Номер 2, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 2, страница 178.

2. Сформулируйте и докажите теоремы о почленном сложении и умножении неравенств.

Теорема о почленном сложении неравенств

Формулировка: Если даны верные неравенства одного знака $a < b$ и $c < d$, то неравенство $a + c < b + d$ также является верным. Иными словами, неравенства одного знака можно почленно складывать.

Доказательство:

Для доказательства справедливости неравенства $a + c < b + d$ необходимо показать, что разность правой и левой частей, то есть $(b + d) - (a + c)$, является положительным числом.

1. Преобразуем данную разность, раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые: $(b + d) - (a + c) = b + d - a - c = (b - a) + (d - c)$.

2. Согласно условию, $a < b$. Это означает, что разность $b - a$ является положительным числом, то есть $b - a > 0$.

3. Аналогично, из условия $c < d$ следует, что разность $d - c$ также является положительным числом: $d - c > 0$.

4. Сумма двух положительных чисел ($b - a$ и $d - c$) всегда является положительным числом. Следовательно, $(b - a) + (d - c) > 0$.

5. Таким образом, мы доказали, что $(b + d) - (a + c) > 0$, что по определению числового неравенства равносильно $a + c < b + d$. Теорема доказана.

Ответ: Если $a < b$ и $c < d$, то при почленном сложении этих неравенств получается верное неравенство того же знака: $a + c < b + d$.

Теорема о почленном умножении неравенств

Формулировка: Если даны верные неравенства одного знака $a < b$ и $c < d$, и все их части являются положительными числами ($a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$), то неравенство $ac < bd$ также является верным. Иными словами, неравенства одного знака с положительными частями можно почленно перемножать.

Доказательство:

1. Рассмотрим неравенство $a < b$. Поскольку по условию $c$ — положительное число ($c > 0$), мы можем умножить обе части этого неравенства на $c$, сохранив при этом знак неравенства. В результате получаем верное неравенство: $ac < bc$.

2. Теперь рассмотрим неравенство $c < d$. Поскольку по условию $b$ — положительное число ($b > 0$), мы можем умножить обе части этого неравенства на $b$, также сохранив знак неравенства. В результате получаем: $bc < bd$.

3. В итоге мы имеем два верных неравенства: $ac < bc$ и $bc < bd$.

4. На основании свойства транзитивности неравенств (если $x < y$ и $y < z$, то $x < z$), мы можем сделать вывод, что $ac < bd$. Теорема доказана.

Ответ: Если $a, b, c, d$ — положительные числа, и верны неравенства $a < b$ и $c < d$, то при их почленном умножении получается верное неравенство того же знака: $ac < bd$.