Номер 798, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Погрешность и точность приближения. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 798, страница 178.

798. а) Разность корней уравнения $x^2 - 8x + q = 0$ равна 16. Найдите $q$.

б) Сумма квадратов корней уравнения $x^2 - 7x + q = 0$ равна 29. Найдите $q$.

а)

Дано квадратное уравнение $x^2 - 8x + q = 0$. Пусть его корни – $x_1$ и $x_2$. По условию задачи, разность корней равна 16. Это можно записать как $|x_1 - x_2| = 16$. Для определенности, пусть $x_1 > x_2$, тогда $x_1 - x_2 = 16$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + k = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = k$.

Для нашего уравнения $x^2 - 8x + q = 0$ имеем:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-8) = 8$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$.

У нас есть система из двух линейных уравнений для нахождения корней $x_1$ и $x_2$:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 8 \\ x_1 - x_2 = 16 \end{cases}$

Сложив оба уравнения, получим: $(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = 8 + 16$, что дает $2x_1 = 24$, откуда $x_1 = 12$.

Подставим найденное значение $x_1$ в первое уравнение системы: $12 + x_2 = 8$, откуда $x_2 = 8 - 12 = -4$.

Теперь, зная оба корня, мы можем найти $q$ из формулы произведения корней:

$q = x_1 \cdot x_2 = 12 \cdot (-4) = -48$.

Другой способ:

Можно использовать тождество, связывающее разность, сумму и произведение корней: $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

Подставляя известные значения, получаем:

$16^2 = 8^2 - 4q$

$256 = 64 - 4q$

$4q = 64 - 256$

$4q = -192$

$q = -48$

Проверим, что при данном $q$ уравнение имеет действительные корни. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(1)(-48) = 64 + 192 = 256$. Так как $D > 0$, у уравнения есть два различных действительных корня.

Ответ: $q = -48$.

б)

Дано квадратное уравнение $x^2 - 7x + q = 0$. Пусть его корни – $x_1$ и $x_2$. По условию, сумма квадратов корней равна 29, то есть $x_1^2 + x_2^2 = 29$.

Снова применяем теорему Виета для данного уравнения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-7) = 7$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$.

Сумму квадратов корней можно выразить через их сумму и произведение с помощью следующего тождества:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим в это тождество известные нам значения:

$29 = (7)^2 - 2 \cdot q$

$29 = 49 - 2q$

Теперь решим полученное уравнение относительно $q$:

$2q = 49 - 29$

$2q = 20$

$q = 10$

Проверим, что при $q=10$ уравнение имеет действительные корни. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9$. Так как $D > 0$, у уравнения есть два различных действительных корня.

Ответ: $q = 10$.