Номер 796, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Погрешность и точность приближения. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 796, страница 177.

796. Сравнивая с нулём значения выражений, ученик получил следующие результаты:

1. $3\sqrt{2}-\sqrt{7}>0$

2. $6\sqrt{3}-3\sqrt{6}>0$

3. $4\sqrt{7}-9\sqrt{2}<0$

4. $7\sqrt{11}-6\sqrt{12}<0$

При этом он допустил ошибку. Найдите её и исправьте.

Для того чтобы найти ошибку, необходимо проверить верность каждого из четырех неравенств. Сравнение будем производить путем возведения в квадрат обеих частей соответствующего неравенства, предварительно перенеся вычитаемое в правую часть. Этот метод корректен, так как все сравниваемые числа являются положительными.

1. Проверим неравенство $3\sqrt{2} - \sqrt{7} > 0$. Оно равносильно неравенству $3\sqrt{2} > \sqrt{7}$.
Возведем обе части в квадрат: $(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.
Квадрат правой части: $(\sqrt{7})^2 = 7$.
Поскольку $18 > 7$, то и $3\sqrt{2} > \sqrt{7}$. Следовательно, исходное неравенство верное.
Ответ: Верно.

2. Проверим неравенство $6\sqrt{3} - 3\sqrt{6} > 0$. Оно равносильно неравенству $6\sqrt{3} > 3\sqrt{6}$.
Возведем обе части в квадрат: $(6\sqrt{3})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108$.
Квадрат правой части: $(3\sqrt{6})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 9 \cdot 6 = 54$.
Поскольку $108 > 54$, то и $6\sqrt{3} > 3\sqrt{6}$. Следовательно, исходное неравенство верное.
Ответ: Верно.

3. Проверим неравенство $4\sqrt{7} - 9\sqrt{2} < 0$. Оно равносильно неравенству $4\sqrt{7} < 9\sqrt{2}$.
Возведем обе части в квадрат: $(4\sqrt{7})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 16 \cdot 7 = 112$.
Квадрат правой части: $(9\sqrt{2})^2 = 9^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 81 \cdot 2 = 162$.
Поскольку $112 < 162$, то и $4\sqrt{7} < 9\sqrt{2}$. Следовательно, исходное неравенство верное.
Ответ: Верно.

4. Проверим неравенство $7\sqrt{11} - 6\sqrt{12} < 0$. Оно равносильно неравенству $7\sqrt{11} < 6\sqrt{12}$.
Возведем обе части в квадрат: $(7\sqrt{11})^2 = 7^2 \cdot (\sqrt{11})^2 = 49 \cdot 11 = 539$.
Квадрат правой части: $(6\sqrt{12})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{12})^2 = 36 \cdot 12 = 432$.
Поскольку $539 > 432$, то на самом деле $7\sqrt{11} > 6\sqrt{12}$. Следовательно, исходное неравенство $7\sqrt{11} - 6\sqrt{12} < 0$ является неверным.
Ответ: Неверно.

Таким образом, ученик допустил ошибку в неравенстве под номером 4. Правильная запись должна быть $7\sqrt{11} - 6\sqrt{12} > 0$.