Номер 5, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 5, страница 178.

5 Что называется относительной погрешностью приближённого значения?

Относительной погрешностью приближённого значения называется величина, характеризующая точность приближения. Она определяется как отношение абсолютной погрешности к модулю самого приближённого значения.

Пусть $x$ — точное значение некоторой величины, а $a$ — её приближённое значение. Абсолютная погрешность $\Delta$ — это модуль разности между точным и приближённым значениями: $\Delta = |x - a|$. Тогда относительная погрешность $\delta$ вычисляется по формуле: $$ \delta = \frac{\Delta}{|a|} = \frac{|x - a|}{|a|} $$ Обычно относительную погрешность выражают в долях единицы или в процентах. Для перевода в проценты полученное значение умножают на $100\%$.

Основное преимущество относительной погрешности перед абсолютной заключается в том, что она позволяет оценить качество приближения безотносительно масштаба самой величины. Например, абсолютная погрешность в $1$ метр может быть приемлемой при измерении расстояния между городами (сотни километров), но совершенно недопустимой при измерении длины комнаты (несколько метров). Относительная погрешность в обоих случаях покажет, какая доля от измеряемой величины была потеряна, и даст объективную оценку точности.

Например, пусть при измерении высоты здания, равной $50$ м, была допущена ошибка в $0.5$ м, а при измерении толщины книги, равной $5$ см ($0.05$ м), ошибка составила $0.5$ см ($0.005$ м).
Абсолютная погрешность измерения здания: $\Delta_1 = 0.5$ м.
Абсолютная погрешность измерения книги: $\Delta_2 = 0.005$ м.
Теперь вычислим относительные погрешности:
Для здания: $\delta_1 = \frac{0.5 \text{ м}}{50 \text{ м}} = 0.01$, или $1\%$.
Для книги: $\delta_2 = \frac{0.005 \text{ м}}{0.05 \text{ м}} = 0.1$, или $10\%$.
Хотя абсолютная погрешность при измерении здания в $100$ раз больше, относительная погрешность показывает, что это измерение было в $10$ раз точнее, чем измерение толщины книги.

Ответ: Относительной погрешностью приближённого значения называют отношение абсолютной погрешности $\Delta = |x - a|$ к модулю приближённого значения $|a|$ (где $x$ - точное значение, а $a$ - приближенное). Она вычисляется по формуле $\delta = \frac{\Delta}{|a|}$ и показывает, какую часть от самого значения составляет погрешность, тем самым характеризуя качество приближения.