqrt{7}-\sqrt{6} = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{6})(\sqrt{7}+\sqrt{6})}{\sqrt{7}+\sqrt{6}} = \frac{7-6}{\sqrt{7}+\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$. Так как $\sqrt{7}>2$ и $\sqrt{6}>2$, то $\sqrt{7}+\sqrt{6}>4$, следовательно $0 < \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}} < \frac{1}{4}$.
• Так как $a > 0$, то $\frac{1}{a} > 0$, следовательно $-5 - \frac{1}{a} < -5$.

2. Расположим полученные значения в порядке убывания (от большего к меньшему):
$6$ (самое большое, единственное положительное число больше 1)
$\sqrt{7}-\sqrt{6}$ (положительное, но меньше 1)
$-1$ (наибольшее из отрицательных)
$-\sqrt{5} \approx -2.236$
$-5 - \frac{1}{a}$ (самое маленькое, так как оно меньше -5)

3. Таким образом, получаем цепочку неравенств:
$6 > \sqrt{7}-\sqrt{6} > -1 > -\sqrt{5} > -5 - \frac{1}{a}$

4. Вернемся к исходным числам. Умножая коэффициенты на $a$ (и учитывая свободный член в последнем выражении), получаем итоговый порядок:
$6a > a(\sqrt{7}-\sqrt{6}) > -a > -a\sqrt{5} > -5a-1$

Ответ: $6a$, $a(\sqrt{7}-\sqrt{6})$, $-a$, $-a\sqrt{5}$, $-5a-1$.

757. Известно, что $3 < a < 4$. Оцените значение выражения:

а) $5a$;

б) $-a$;

в) $a + 2$;

г) $5 - a$;

д) $0,2a + 3$.

Дано неравенство $3 < a < 4$. Для оценки значений выражений будем использовать свойства числовых неравенств.

а) 5a

Чтобы оценить значение выражения $5a$, умножим все части данного неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$3 \cdot 5 < a \cdot 5 < 4 \cdot 5$

$15 < 5a < 20$

Ответ: $15 < 5a < 20$.

б) -a

Чтобы оценить значение выражения $-a$, умножим все части исходного неравенства $3 < a < 4$ на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$3 \cdot (-1) > a \cdot (-1) > 4 \cdot (-1)$

$-3 > -a > -4$

Для удобства записи расположим числа в порядке возрастания:

$-4 < -a < -3$

Ответ: $-4 < -a < -3$.

в) a + 2

Чтобы оценить значение выражения $a + 2$, прибавим число 2 ко всем частям исходного неравенства $3 < a < 4$. Прибавление числа не меняет знаков неравенства:

$3 + 2 < a + 2 < 4 + 2$

$5 < a + 2 < 6$

Ответ: $5 < a + 2 < 6$.

г) 5 - a

Данное выражение можно представить как $5 + (-a)$. Сначала оценим значение $-a$. Из пункта б) мы знаем, что $-4 < -a < -3$. Теперь прибавим 5 ко всем частям этого неравенства:

$5 + (-4) < 5 + (-a) < 5 + (-3)$

$1 < 5 - a < 2$

Ответ: $1 < 5 - a < 2$.

д) 0,2a + 3

Сначала оценим значение выражения $0,2a$. Для этого умножим все части исходного неравенства $3 < a < 4$ на 0,2. Так как 0,2 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$3 \cdot 0,2 < a \cdot 0,2 < 4 \cdot 0,2$

$0,6 < 0,2a < 0,8$

Теперь прибавим 3 ко всем частям полученного неравенства:

$0,6 + 3 < 0,2a + 3 < 0,8 + 3$

$3,6 < 0,2a + 3 < 3,8$

Ответ: $3,6 < 0,2a + 3 < 3,8$.

758. Зная, что $5 < x < 8$, оцените значение выражения:

а) $6x$;

б) $-10x$;

в) $x - 5$;

г) $3x + 2$.

а) Нам дано неравенство $5 < x < 8$. Чтобы оценить значение выражения $6x$, нужно умножить все части неравенства на 6. Так как 6 — положительное число, знаки неравенства не меняются:
$5 \cdot 6 < x \cdot 6 < 8 \cdot 6$
$30 < 6x < 48$
Ответ: $30 < 6x < 48$.

б) Чтобы оценить значение выражения $-10x$, нужно умножить все части исходного неравенства $5 < x < 8$ на -10. Так как -10 — отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные:
$5 \cdot (-10) > x \cdot (-10) > 8 \cdot (-10)$
$-50 > -10x > -80$
Запишем неравенство в привычном виде, от меньшего числа к большему:
$-80 < -10x < -50$
Ответ: $-80 < -10x < -50$.

в) Чтобы оценить значение выражения $x - 5$, нужно из всех частей исходного неравенства $5 < x < 8$ вычесть 5. При вычитании числа знаки неравенства не меняются:
$5 - 5 < x - 5 < 8 - 5$
$0 < x - 5 < 3$
Ответ: $0 < x - 5 < 3$.

г) Чтобы оценить значение выражения $3x + 2$, выполним действия пошагово. Сначала умножим все части исходного неравенства $5 < x < 8$ на 3:
$5 \cdot 3 < x \cdot 3 < 8 \cdot 3$
$15 < 3x < 24$
Теперь к каждой части полученного неравенства прибавим 2. При сложении знаки неравенства не меняются:
$15 + 2 < 3x + 2 < 24 + 2$
$17 < 3x + 2 < 26$
Ответ: $17 < 3x + 2 < 26$.

759. Пользуясь тем, что $1.4 < \sqrt{2} < 1.5$, оцените значение выражения:

а) $\sqrt{2} + 1$;

б) $\sqrt{2} - 1$;

в) $2 - \sqrt{2}$.

а)

Для оценки значения выражения $\sqrt{2} + 1$ воспользуемся данным в условии неравенством:

$1,4 < \sqrt{2} < 1,5$

Согласно свойствам числовых неравенств, если ко всем частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство. Прибавим ко всем частям число 1:

$1,4 + 1 < \sqrt{2} + 1 < 1,5 + 1$

Выполним сложение:

$2,4 < \sqrt{2} + 1 < 2,5$

Ответ: $2,4 < \sqrt{2} + 1 < 2,5$.

б)

Для оценки значения выражения $\sqrt{2} - 1$ также используем исходное неравенство:

$1,4 < \sqrt{2} < 1,5$

Согласно свойствам числовых неравенств, если из всех частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то получится верное неравенство. Вычтем из всех частей число 1:

$1,4 - 1 < \sqrt{2} - 1 < 1,5 - 1$

Выполним вычитание:

$0,4 < \sqrt{2} - 1 < 0,5$

Ответ: $0,4 < \sqrt{2} - 1 < 0,5$.

в)

Для оценки значения выражения $2 - \sqrt{2}$ начнем с исходного неравенства:

$1,4 < \sqrt{2} < 1,5$

Сначала умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1,4 > -\sqrt{2} > -1,5$

Для удобства запишем это неравенство в порядке возрастания:

$-1,5 < -\sqrt{2} < -1,4$

Теперь прибавим ко всем частям полученного двойного неравенства число 2:

$2 - 1,5 < 2 - \sqrt{2} < 2 - 1,4$

Выполнив вычисления, получим окончательную оценку:

$0,5 < 2 - \sqrt{2} < 0,6$

Ответ: $0,5 < 2 - \sqrt{2} < 0,6$.

760. Пользуясь тем, что $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$, оцените значение выражения:

a) $\sqrt{5} + 2$;

б) $3 - \sqrt{5}$.

а)

Для оценки значения выражения $\sqrt{5} + 2$ используем данное в условии двойное неравенство: $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$.

Согласно свойству числовых неравенств, если к каждой части верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство. Прибавим число 2 к каждой части исходного неравенства:

$2,2 + 2 < \sqrt{5} + 2 < 2,3 + 2$

Теперь выполним вычисления в левой и правой частях:

$4,2 < \sqrt{5} + 2 < 4,3$

Таким образом, значение выражения $\sqrt{5} + 2$ находится в интервале от 4,2 до 4,3.

Ответ: $4,2 < \sqrt{5} + 2 < 4,3$

б)

Для оценки значения выражения $3 - \sqrt{5}$ снова воспользуемся исходным неравенством: $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$.

Сначала нам нужно получить оценку для $-\sqrt{5}$. Для этого умножим все части исходного неравенства на -1. Важно помнить, что при умножении неравенства на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные:

$2,2 \cdot (-1) > \sqrt{5} \cdot (-1) > 2,3 \cdot (-1)$

$-2,2 > -\sqrt{5} > -2,3$

Для удобства дальнейших вычислений перепишем это неравенство, расположив числа в порядке возрастания:

$-2,3 < -\sqrt{5} < -2,2$

Теперь, чтобы получить выражение $3 - \sqrt{5}$, прибавим число 3 ко всем частям полученного неравенства:

$3 + (-2,3) < 3 + (-\sqrt{5}) < 3 + (-2,2)$

$3 - 2,3 < 3 - \sqrt{5} < 3 - 2,2$

Выполним вычисления:

$0,7 < 3 - \sqrt{5} < 0,8$

Таким образом, значение выражения $3 - \sqrt{5}$ находится в интервале от 0,7 до 0,8.

Ответ: $0,7 < 3 - \sqrt{5} < 0,8$

761. a) Оцените периметр квадрата, сторона которого равна $a$ см, если $5,1 \le a \le 5,2$.

б) Оцените длину стороны квадрата, зная, что периметр квадрата равен $P$ см, если $15,6 \le P \le 15,8$.

а)

Периметр квадрата $P$ вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ — длина его стороны в сантиметрах.
Из условия известно, что длина стороны квадрата $a$ удовлетворяет двойному неравенству: $5,1 \le a \le 5,2$.
Чтобы найти диапазон значений для периметра, умножим все части этого неравенства на 4. Поскольку 4 — положительное число, знаки неравенства не изменятся.
$4 \cdot 5,1 \le 4 \cdot a \le 4 \cdot 5,2$
Выполним умножение:
$20,4 \le 4a \le 20,8$
Заменив $4a$ на $P$, получаем оценку для периметра квадрата:
$20,4 \le P \le 20,8$.
Ответ: $20,4 \le P \le 20,8$.

б)

Длина стороны квадрата $a$ может быть найдена из его периметра $P$ по формуле $a = \frac{P}{4}$.
Из условия известно, что периметр квадрата $P$ удовлетворяет двойному неравенству: $15,6 \le P \le 15,8$.
Чтобы найти диапазон значений для длины стороны $a$, разделим все части этого неравенства на 4. Поскольку 4 — положительное число, знаки неравенства не изменятся.
$\frac{15,6}{4} \le \frac{P}{4} \le \frac{15,8}{4}$
Выполним деление:
$3,9 \le \frac{P}{4} \le 3,95$
Заменив $\frac{P}{4}$ на $a$, получаем оценку для длины стороны квадрата:
$3,9 \le a \le 3,95$.
Ответ: $3,9 \le a \le 3,95$.

762. Оцените значение выражения $\frac{1}{y}$, если:

a) $5 < y < 8$;

б) $0,125 < y < 0,25$.

а)

Нам дано двойное неравенство $5 < y < 8$. Все части этого неравенства (5, y и 8) являются положительными числами.

Для того чтобы оценить значение выражения $\frac{1}{y}$, мы должны применить свойство неравенств для обратных величин. Если $a$ и $b$ - положительные числа и $a < b$, то $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$. Другими словами, при взятии обратной величины от всех частей неравенства с положительными членами, знаки неравенства меняются на противоположные.

Применим это правило к нашему неравенству $5 < y < 8$:

1. Возьмем обратные величины для каждой части неравенства: $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{y}$ и $\frac{1}{8}$.

2. Изменим знаки неравенства на противоположные: знак «<» меняется на «>».

Получаем: $\frac{1}{5} > \frac{1}{y} > \frac{1}{8}$.

Для более привычной записи двойного неравенства (от меньшего к большему) перепишем его в виде:

$\frac{1}{8} < \frac{1}{y} < \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{8} < \frac{1}{y} < \frac{1}{5}$.

б)

Нам дано двойное неравенство $0,125 < y < 0,25$. Все части этого неравенства также положительны.

Для удобства вычислений преобразуем десятичные дроби в обыкновенные:

$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$

$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

Таким образом, исходное неравенство можно переписать в виде:

$\frac{1}{8} < y < \frac{1}{4}$

Теперь, как и в предыдущем пункте, возьмем обратные величины от каждой части неравенства и изменим знаки неравенства на противоположные.

1. Обратная величина для $\frac{1}{8}$ это 8.

2. Обратная величина для $y$ это $\frac{1}{y}$.

3. Обратная величина для $\frac{1}{4}$ это 4.

Применяя правило, получаем:

$8 > \frac{1}{y} > 4$

Запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):

$4 < \frac{1}{y} < 8$

Ответ: $4 < \frac{1}{y} < 8$.

763. Найдите значение многочлена $x^2 - 4x + 1$ при $x = \frac{1}{4}$; $-3$; $2-\sqrt{3}$.

Для нахождения значения многочлена $x^2 - 4x + 1$ необходимо подставить в него заданные значения $x$.

При $x = \frac{1}{4}$

Подставляем значение $x = \frac{1}{4}$ в многочлен:

$(\frac{1}{4})^2 - 4 \cdot (\frac{1}{4}) + 1 = \frac{1}{16} - 1 + 1 = \frac{1}{16}$

Ответ: $\frac{1}{16}$.

При $x = -3$

Подставляем значение $x = -3$ в многочлен:

$(-3)^2 - 4 \cdot (-3) + 1 = 9 + 12 + 1 = 22$

Ответ: $22$.

При $x = 2 - \sqrt{3}$

Подставляем значение $x = 2 - \sqrt{3}$ в многочлен. Для удобства вычислений можно предварительно преобразовать многочлен, выделив полный квадрат:

$x^2 - 4x + 1 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 1 = (x-2)^2 - 3$

Теперь подставим $x = 2 - \sqrt{3}$ в полученное выражение:

$((2 - \sqrt{3}) - 2)^2 - 3 = (-\sqrt{3})^2 - 3 = 3 - 3 = 0$

Ответ: $0$.

764. Решите уравнение:

a) $\frac{8x^2 - 3}{5} - \frac{5 - 9x^2}{4} = 2;$

Б) $\frac{2}{x^2 - x + 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{2x - 1}{x^3 + 1};$

В) $\frac{10}{x^2 - 4} - \frac{3}{2x - 4} = \frac{1}{2};$

Г) $x - \frac{x^2 - 17}{x - 3} = \frac{5}{x}.$

а) $\frac{8x^2-3}{5} - \frac{5-9x^2}{4} = 2$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 4, то есть на 20:

$20 \cdot \left(\frac{8x^2-3}{5} - \frac{5-9x^2}{4}\right) = 20 \cdot 2$

$4(8x^2-3) - 5(5-9x^2) = 40$

Раскроем скобки:

$32x^2 - 12 - 25 + 45x^2 = 40$

Приведем подобные слагаемые:

$(32+45)x^2 - (12+25) = 40$

$77x^2 - 37 = 40$

Перенесем -37 в правую часть уравнения, изменив знак:

$77x^2 = 40 + 37$

$77x^2 = 77$

Разделим обе части на 77:

$x^2 = 1$

Отсюда находим корни:

$x_1 = 1, x_2 = -1$

Ответ: $1; -1$.

б) $\frac{2}{x^2-x+1} - \frac{1}{x+1} = \frac{2x-1}{x^3+1}$

Разложим знаменатель $x^3+1$ на множители по формуле суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$

Перепишем уравнение:

$\frac{2}{x^2-x+1} - \frac{1}{x+1} = \frac{2x-1}{(x+1)(x^2-x+1)}$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю.

$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.

Выражение $x^2-x+1$ всегда положительно, так как его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+1)(x^2-x+1)$, учитывая ОДЗ:

$2(x+1) - 1(x^2-x+1) = 2x-1$

Раскроем скобки:

$2x+2 - x^2+x-1 = 2x-1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-x^2+3x+1 = 2x-1$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$-x^2+3x-2x+1+1 = 0$

$-x^2+x+2 = 0$

Умножим на -1 для удобства:

$x^2-x-2 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2-4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1+8=9$.

$x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{1+3}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{1-3}{2} = -1$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -1$). Корень $x_2=-1$ является посторонним. Единственным решением является $x=2$.

Ответ: $2$.

в) $\frac{10}{x^2-4} - \frac{3}{2x-4} = \frac{1}{2}$

Разложим знаменатели на множители:

$x^2-4 = (x-2)(x+2)$

$2x-4 = 2(x-2)$

Перепишем уравнение:

$\frac{10}{(x-2)(x+2)} - \frac{3}{2(x-2)} = \frac{1}{2}$

ОДЗ: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ и $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$.

Общий знаменатель $2(x-2)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на него:

$10 \cdot 2 - 3 \cdot (x+2) = 1 \cdot (x-2)(x+2)$

Раскроем скобки и упростим:

$20 - 3x - 6 = x^2 - 4$

$14 - 3x = x^2 - 4$

Перенесем все слагаемые в правую часть:

$0 = x^2+3x-4-14$

$x^2+3x-18 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2-4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9+72=81$.

$x_1 = \frac{-3+\sqrt{81}}{2} = \frac{-3+9}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-3-\sqrt{81}}{2} = \frac{-3-9}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -2$).

Ответ: $-6; 3$.

г) $x - \frac{x^2-17}{x-3} = \frac{5}{x}$

ОДЗ: $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ и $x \neq 0$.

Общий знаменатель $x(x-3)$. Умножим обе части уравнения на него:

$x \cdot x(x-3) - (x^2-17) \cdot x = 5 \cdot (x-3)$

Раскроем скобки:

$x^2(x-3) - x^3 + 17x = 5x - 15$

$x^3 - 3x^2 - x^3 + 17x = 5x - 15$

Приведем подобные слагаемые:

$-3x^2 + 17x = 5x - 15$

Перенесем все в левую часть:

$-3x^2 + 17x - 5x + 15 = 0$

$-3x^2 + 12x + 15 = 0$

Разделим уравнение на -3 для упрощения:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2-4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16+20=36$.

$x_1 = \frac{4+\sqrt{36}}{2} = \frac{4+6}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{4-\sqrt{36}}{2} = \frac{4-6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 3$ и $x \neq 0$).

Ответ: $-1; 5$.