Страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

797. Докажите неравенство:

a) $6a(a + 1) < (3a + 1)(2a + 1) + a;$

б) $(2p - 1)(2p + 1) + 3(p + 1) > (4p + 3)p.$

а) Чтобы доказать неравенство $6a(a + 1) < (3a + 1)(2a + 1) + a$, необходимо упростить обе его части и сравнить их.
Сначала преобразуем левую часть неравенства, раскрыв скобки:
$ЛЧ = 6a(a + 1) = 6a^2 + 6a$
Теперь преобразуем правую часть. Раскроем скобки произведения многочленов и приведем подобные слагаемые:
$ПЧ = (3a + 1)(2a + 1) + a = (6a^2 + 3a + 2a + 1) + a = 6a^2 + 5a + 1 + a = 6a^2 + 6a + 1$
После преобразований исходное неравенство принимает вид:
$6a^2 + 6a < 6a^2 + 6a + 1$
Для проверки истинности этого неравенства вычтем из обеих частей одинаковое выражение $6a^2 + 6a$:
$6a^2 + 6a - (6a^2 + 6a) < 6a^2 + 6a + 1 - (6a^2 + 6a)$
$0 < 1$
Мы получили верное числовое неравенство $0 < 1$. Поскольку все преобразования были тождественными, исходное неравенство верно при любом значении переменной $a$.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Чтобы доказать неравенство $(2p - 1)(2p + 1) + 3(p + 1) > (4p + 3)p$, упростим обе его части.
Преобразуем левую часть. Первое слагаемое является произведением разности и суммы двух выражений, что равно разности их квадратов (формула разности квадратов): $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
$ЛЧ = (2p - 1)(2p + 1) + 3(p + 1) = ((2p)^2 - 1^2) + (3p + 3) = 4p^2 - 1 + 3p + 3 = 4p^2 + 3p + 2$
Теперь преобразуем правую часть, раскрыв скобки:
$ПЧ = (4p + 3)p = 4p \cdot p + 3 \cdot p = 4p^2 + 3p$
Подставим упрощенные выражения в исходное неравенство:
$4p^2 + 3p + 2 > 4p^2 + 3p$
Вычтем из обеих частей неравенства одинаковое выражение $4p^2 + 3p$:
$(4p^2 + 3p + 2) - (4p^2 + 3p) > (4p^2 + 3p) - (4p^2 + 3p)$
$2 > 0$
Мы получили верное числовое неравенство $2 > 0$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении переменной $p$.
Ответ: Неравенство доказано.

798. а) Разность корней уравнения $x^2 - 8x + q = 0$ равна 16. Найдите $q$.

б) Сумма квадратов корней уравнения $x^2 - 7x + q = 0$ равна 29. Найдите $q$.

а)

Дано квадратное уравнение $x^2 - 8x + q = 0$. Пусть его корни – $x_1$ и $x_2$. По условию задачи, разность корней равна 16. Это можно записать как $|x_1 - x_2| = 16$. Для определенности, пусть $x_1 > x_2$, тогда $x_1 - x_2 = 16$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + k = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = k$.

Для нашего уравнения $x^2 - 8x + q = 0$ имеем:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-8) = 8$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$.

У нас есть система из двух линейных уравнений для нахождения корней $x_1$ и $x_2$:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 8 \\ x_1 - x_2 = 16 \end{cases}$

Сложив оба уравнения, получим: $(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = 8 + 16$, что дает $2x_1 = 24$, откуда $x_1 = 12$.

Подставим найденное значение $x_1$ в первое уравнение системы: $12 + x_2 = 8$, откуда $x_2 = 8 - 12 = -4$.

Теперь, зная оба корня, мы можем найти $q$ из формулы произведения корней:

$q = x_1 \cdot x_2 = 12 \cdot (-4) = -48$.

Другой способ:

Можно использовать тождество, связывающее разность, сумму и произведение корней: $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

Подставляя известные значения, получаем:

$16^2 = 8^2 - 4q$

$256 = 64 - 4q$

$4q = 64 - 256$

$4q = -192$

$q = -48$

Проверим, что при данном $q$ уравнение имеет действительные корни. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(1)(-48) = 64 + 192 = 256$. Так как $D > 0$, у уравнения есть два различных действительных корня.

Ответ: $q = -48$.

б)

Дано квадратное уравнение $x^2 - 7x + q = 0$. Пусть его корни – $x_1$ и $x_2$. По условию, сумма квадратов корней равна 29, то есть $x_1^2 + x_2^2 = 29$.

Снова применяем теорему Виета для данного уравнения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-7) = 7$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$.

Сумму квадратов корней можно выразить через их сумму и произведение с помощью следующего тождества:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим в это тождество известные нам значения:

$29 = (7)^2 - 2 \cdot q$

$29 = 49 - 2q$

Теперь решим полученное уравнение относительно $q$:

$2q = 49 - 29$

$2q = 20$

$q = 10$

Проверим, что при $q=10$ уравнение имеет действительные корни. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9$. Так как $D > 0$, у уравнения есть два различных действительных корня.

Ответ: $q = 10$.

1 Сформулируйте теоремы, выражающие основные свойства числовых неравенств, и докажите их.

В основе доказательства всех свойств числовых неравенств лежит определение: число a больше числа b, если их разность a - b — положительное число. Аналогично, a меньше b, если разность a - b — отрицательное число.

$a > b \iff a - b > 0$

$a < b \iff a - b < 0$

Теорема 1 (Свойство транзитивности).

Формулировка: Если число $a$ больше числа $b$, а число $b$ больше числа $c$, то число $a$ больше числа $c$.
То есть, если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.

Доказательство:

По условию $a > b$. Согласно определению, это означает, что разность $a - b$ является положительным числом: $a - b > 0$.

Также по условию $b > c$. Это означает, что разность $b - c$ также является положительным числом: $b - c > 0$.

Рассмотрим разность $a - c$. Мы можем представить её, прибавив и вычтя одно и то же число $b$: $a - c = a - b + b - c = (a - b) + (b - c)$.

Так как $(a - b)$ и $(b - c)$ — положительные числа, их сумма также будет положительным числом.

Следовательно, $a - c > 0$. А это, по определению, означает, что $a > c$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.

Теорема 2 (О прибавлении к обеим частям неравенства одного и того же числа).

Формулировка: Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.
То есть, если $a > b$, то для любого числа $c$ справедливо $a + c > b + c$.

Доказательство:

По условию $a > b$, что по определению означает $a - b > 0$.

Чтобы доказать, что $a + c > b + c$, нужно показать, что разность $(a + c) - (b + c)$ положительна.

Рассмотрим эту разность: $(a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b$.

Поскольку из условия мы знаем, что $a - b > 0$, то и разность $(a + c) - (b + c)$ положительна.

Следовательно, по определению, $a + c > b + c$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Если $a > b$, то для любого числа $c$ справедливо неравенство $a + c > b + c$.

Теорема 3 (Об умножении обеих частей неравенства на положительное число).

Формулировка: Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.
То есть, если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$.

Доказательство:

По условию $a > b$, значит $a - b > 0$. Также по условию $c > 0$.

Рассмотрим разность $ac - bc$. Вынесем за скобки общий множитель $c$: $ac - bc = c(a - b)$.

Мы получили произведение двух положительных чисел: $c$ и $(a - b)$. Произведение двух положительных чисел всегда является положительным числом.

Следовательно, $c(a - b) > 0$, а значит и $ac - bc > 0$.

По определению, это означает, что $ac > bc$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$.

Теорема 4 (Об умножении обеих частей неравенства на отрицательное число).

Формулировка: Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.
То есть, если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$.

Доказательство:

По условию $a > b$, значит $a - b > 0$. Также по условию $c < 0$.

Рассмотрим разность $ac - bc$. Вынесем за скобки общий множитель $c$: $ac - bc = c(a - b)$.

Мы получили произведение отрицательного числа $c$ и положительного числа $(a - b)$. Произведение чисел с разными знаками является отрицательным числом.

Следовательно, $c(a - b) < 0$, а значит и $ac - bc < 0$.

По определению, это означает, что $ac < bc$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$.

Теорема 5 (О сложении неравенств).

Формулировка: Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство того же знака.
То есть, если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.

Доказательство:

По условию $a > b$, значит $a - b > 0$.

По условию $c > d$, значит $c - d > 0$.

Рассмотрим разность левой и правой частей итогового неравенства: $(a + c) - (b + d)$. Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые: $(a + c) - (b + d) = a + c - b - d = (a - b) + (c - d)$.

Мы получили сумму двух положительных чисел $(a - b)$ и $(c - d)$. Эта сумма также является положительным числом.

Следовательно, $(a + c) - (b + d) > 0$.

По определению, это означает, что $a + c > b + d$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.

Теорема 6 (Об умножении неравенств).

Формулировка: Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых — положительные числа, то получится верное неравенство того же знака.
То есть, если $a > b > 0$ и $c > d > 0$, то $ac > bd$.

Доказательство:

Рассмотрим разность $ac - bd$. Преобразуем ее, прибавив и отняв слагаемое $bc$: $ac - bd = ac - bc + bc - bd$.

Сгруппируем слагаемые: $(ac - bc) + (bc - bd) = c(a - b) + b(c - d)$.

Из условий теоремы имеем:
1. $a > b \implies a - b > 0$
2. $c > d \implies c - d > 0$
3. $b > 0$ и $c > 0$

Рассмотрим выражение $c(a - b)$. Так как $c > 0$ и $(a - b) > 0$, их произведение $c(a - b) > 0$.

Рассмотрим выражение $b(c - d)$. Так как $b > 0$ и $(c - d) > 0$, их произведение $b(c - d) > 0$.

Сумма двух положительных выражений $c(a - b) + b(c - d)$ также является положительным числом.

Следовательно, $ac - bd > 0$, что по определению означает $ac > bd$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Если $a > b > 0$ и $c > d > 0$, то $ac > bd$.

2. Сформулируйте и докажите теоремы о почленном сложении и умножении неравенств.

Теорема о почленном сложении неравенств

Формулировка: Если даны верные неравенства одного знака $a < b$ и $c < d$, то неравенство $a + c < b + d$ также является верным. Иными словами, неравенства одного знака можно почленно складывать.

Доказательство:

Для доказательства справедливости неравенства $a + c < b + d$ необходимо показать, что разность правой и левой частей, то есть $(b + d) - (a + c)$, является положительным числом.

1. Преобразуем данную разность, раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые: $(b + d) - (a + c) = b + d - a - c = (b - a) + (d - c)$.

2. Согласно условию, $a < b$. Это означает, что разность $b - a$ является положительным числом, то есть $b - a > 0$.

3. Аналогично, из условия $c < d$ следует, что разность $d - c$ также является положительным числом: $d - c > 0$.

4. Сумма двух положительных чисел ($b - a$ и $d - c$) всегда является положительным числом. Следовательно, $(b - a) + (d - c) > 0$.

5. Таким образом, мы доказали, что $(b + d) - (a + c) > 0$, что по определению числового неравенства равносильно $a + c < b + d$. Теорема доказана.

Ответ: Если $a < b$ и $c < d$, то при почленном сложении этих неравенств получается верное неравенство того же знака: $a + c < b + d$.

Теорема о почленном умножении неравенств

Формулировка: Если даны верные неравенства одного знака $a < b$ и $c < d$, и все их части являются положительными числами ($a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$), то неравенство $ac < bd$ также является верным. Иными словами, неравенства одного знака с положительными частями можно почленно перемножать.

Доказательство:

1. Рассмотрим неравенство $a < b$. Поскольку по условию $c$ — положительное число ($c > 0$), мы можем умножить обе части этого неравенства на $c$, сохранив при этом знак неравенства. В результате получаем верное неравенство: $ac < bc$.

2. Теперь рассмотрим неравенство $c < d$. Поскольку по условию $b$ — положительное число ($b > 0$), мы можем умножить обе части этого неравенства на $b$, также сохранив знак неравенства. В результате получаем: $bc < bd$.

3. В итоге мы имеем два верных неравенства: $ac < bc$ и $bc < bd$.

4. На основании свойства транзитивности неравенств (если $x < y$ и $y < z$, то $x < z$), мы можем сделать вывод, что $ac < bd$. Теорема доказана.

Ответ: Если $a, b, c, d$ — положительные числа, и верны неравенства $a < b$ и $c < d$, то при их почленном умножении получается верное неравенство того же знака: $ac < bd$.

3 Оцените сумму, разность, произведение и частное чисел $a$ и $b$, если известно, что $4 < a < 5$ и $9 < b < 10$.

Даны два неравенства: $4 < a < 5$ и $9 < b < 10$.

Сумма

Для того чтобы оценить сумму $a + b$, необходимо сложить левые и правые части исходных неравенств соответственно. Это можно делать, так как знаки неравенств одинаковые.

Складываем неравенства $4 < a < 5$ и $9 < b < 10$:

$4 + 9 < a + b < 5 + 10$

Выполняем сложение:

$13 < a + b < 15$

Ответ: $13 < a + b < 15$

Разность

Для оценки разности $a - b$ мы можем представить ее как сумму $a + (-b)$. Сначала найдем оценку для $-b$. Для этого умножим все части неравенства $9 < b < 10$ на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1 \cdot 10 < -1 \cdot b < -1 \cdot 9$

$-10 < -b < -9$

Теперь сложим полученное неравенство с неравенством для $a$:

$4 < a < 5$

$-10 < -b < -9$

Складываем почленно:

$4 + (-10) < a + (-b) < 5 + (-9)$

$-6 < a - b < -4$

Ответ: $-6 < a - b < -4$

Произведение

Поскольку числа $a$ и $b$ заключены между положительными границами, они оба положительны. Следовательно, для оценки произведения $ab$ можно почленно перемножить неравенства.

Перемножаем неравенства $4 < a < 5$ и $9 < b < 10$:

$4 \cdot 9 < a \cdot b < 5 \cdot 10$

Выполняем умножение:

$36 < ab < 50$

Ответ: $36 < ab < 50$

Частное

Для оценки частного $\frac{a}{b}$ мы можем представить его как произведение $a \cdot \frac{1}{b}$. Найдем оценку для $\frac{1}{b}$. Поскольку $b > 0$, мы можем взять обратные величины от каждой части неравенства $9 < b < 10$, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$\frac{1}{10} < \frac{1}{b} < \frac{1}{9}$

Теперь умножим неравенство для $a$ на неравенство для $\frac{1}{b}$ (все части положительны, поэтому перемножать можно):

$4 < a < 5$

$\frac{1}{10} < \frac{1}{b} < \frac{1}{9}$

Перемножаем почленно:

$4 \cdot \frac{1}{10} < a \cdot \frac{1}{b} < 5 \cdot \frac{1}{9}$

$\frac{4}{10} < \frac{a}{b} < \frac{5}{9}$

Сократим дробь в левой части:

$\frac{2}{5} < \frac{a}{b} < \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{2}{5} < \frac{a}{b} < \frac{5}{9}$

4. Что называется абсолютной погрешностью приближённого значения? Объясните смысл записи $x = a \pm h$.

Абсолютная погрешность приближённого значения — это модуль (абсолютная величина) разности между точным значением величины ($x$) и её приближённым значением ($a$).

Абсолютная погрешность вычисляется по формуле: $\Delta = |x - a|$.

Поскольку точное значение $x$ часто неизвестно, на практике используют понятие предельной абсолютной погрешности. Это любое положительное число $h$, которое заведомо больше или равно абсолютной погрешности. То есть, это оценка погрешности сверху, для которой выполняется неравенство:

$|x - a| \le h$.

Ответ: Абсолютной погрешностью приближённого значения называется модуль разности между точным значением величины и её приближённым значением.

Смысл записи $x = a \pm h$ заключается в том, что она задаёт интервал, в котором гарантированно находится точное значение величины $x$. Эта запись является компактной формой для неравенства $|x - a| \le h$, которое мы рассмотрели выше.

Давайте раскроем это неравенство:

$-h \le x - a \le h$

Теперь прибавим ко всем трём частям двойного неравенства приближённое значение $a$:

$a - h \le x - a + a \le a + h$

$a - h \le x \le a + h$

Таким образом, запись $x = a \pm h$ означает, что точное значение $x$ принадлежит отрезку $[a - h; a + h]$. В этой записи:

• $a$ — это приближённое значение величины.
• $h$ — это предельная абсолютная погрешность, которая показывает максимальное возможное отклонение точного значения от приближённого.

Ответ: Запись $x = a \pm h$ означает, что точное значение $x$ находится в границах от $a - h$ до $a + h$, то есть удовлетворяет двойному неравенству $a - h \le x \le a + h$.

5 Что называется относительной погрешностью приближённого значения?

Относительной погрешностью приближённого значения называется величина, характеризующая точность приближения. Она определяется как отношение абсолютной погрешности к модулю самого приближённого значения.

Пусть $x$ — точное значение некоторой величины, а $a$ — её приближённое значение. Абсолютная погрешность $\Delta$ — это модуль разности между точным и приближённым значениями: $\Delta = |x - a|$. Тогда относительная погрешность $\delta$ вычисляется по формуле: $$ \delta = \frac{\Delta}{|a|} = \frac{|x - a|}{|a|} $$ Обычно относительную погрешность выражают в долях единицы или в процентах. Для перевода в проценты полученное значение умножают на $100\%$.

Основное преимущество относительной погрешности перед абсолютной заключается в том, что она позволяет оценить качество приближения безотносительно масштаба самой величины. Например, абсолютная погрешность в $1$ метр может быть приемлемой при измерении расстояния между городами (сотни километров), но совершенно недопустимой при измерении длины комнаты (несколько метров). Относительная погрешность в обоих случаях покажет, какая доля от измеряемой величины была потеряна, и даст объективную оценку точности.

Например, пусть при измерении высоты здания, равной $50$ м, была допущена ошибка в $0.5$ м, а при измерении толщины книги, равной $5$ см ($0.05$ м), ошибка составила $0.5$ см ($0.005$ м).
Абсолютная погрешность измерения здания: $\Delta_1 = 0.5$ м.
Абсолютная погрешность измерения книги: $\Delta_2 = 0.005$ м.
Теперь вычислим относительные погрешности:
Для здания: $\delta_1 = \frac{0.5 \text{ м}}{50 \text{ м}} = 0.01$, или $1\%$.
Для книги: $\delta_2 = \frac{0.005 \text{ м}}{0.05 \text{ м}} = 0.1$, или $10\%$.
Хотя абсолютная погрешность при измерении здания в $100$ раз больше, относительная погрешность показывает, что это измерение было в $10$ раз точнее, чем измерение толщины книги.

Ответ: Относительной погрешностью приближённого значения называют отношение абсолютной погрешности $\Delta = |x - a|$ к модулю приближённого значения $|a|$ (где $x$ - точное значение, а $a$ - приближенное). Она вычисляется по формуле $\delta = \frac{\Delta}{|a|}$ и показывает, какую часть от самого значения составляет погрешность, тем самым характеризуя качество приближения.