Страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

787. На упаковке товара указано, что его масса равна $420 \text{ г} \pm 3\%$. В каких границах заключена масса $a \text{ г}$ этого товара?

Указание на упаковке $420 \text{ г} \pm 3\%$ означает, что фактическая масса товара a может отличаться от номинальной массы в 420 г не более чем на 3%.

Сначала необходимо найти абсолютную величину этого отклонения в граммах. Для этого вычислим 3% от 420 г:

$420 \cdot \frac{3}{100} = 420 \cdot 0.03 = 12.6 \text{ г}$

Теперь можно определить границы, в которых заключена масса a.

Нижняя граница (минимально возможная масса) получается вычитанием величины отклонения из номинальной массы:

$a_{мин} = 420 - 12.6 = 407.4 \text{ г}$

Верхняя граница (максимально возможная масса) получается прибавлением величины отклонения к номинальной массе:

$a_{макс} = 420 + 12.6 = 432.6 \text{ г}$

Следовательно, масса товара a находится в диапазоне от 407,4 г до 432,6 г включительно. Это можно записать в виде двойного неравенства.

Ответ: $407.4 \le a \le 432.6$.

788. На коробке конфет указано, что она должна храниться при температуре $16 \pm 3^\circ\text{C}$. Удовлетворяет ли этому условию температура воздуха, равная:

а) $18^\circ$;

б) $21^\circ$;

в) $14,5^\circ$;

г) $12,5^\circ$?

Условие хранения конфет указано как температура $16 \pm 3$ °C. Это означает, что температура хранения, обозначим ее $T$, должна находиться в определенном диапазоне.

Найдем нижнюю границу допустимого диапазона температур:
$T_{min} = 16 - 3 = 13$ °C.

Найдем верхнюю границу допустимого диапазона температур:
$T_{max} = 16 + 3 = 19$ °C.

Таким образом, допустимый диапазон температур для хранения конфет — от 13 °C до 19 °C включительно. Математически это можно записать в виде двойного неравенства: $13 \le T \le 19$.

Теперь проверим, удовлетворяет ли каждая из предложенных температур этому условию.

а) Проверим температуру $T = 18$ °C.
Подставим это значение в наше неравенство: $13 \le 18 \le 19$.
Это неравенство является верным, так как число 18 находится между 13 и 19. Следовательно, данная температура удовлетворяет условию.
Ответ: да.

б) Проверим температуру $T = 21$ °C.
Подставим это значение в неравенство: $13 \le 21 \le 19$.
Это неравенство является неверным, так как $21 > 19$. Следовательно, данная температура не удовлетворяет условию.
Ответ: нет.

в) Проверим температуру $T = 14,5$ °C.
Подставим это значение в неравенство: $13 \le 14,5 \le 19$.
Это неравенство является верным, так как число 14,5 находится между 13 и 19. Следовательно, данная температура удовлетворяет условию.
Ответ: да.

г) Проверим температуру $T = 12,5$ °C.
Подставим это значение в неравенство: $13 \le 12,5 \le 19$.
Это неравенство является неверным, так как $12,5 < 13$. Следовательно, данная температура не удовлетворяет условию.
Ответ: нет.

789. Определяя массу мешка картофеля с точностью до $1 \text{ кг}$, нашли, что она равна $32 \text{ кг}$. Может ли масса этого мешка, измеренная с точностью до $0,1 \text{ кг}$, оказаться равной:

a) $31,4$;

б) $32,5$;

в) $33,2$;

г) $30,7$?

Основное условие задачи заключается в том, что масса мешка картофеля, равная 32 кг, определена с точностью до 1 кг. Это означает, что истинное значение массы m находится в некотором интервале вокруг 32 кг.

По определению, если величина A является приближением величины m с точностью до h, то абсолютная погрешность (модуль разности между истинным и приближенным значением) не превышает половины точности, то есть $|m - A| \le \frac{h}{2}$.

В нашем случае, приближенное значение A = 32 кг, а точность h = 1 кг. Подставив эти значения в формулу, получаем:

$|m - 32| \le \frac{1}{2}$

$|m - 32| \le 0,5$

Это неравенство можно записать в виде двойного неравенства:

$-0,5 \le m - 32 \le 0,5$

Чтобы найти диапазон для истинной массы m, прибавим 32 ко всем частям неравенства:

$32 - 0,5 \le m \le 32 + 0,5$

$31,5 \le m \le 32,5$

Таким образом, истинная масса мешка картофеля находится в пределах от 31,5 кг до 32,5 кг включительно. Теперь проверим, могут ли предложенные значения массы, измеренные с большей точностью, оказаться истинной массой мешка.

а) 31,4

Проверим, попадает ли значение 31,4 кг в найденный интервал $[31,5; 32,5]$.
Поскольку $31,4 < 31,5$, это значение не входит в допустимый диапазон. Если бы истинная масса была 31,4 кг, то при округлении до целых килограммов мы бы получили 31 кг, а не 32 кг.
Ответ: не может.

б) 32,5

Проверим, попадает ли значение 32,5 кг в найденный интервал $[31,5; 32,5]$.
Поскольку $31,5 \le 32,5 \le 32,5$, это значение является крайней точкой интервала и, согласно формальному определению точности, входит в него. Следовательно, масса мешка может быть равна 32,5 кг. Стоит отметить, что при использовании стандартных правил округления (когда число x,5 округляется в большую сторону), значение 32,5 кг было бы округлено до 33 кг. Однако в контексте понятия "точность измерения" используется именно замкнутый интервал.
Ответ: может.

в) 33,2

Проверим, попадает ли значение 33,2 кг в найденный интервал $[31,5; 32,5]$.
Поскольку $33,2 > 32,5$, это значение не входит в допустимый диапазон. Если бы истинная масса была 33,2 кг, то при округлении до целых килограммов мы бы получили 33 кг.
Ответ: не может.

г) 30,7

Проверим, попадает ли значение 30,7 кг в найденный интервал $[31,5; 32,5]$.
Поскольку $30,7 < 31,5$, это значение не входит в допустимый диапазон. Если бы истинная масса была 30,7 кг, то при округлении до целых килограммов мы бы получили 31 кг.
Ответ: не может.

790. Начертите острый угол и измерьте его с помощью транспортира. Какова точность полученного результата?

Начертите острый угол и измерьте его с помощью транспортира.

Острый угол — это угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$. Для построения и измерения такого угла используется транспортир.

Процесс построения:
1. Начертим луч с началом в точке $O$.
2. Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой $O$, а нулевая отметка шкалы легла на луч.
3. Выберем на шкале транспортира любое значение в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$, например $50^\circ$, и поставим точку.
4. Проведем второй луч из точки $O$ через поставленную точку.
Полученный угол является острым.

Процесс измерения:
Совмещаем вершину угла с центром транспортира, а одну из сторон угла — с нулевой отметкой. Значение на шкале, на которое укажет вторая сторона, является градусной мерой угла.

Предположим, что в результате измерения мы получили угол величиной $50^\circ$.

Ответ: Был начерчен и измерен острый угол, его величина, к примеру, составила $50^\circ$.

Какова точность полученного результата?

Точность измерения зависит от измерительного прибора. Цена деления (наименьшее деление на шкале) стандартного школьного транспортира обычно составляет $1^\circ$.

Точность (или абсолютная погрешность) измерения принимается равной половине цены деления измерительного прибора. Таким образом, для транспортира с ценой деления $1^\circ$ точность измерения будет:
$\pm \frac{1^\circ}{2} = \pm 0.5^\circ$

Это означает, что если результат измерения составил $50^\circ$, то истинное значение величины угла находится в интервале от $50^\circ - 0.5^\circ$ до $50^\circ + 0.5^\circ$, то есть от $49.5^\circ$ до $50.5^\circ$.

Ответ: Точность полученного результата, при измерении стандартным транспортиром, составляет $\pm 0.5^\circ$.

791. При измерении длины стержня пользовались линейкой с миллиметровыми делениями, штангенциркулем (цена деления $0,1 \text{ мм}$) и микрометром (цена деления $0,01 \text{ мм}$). При этом были получены результаты: $17,9 \text{ мм}$, $18 \text{ мм}$, $17,86 \text{ мм}$. Каким инструментом выполнено каждое из указанных измерений и какую точность дает каждый инструмент?

Для решения задачи необходимо сопоставить точность каждого измерительного инструмента с количеством значащих цифр после запятой в полученных результатах. Точность измерения напрямую связана с ценой деления шкалы прибора. Как правило, результат измерения записывают так, чтобы последняя значащая цифра соответствовала разряду цены деления.

Измерение 18 мм
Этот результат записан в виде целого числа, без десятичных знаков. Это соответствует измерению с точностью до 1 мм. Линейка с миллиметровыми делениями имеет цену деления 1 мм. Следовательно, измерение 18 мм было выполнено с помощью линейки. Точность, которую обеспечивает этот инструмент, равна его цене деления. Дополнительно можно указать, что абсолютная погрешность измерения для такого прибора равна половине цены деления, то есть $\Delta L = \frac{1 \text{ мм}}{2} = 0,5 \text{ мм}$.
Ответ: измерение 18 мм выполнено линейкой, точность которой составляет 1 мм.

Измерение 17,9 мм
Этот результат содержит один знак после запятой, что указывает на точность измерения до десятых долей миллиметра. По условию, штангенциркуль имеет цену деления 0,1 мм. Значит, это измерение было выполнено штангенциркулем. Точность этого инструмента составляет 0,1 мм. Абсолютная погрешность измерения: $\Delta L = \frac{0,1 \text{ мм}}{2} = 0,05 \text{ мм}$.
Ответ: измерение 17,9 мм выполнено штангенциркулем, точность которого составляет 0,1 мм.

Измерение 17,86 мм
Данный результат записан с двумя знаками после запятой, что соответствует точности до сотых долей миллиметра. Микрометр, согласно условию, имеет цену деления 0,01 мм. Таким образом, измерение 17,86 мм было выполнено микрометром. Это самый точный из трех приборов. Его точность составляет 0,01 мм. Абсолютная погрешность измерения: $\Delta L = \frac{0,01 \text{ мм}}{2} = 0,005 \text{ мм}$.
Ответ: измерение 17,86 мм выполнено микрометром, точность которого составляет 0,01 мм.

792. Округлите число 2,525 до десятых. Найдите относительную погрешность приближения, полученного при округлении.

Округление числа до десятых

Чтобы округлить число 2,525 до десятых, необходимо посмотреть на цифру, стоящую в разряде сотых (вторая цифра после запятой). В данном числе это цифра 2.

Согласно правилам округления, если цифра, следующая за округляемым разрядом, меньше 5 ($2 < 5$), то цифра в округляемом разряде (в данном случае 5) остаётся без изменений, а все последующие цифры отбрасываются.

Таким образом, $2,525 \approx 2,5$.

Ответ: 2,5

Нахождение относительной погрешности приближения

Относительная погрешность — это отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения.

1. Вычисление абсолютной погрешности ($\Delta$).

Абсолютная погрешность равна модулю разности между точным значением ($x = 2,525$) и его приближённым значением ($a = 2,5$).

$\Delta = |x - a| = |2,525 - 2,5| = |0,025| = 0,025$.

2. Вычисление относительной погрешности ($\epsilon$).

Относительная погрешность вычисляется по формуле $\epsilon = \frac{\Delta}{|x|}$.

Подставляем наши значения:

$\epsilon = \frac{0,025}{|2,525|} = \frac{0,025}{2,525}$.

Для упрощения дроби можно умножить числитель и знаменатель на 1000:

$\epsilon = \frac{25}{2525}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 25:

$\epsilon = \frac{25 \div 25}{2525 \div 25} = \frac{1}{101}$.

Относительную погрешность также можно выразить в процентах, умножив результат на 100%:

$\epsilon = \frac{1}{101} \times 100\% \approx 0,990099...\%$.

При округлении до сотых долей процента получаем $\epsilon \approx 0,99\%$.

Ответ: Относительная погрешность равна $\frac{1}{101}$ (или приблизительно $0,99\%$).

793. Выполняя лабораторную работу по определению плотности железа, ученик получил результат 7,6 $\text{г/см}^3$. Вычислите относительную погрешность экспериментального результата (табличное значение плотности железа равно 7,8 $\text{г/см}^3$).

Относительная погрешность ($ \varepsilon $) — это величина, показывающая степень точности измерения. Она вычисляется как отношение абсолютной погрешности ($ \Delta\rho $) к истинному (в данном случае, табличному) значению измеряемой величины ($ \rho_{табл} $). Результат принято выражать в процентах.

Формула для расчета относительной погрешности:

$ \varepsilon = \frac{\Delta\rho}{\rho_{табл}} \times 100\% $

Абсолютная погрешность ($ \Delta\rho $) — это модуль разности между табличным ($ \rho_{табл} $) и экспериментальным ($ \rho_{эксп} $) значениями.

$ \Delta\rho = |\rho_{табл} - \rho_{эксп}| $

Согласно условию задачи:

Экспериментальное значение плотности: $ \rho_{эксп} = 7,6 \text{ г/см}^3 $.
Табличное значение плотности железа: $ \rho_{табл} = 7,8 \text{ г/см}^3 $.

1. Вычислим абсолютную погрешность измерения:

$ \Delta\rho = |7,8 \text{ г/см}^3 - 7,6 \text{ г/см}^3| = 0,2 \text{ г/см}^3 $

2. Вычислим относительную погрешность:

$ \varepsilon = \frac{0,2 \text{ г/см}^3}{7,8 \text{ г/см}^3} \times 100\% $

$ \varepsilon \approx 0,02564... \times 100\% \approx 2,56\% $

Округляя результат до десятых долей процента, получаем 2,6%.

Ответ: относительная погрешность экспериментального результата составляет приблизительно 2,6%.

794. Поверхность Земли равна 510,2 млн $км^2$ (с точностью до 0,1 млн $км^2$). Оцените относительную погрешность приближённого значения.

Для оценки относительной погрешности приближенного значения необходимо найти отношение абсолютной погрешности к модулю самого этого значения.

Относительная погрешность $\delta_a$ вычисляется по формуле:

$\delta_a = \frac{\Delta a}{|a|}$

где $a$ — это приближенное значение, а $\Delta a$ — его абсолютная погрешность.

Согласно условию задачи, у нас есть:

Приближенное значение поверхности Земли: $a = 510,2$ млн км².

Точность измерения "до 0,1 млн км²" означает, что абсолютная погрешность не превышает эту величину. Возьмем ее в качестве оценки абсолютной погрешности: $\Delta a = 0,1$ млн км².

Теперь подставим данные значения в формулу для вычисления относительной погрешности:

$\delta_a = \frac{0,1 \text{ млн км²}}{510,2 \text{ млн км²}} = \frac{0,1}{510,2}$

Чтобы избавиться от дробей в числителе и знаменателе, умножим их на 10:

$\delta_a = \frac{1}{5102}$

Для наглядности можно перевести эту дробь в десятичный вид и выразить в процентах.

$\delta_a = \frac{1}{5102} \approx 0,0001960015...$

Для перевода в проценты умножим полученное значение на 100%:

$\delta_a \approx 0,000196 \times 100\% = 0,0196\%$

Округляя, получаем, что относительная погрешность составляет примерно $0,0002$ или $0,02\%$.

Ответ: $\frac{1}{5102} \approx 0,0002$ (или $0,02\%$).

795. Измерили толщину человеческого волоса $d$ и расстояние от Земли до Луны $l$. Получили $d \approx 0{,}15 \text{ мм}$ с точностью до $0{,}01 \text{ мм}$ и $l \approx 384\,000 \text{ км}$ с точностью до $500 \text{ км}$. Сравните качество измерений, оценив относительные погрешности.

Для того чтобы сравнить качество двух измерений, необходимо вычислить их относительные погрешности. Качество измерения считается тем выше, чем меньше его относительная погрешность.

Относительная погрешность ($\epsilon$) определяется как отношение абсолютной погрешности ($\Delta x$) к модулю измеренного значения ($x$):
$\epsilon = \frac{\Delta x}{|x|}$

Оценка относительной погрешности измерения толщины волоса

Для измерения толщины человеческого волоса ($d$) имеем следующие данные:
Приближенное значение: $d \approx 0,15$ мм.
Абсолютная погрешность (точность): $\Delta d = 0,01$ мм.

Вычислим относительную погрешность $\epsilon_d$:
$\epsilon_d = \frac{\Delta d}{d} = \frac{0,01 \text{ мм}}{0,15 \text{ мм}} = \frac{1}{15}$

Для наглядности можно выразить эту погрешность в процентах:
$\epsilon_d = \frac{1}{15} \times 100\% \approx 6,67\%$

Ответ: Относительная погрешность измерения толщины волоса составляет $\frac{1}{15}$ (приблизительно $6,67\%$).

Оценка относительной погрешности измерения расстояния от Земли до Луны

Для измерения расстояния от Земли до Луны ($l$) имеем следующие данные:
Приближенное значение: $l \approx 384 \, 000$ км.
Абсолютная погрешность (точность): $\Delta l = 500$ км.

Вычислим относительную погрешность $\epsilon_l$. Единицы измерения (километры) сокращаются, поэтому их можно не переводить в другие единицы.
$\epsilon_l = \frac{\Delta l}{l} = \frac{500 \text{ км}}{384 \, 000 \text{ км}} = \frac{500}{384000} = \frac{5}{3840} = \frac{1}{768}$

Выразим эту погрешность в процентах:
$\epsilon_l = \frac{1}{768} \times 100\% \approx 0,13\%$

Ответ: Относительная погрешность измерения расстояния до Луны составляет $\frac{1}{768}$ (приблизительно $0,13\%$).

Сравнение качества измерений

Сравним полученные относительные погрешности:
$\epsilon_d = \frac{1}{15}$ и $\epsilon_l = \frac{1}{768}$

Чтобы сравнить дроби с одинаковыми числителями, нужно сравнить их знаменатели. Чем больше знаменатель, тем меньше дробь.
Поскольку $15 < 768$, то $\frac{1}{15} > \frac{1}{768}$.

Это означает, что $\epsilon_d > \epsilon_l$. Относительная погрешность измерения расстояния до Луны меньше, чем относительная погрешность измерения толщины волоса.

Ответ: Измерение расстояния от Земли до Луны выполнено с более высоким качеством, так как его относительная погрешность ($\epsilon_l = \frac{1}{768} \approx 0,13\%$) значительно меньше, чем относительная погрешность измерения толщины волоса ($\epsilon_d = \frac{1}{15} \approx 6,67\%$).

796. Сравнивая с нулём значения выражений, ученик получил следующие результаты:

1. $3\sqrt{2}-\sqrt{7}>0$

2. $6\sqrt{3}-3\sqrt{6}>0$

3. $4\sqrt{7}-9\sqrt{2}<0$

4. $7\sqrt{11}-6\sqrt{12}<0$

При этом он допустил ошибку. Найдите её и исправьте.

Для того чтобы найти ошибку, необходимо проверить верность каждого из четырех неравенств. Сравнение будем производить путем возведения в квадрат обеих частей соответствующего неравенства, предварительно перенеся вычитаемое в правую часть. Этот метод корректен, так как все сравниваемые числа являются положительными.

1. Проверим неравенство $3\sqrt{2} - \sqrt{7} > 0$. Оно равносильно неравенству $3\sqrt{2} > \sqrt{7}$.
Возведем обе части в квадрат: $(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.
Квадрат правой части: $(\sqrt{7})^2 = 7$.
Поскольку $18 > 7$, то и $3\sqrt{2} > \sqrt{7}$. Следовательно, исходное неравенство верное.
Ответ: Верно.

2. Проверим неравенство $6\sqrt{3} - 3\sqrt{6} > 0$. Оно равносильно неравенству $6\sqrt{3} > 3\sqrt{6}$.
Возведем обе части в квадрат: $(6\sqrt{3})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108$.
Квадрат правой части: $(3\sqrt{6})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 9 \cdot 6 = 54$.
Поскольку $108 > 54$, то и $6\sqrt{3} > 3\sqrt{6}$. Следовательно, исходное неравенство верное.
Ответ: Верно.

3. Проверим неравенство $4\sqrt{7} - 9\sqrt{2} < 0$. Оно равносильно неравенству $4\sqrt{7} < 9\sqrt{2}$.
Возведем обе части в квадрат: $(4\sqrt{7})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 16 \cdot 7 = 112$.
Квадрат правой части: $(9\sqrt{2})^2 = 9^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 81 \cdot 2 = 162$.
Поскольку $112 < 162$, то и $4\sqrt{7} < 9\sqrt{2}$. Следовательно, исходное неравенство верное.
Ответ: Верно.

4. Проверим неравенство $7\sqrt{11} - 6\sqrt{12} < 0$. Оно равносильно неравенству $7\sqrt{11} < 6\sqrt{12}$.
Возведем обе части в квадрат: $(7\sqrt{11})^2 = 7^2 \cdot (\sqrt{11})^2 = 49 \cdot 11 = 539$.
Квадрат правой части: $(6\sqrt{12})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{12})^2 = 36 \cdot 12 = 432$.
Поскольку $539 > 432$, то на самом деле $7\sqrt{11} > 6\sqrt{12}$. Следовательно, исходное неравенство $7\sqrt{11} - 6\sqrt{12} < 0$ является неверным.
Ответ: Неверно.

Таким образом, ученик допустил ошибку в неравенстве под номером 4. Правильная запись должна быть $7\sqrt{11} - 6\sqrt{12} > 0$.