Номер 1, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 1, страница 178.

1 Сформулируйте теоремы, выражающие основные свойства числовых неравенств, и докажите их.

В основе доказательства всех свойств числовых неравенств лежит определение: число a больше числа b, если их разность a - b — положительное число. Аналогично, a меньше b, если разность a - b — отрицательное число.

$a > b \iff a - b > 0$

$a < b \iff a - b < 0$

---

Теорема 1 (Свойство транзитивности).

Формулировка: Если число $a$ больше числа $b$, а число $b$ больше числа $c$, то число $a$ больше числа $c$.
То есть, если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.

Доказательство:

По условию $a > b$. Согласно определению, это означает, что разность $a - b$ является положительным числом: $a - b > 0$.

Также по условию $b > c$. Это означает, что разность $b - c$ также является положительным числом: $b - c > 0$.

Рассмотрим разность $a - c$. Мы можем представить её, прибавив и вычтя одно и то же число $b$: $a - c = a - b + b - c = (a - b) + (b - c)$.

Так как $(a - b)$ и $(b - c)$ — положительные числа, их сумма также будет положительным числом.

Следовательно, $a - c > 0$. А это, по определению, означает, что $a > c$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.

---

Теорема 2 (О прибавлении к обеим частям неравенства одного и того же числа).

Формулировка: Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.
То есть, если $a > b$, то для любого числа $c$ справедливо $a + c > b + c$.

Доказательство:

По условию $a > b$, что по определению означает $a - b > 0$.

Чтобы доказать, что $a + c > b + c$, нужно показать, что разность $(a + c) - (b + c)$ положительна.

Рассмотрим эту разность: $(a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b$.

Поскольку из условия мы знаем, что $a - b > 0$, то и разность $(a + c) - (b + c)$ положительна.

Следовательно, по определению, $a + c > b + c$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Если $a > b$, то для любого числа $c$ справедливо неравенство $a + c > b + c$.

---

Теорема 3 (Об умножении обеих частей неравенства на положительное число).

Формулировка: Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.
То есть, если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$.

Доказательство:

По условию $a > b$, значит $a - b > 0$. Также по условию $c > 0$.

Рассмотрим разность $ac - bc$. Вынесем за скобки общий множитель $c$: $ac - bc = c(a - b)$.

Мы получили произведение двух положительных чисел: $c$ и $(a - b)$. Произведение двух положительных чисел всегда является положительным числом.

Следовательно, $c(a - b) > 0$, а значит и $ac - bc > 0$.

По определению, это означает, что $ac > bc$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$.

---

Теорема 4 (Об умножении обеих частей неравенства на отрицательное число).

Формулировка: Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.
То есть, если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$.

Доказательство:

По условию $a > b$, значит $a - b > 0$. Также по условию $c < 0$.

Рассмотрим разность $ac - bc$. Вынесем за скобки общий множитель $c$: $ac - bc = c(a - b)$.

Мы получили произведение отрицательного числа $c$ и положительного числа $(a - b)$. Произведение чисел с разными знаками является отрицательным числом.

Следовательно, $c(a - b) < 0$, а значит и $ac - bc < 0$.

По определению, это означает, что $ac < bc$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$.

---

Теорема 5 (О сложении неравенств).

Формулировка: Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство того же знака.
То есть, если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.

Доказательство:

По условию $a > b$, значит $a - b > 0$.

По условию $c > d$, значит $c - d > 0$.

Рассмотрим разность левой и правой частей итогового неравенства: $(a + c) - (b + d)$. Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые: $(a + c) - (b + d) = a + c - b - d = (a - b) + (c - d)$.

Мы получили сумму двух положительных чисел $(a - b)$ и $(c - d)$. Эта сумма также является положительным числом.

Следовательно, $(a + c) - (b + d) > 0$.

По определению, это означает, что $a + c > b + d$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.

---

Теорема 6 (Об умножении неравенств).

Формулировка: Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых — положительные числа, то получится верное неравенство того же знака.
То есть, если $a > b > 0$ и $c > d > 0$, то $ac > bd$.

Доказательство:

Рассмотрим разность $ac - bd$. Преобразуем ее, прибавив и отняв слагаемое $bc$: $ac - bd = ac - bc + bc - bd$.

Сгруппируем слагаемые: $(ac - bc) + (bc - bd) = c(a - b) + b(c - d)$.

Из условий теоремы имеем:
1. $a > b \implies a - b > 0$
2. $c > d \implies c - d > 0$
3. $b > 0$ и $c > 0$

Рассмотрим выражение $c(a - b)$. Так как $c > 0$ и $(a - b) > 0$, их произведение $c(a - b) > 0$.

Рассмотрим выражение $b(c - d)$. Так как $b > 0$ и $(c - d) > 0$, их произведение $b(c - d) > 0$.

Сумма двух положительных выражений $c(a - b) + b(c - d)$ также является положительным числом.

Следовательно, $ac - bd > 0$, что по определению означает $ac > bd$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Если $a > b > 0$ и $c > d > 0$, то $ac > bd$.