Страница 176 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

782. Округлите числа 17,26; 12,034; 8,654 до десятых и найдите абсолютную погрешность каждого из приближённых значений.

Для числа 17,26

Для округления до десятых смотрим на цифру в разряде сотых. В данном случае это 6.
Поскольку $6 \ge 5$, цифру в разряде десятых (2) увеличиваем на 1.
Приближенное значение: $17,3$.

Абсолютная погрешность вычисляется как модуль разности между точным и приближенным значениями.
$|17,26 - 17,3| = |-0,04| = 0,04$.

Ответ: приближенное значение равно 17,3; абсолютная погрешность равна 0,04.

Для числа 12,034

Смотрим на цифру в разряде сотых. В данном случае это 3.
Поскольку $3 < 5$, цифру в разряде десятых (0) оставляем без изменений.
Приближенное значение: $12,0$.

Вычисляем абсолютную погрешность:
$|12,034 - 12,0| = |0,034| = 0,034$.

Ответ: приближенное значение равно 12,0; абсолютная погрешность равна 0,034.

Для числа 8,654

Смотрим на цифру в разряде сотых. В данном случае это 5.
Поскольку $5 \ge 5$, цифру в разряде десятых (6) увеличиваем на 1.
Приближенное значение: $8,7$.

Вычисляем абсолютную погрешность:
$|8,654 - 8,7| = |-0,046| = 0,046$.

Ответ: приближенное значение равно 8,7; абсолютная погрешность равна 0,046.

783. Найдите абсолютную погрешность приближённого значения, полученного в результате округления:

а) числа 9,87 до единиц;

б) числа 124 до десятков;

в) числа 0,453 до десятых;

г) числа 0,198 до сотых.

Абсолютная погрешность — это модуль разности между точным значением величины и её приближённым значением, полученным в результате округления. Она вычисляется по формуле:
Абсолютная погрешность = |Точное значение - Приближённое значение|

а) числа 9,87 до единиц;

1. Находим приближённое значение. Округляем число 9,87 до единиц (до целых). Смотрим на цифру в разряде десятых — это 8. Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде единиц увеличиваем на 1: $9+1=10$.
Приближённое значение равно 10.

2. Находим абсолютную погрешность как модуль разности точного и приближённого значений: $|9,87 - 10| = |-0,13| = 0,13$.
Ответ: 0,13.

б) числа 124 до десятков;

1. Находим приближённое значение. Округляем число 124 до десятков. Смотрим на цифру в разряде единиц — это 4. Так как $4 < 5$, то цифру в разряде десятков оставляем без изменений, а цифру в разряде единиц заменяем на 0.
Приближённое значение равно 120.

2. Находим абсолютную погрешность: $|124 - 120| = |4| = 4$.
Ответ: 4.

в) числа 0,453 до десятых;

1. Находим приближённое значение. Округляем число 0,453 до десятых. Смотрим на цифру в разряде сотых — это 5. Так как $5 \ge 5$, то цифру в разряде десятых увеличиваем на 1: $4+1=5$.
Приближённое значение равно 0,5.

2. Находим абсолютную погрешность: $|0,453 - 0,5| = |-0,047| = 0,047$.
Ответ: 0,047.

г) числа 0,198 до сотых.

1. Находим приближённое значение. Округляем число 0,198 до сотых. Смотрим на цифру в разряде тысячных — это 8. Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде сотых увеличиваем на 1: $9+1=10$. Это значит, что в разряде сотых будет 0, а к разряду десятых прибавится 1.
Приближённое значение равно 0,20.

2. Находим абсолютную погрешность: $|0,198 - 0,20| = |-0,002| = 0,002$.
Ответ: 0,002.

784. При выполнении вычислений дробь $1/7$ заменили десятичной дробью 0,14. Какова абсолютная погрешность этого приближения?

Абсолютная погрешность приближения определяется как модуль разности между точным значением и его приближенным значением.

В данном случае:

• Точное значение: $a = \frac{1}{7}$
• Приближенное значение: $a_1 = 0,14$

Абсолютная погрешность ($\Delta$) вычисляется по формуле:

$\Delta = |a - a_1|$

Подставим наши значения:

$\Delta = |\frac{1}{7} - 0,14|$

Для того чтобы произвести вычитание, необходимо представить оба числа в одном формате. Преобразуем десятичную дробь $0,14$ в обыкновенную:

$0,14 = \frac{14}{100} = \frac{7}{50}$

Теперь вернемся к нашему выражению:

$\Delta = |\frac{1}{7} - \frac{7}{50}|$

Чтобы вычесть одну дробь из другой, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 7 и 50 является их произведение:

$7 \times 50 = 350$

Приведем дроби к знаменателю 350:

$\frac{1}{7} = \frac{1 \times 50}{7 \times 50} = \frac{50}{350}$

$\frac{7}{50} = \frac{7 \times 7}{50 \times 7} = \frac{49}{350}$

Теперь выполним вычитание и найдем абсолютное значение разности:

$\Delta = |\frac{50}{350} - \frac{49}{350}| = |\frac{50 - 49}{350}| = |\frac{1}{350}| = \frac{1}{350}$

Ответ: $\frac{1}{350}$

785. В каких границах заключено число $y$, если:

а) $y = 6,5 \pm 0,1;$

б) $y = 1,27 \pm 0,2.$

Запись вида $y = a \pm h$ означает, что значение $y$ является приближенным значением с погрешностью $h$. Это эквивалентно двойному неравенству $a - h \le y \le a + h$. Чтобы найти границы, в которых заключено число $y$, нужно найти нижнюю и верхнюю границы этого интервала.

а) Дано выражение $y = 6,5 \pm 0,1$.

Здесь приближенное значение $a = 6,5$, а погрешность $h = 0,1$.

Найдем нижнюю границу интервала, вычтя погрешность из приближенного значения:

$y_{min} = 6,5 - 0,1 = 6,4$.

Найдем верхнюю границу интервала, прибавив погрешность к приближенному значению:

$y_{max} = 6,5 + 0,1 = 6,6$.

Таким образом, число $y$ заключено в следующих границах:

$6,4 \le y \le 6,6$.

Ответ: $6,4 \le y \le 6,6$.

б) Дано выражение $y = 1,27 \pm 0,2$.

Здесь приближенное значение $a = 1,27$, а погрешность $h = 0,2$.

Найдем нижнюю границу интервала:

$y_{min} = 1,27 - 0,2 = 1,07$.

Найдем верхнюю границу интервала:

$y_{max} = 1,27 + 0,2 = 1,47$.

Следовательно, число $y$ заключено в границах:

$1,07 \le y \le 1,47$.

Ответ: $1,07 \le y \le 1,47$.

786. На упаковке простокваши написано, что её надо хранить при температуре $4 \pm 2 \, ^\circ C$. В каких границах заключено значение температуры $t \, ^\circ C$, допустимое для хранения?

Запись $4 \pm 2$ °C означает, что температура хранения $t$ должна находиться в диапазоне, который определяется базовым значением $4$ °C и возможным отклонением от него на $2$ °C как в меньшую, так и в большую сторону.

Для нахождения границ допустимого диапазона температур необходимо выполнить следующие вычисления:

1. Вычисляем нижнюю границу диапазона. Для этого из базового значения температуры вычитаем значение отклонения:
$t_{мин} = 4 - 2 = 2$ °C.

2. Вычисляем верхнюю границу диапазона. Для этого к базовому значению температуры прибавляем значение отклонения:
$t_{макс} = 4 + 2 = 6$ °C.

Таким образом, допустимое для хранения значение температуры $t$ находится в пределах от $2$ °C до $6$ °C включительно. Это можно записать в виде двойного неравенства.

Ответ: Значение температуры $t$ (°C) заключено в границах от 2 до 6, что соответствует неравенству $2 \le t \le 6$.