Номер 797, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Погрешность и точность приближения. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 797, страница 178.

797. Докажите неравенство:

a) $6a(a + 1) < (3a + 1)(2a + 1) + a;$

б) $(2p - 1)(2p + 1) + 3(p + 1) > (4p + 3)p.$

а) Чтобы доказать неравенство $6a(a + 1) < (3a + 1)(2a + 1) + a$, необходимо упростить обе его части и сравнить их.
Сначала преобразуем левую часть неравенства, раскрыв скобки:
$ЛЧ = 6a(a + 1) = 6a^2 + 6a$
Теперь преобразуем правую часть. Раскроем скобки произведения многочленов и приведем подобные слагаемые:
$ПЧ = (3a + 1)(2a + 1) + a = (6a^2 + 3a + 2a + 1) + a = 6a^2 + 5a + 1 + a = 6a^2 + 6a + 1$
После преобразований исходное неравенство принимает вид:
$6a^2 + 6a < 6a^2 + 6a + 1$
Для проверки истинности этого неравенства вычтем из обеих частей одинаковое выражение $6a^2 + 6a$:
$6a^2 + 6a - (6a^2 + 6a) < 6a^2 + 6a + 1 - (6a^2 + 6a)$
$0 < 1$
Мы получили верное числовое неравенство $0 < 1$. Поскольку все преобразования были тождественными, исходное неравенство верно при любом значении переменной $a$.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Чтобы доказать неравенство $(2p - 1)(2p + 1) + 3(p + 1) > (4p + 3)p$, упростим обе его части.
Преобразуем левую часть. Первое слагаемое является произведением разности и суммы двух выражений, что равно разности их квадратов (формула разности квадратов): $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
$ЛЧ = (2p - 1)(2p + 1) + 3(p + 1) = ((2p)^2 - 1^2) + (3p + 3) = 4p^2 - 1 + 3p + 3 = 4p^2 + 3p + 2$
Теперь преобразуем правую часть, раскрыв скобки:
$ПЧ = (4p + 3)p = 4p \cdot p + 3 \cdot p = 4p^2 + 3p$
Подставим упрощенные выражения в исходное неравенство:
$4p^2 + 3p + 2 > 4p^2 + 3p$
Вычтем из обеих частей неравенства одинаковое выражение $4p^2 + 3p$:
$(4p^2 + 3p + 2) - (4p^2 + 3p) > (4p^2 + 3p) - (4p^2 + 3p)$
$2 > 0$
Мы получили верное числовое неравенство $2 > 0$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении переменной $p$.
Ответ: Неравенство доказано.