Номер 795, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Погрешность и точность приближения. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 795, страница 177.

795. Измерили толщину человеческого волоса $d$ и расстояние от Земли до Луны $l$. Получили $d \approx 0{,}15 \text{ мм}$ с точностью до $0{,}01 \text{ мм}$ и $l \approx 384\,000 \text{ км}$ с точностью до $500 \text{ км}$. Сравните качество измерений, оценив относительные погрешности.

Для того чтобы сравнить качество двух измерений, необходимо вычислить их относительные погрешности. Качество измерения считается тем выше, чем меньше его относительная погрешность.

Относительная погрешность ($\epsilon$) определяется как отношение абсолютной погрешности ($\Delta x$) к модулю измеренного значения ($x$):
$\epsilon = \frac{\Delta x}{|x|}$

Оценка относительной погрешности измерения толщины волоса

Для измерения толщины человеческого волоса ($d$) имеем следующие данные:
Приближенное значение: $d \approx 0,15$ мм.
Абсолютная погрешность (точность): $\Delta d = 0,01$ мм.

Вычислим относительную погрешность $\epsilon_d$:
$\epsilon_d = \frac{\Delta d}{d} = \frac{0,01 \text{ мм}}{0,15 \text{ мм}} = \frac{1}{15}$

Для наглядности можно выразить эту погрешность в процентах:
$\epsilon_d = \frac{1}{15} \times 100\% \approx 6,67\%$

Ответ: Относительная погрешность измерения толщины волоса составляет $\frac{1}{15}$ (приблизительно $6,67\%$).

Оценка относительной погрешности измерения расстояния от Земли до Луны

Для измерения расстояния от Земли до Луны ($l$) имеем следующие данные:
Приближенное значение: $l \approx 384 \, 000$ км.
Абсолютная погрешность (точность): $\Delta l = 500$ км.

Вычислим относительную погрешность $\epsilon_l$. Единицы измерения (километры) сокращаются, поэтому их можно не переводить в другие единицы.
$\epsilon_l = \frac{\Delta l}{l} = \frac{500 \text{ км}}{384 \, 000 \text{ км}} = \frac{500}{384000} = \frac{5}{3840} = \frac{1}{768}$

Выразим эту погрешность в процентах:
$\epsilon_l = \frac{1}{768} \times 100\% \approx 0,13\%$

Ответ: Относительная погрешность измерения расстояния до Луны составляет $\frac{1}{768}$ (приблизительно $0,13\%$).

Сравнение качества измерений

Сравним полученные относительные погрешности:
$\epsilon_d = \frac{1}{15}$ и $\epsilon_l = \frac{1}{768}$

Чтобы сравнить дроби с одинаковыми числителями, нужно сравнить их знаменатели. Чем больше знаменатель, тем меньше дробь.
Поскольку $15 < 768$, то $\frac{1}{15} > \frac{1}{768}$.

Это означает, что $\epsilon_d > \epsilon_l$. Относительная погрешность измерения расстояния до Луны меньше, чем относительная погрешность измерения толщины волоса.

Ответ: Измерение расстояния от Земли до Луны выполнено с более высоким качеством, так как его относительная погрешность ($\epsilon_l = \frac{1}{768} \approx 0,13\%$) значительно меньше, чем относительная погрешность измерения толщины волоса ($\epsilon_d = \frac{1}{15} \approx 6,67\%$).