Страница 181 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

807. (Для работы в парах.) Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множествами $A$ и $B$ и найдите пересечение и объединение этих множеств, если:

а) $A$ — множество целых чисел, кратных 3, $B$ — множество целых чисел, кратных 5;

б) $A$ — множество целых чисел, кратных 3, $B$ — множество целых чисел, кратных 15.

1) Распределите, кто выполняет задания для случая а), а кто — для случая б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнен рисунок и правильно ли найдены пересечение и объединение множеств $A$ и $B$.

3) Исправьте ошибки, если они допущены.

а) A — множество целых чисел, кратных 3, B — множество целых чисел, кратных 5.

Сначала определим множества.
Множество A состоит из чисел, делящихся на 3: $A = \{..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, ...\}$.
Множество B состоит из чисел, делящихся на 5: $B = \{..., -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, ...\}$.

Иллюстрация с помощью кругов Эйлера:
Чтобы определить соотношение между множествами, проверим, есть ли у них общие элементы и является ли одно подмножеством другого.
- Существуют числа, принадлежащие обоим множествам, например, 15, 30, 0. Это значит, что множества пересекаются.
- Существуют числа, которые принадлежат A, но не принадлежат B (например, 3, 6, 9).
- Существуют числа, которые принадлежат B, но не принадлежат A (например, 5, 10, 20).
Следовательно, ни одно из множеств не является подмножеством другого. На диаграмме Эйлера эти множества изображаются как два пересекающихся круга.

Пересечение множеств ($A \cap B$):
Пересечение $A \cap B$ состоит из элементов, которые принадлежат одновременно и множеству A, и множеству B. Это целые числа, которые делятся и на 3, и на 5. Число, делящееся на 3 и 5, должно делиться на их наименьшее общее кратное (НОК).
$НОК(3, 5) = 15$.
Таким образом, пересечением множеств A и B является множество целых чисел, кратных 15.

Объединение множеств ($A \cup B$):
Объединение $A \cup B$ состоит из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств (либо A, либо B, либо обоим). Это множество всех целых чисел, которые кратны 3 или кратны 5.

Ответ: Пересечение $A \cap B$ — это множество целых чисел, кратных 15. Объединение $A \cup B$ — это множество целых чисел, кратных 3 или 5. Множества A и B являются пересекающимися.

б) A — множество целых чисел, кратных 3, B — множество целых чисел, кратных 15.

Сначала определим множества.
Множество A состоит из чисел, делящихся на 3: $A = \{..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, ...\}$.
Множество B состоит из чисел, делящихся на 15: $B = \{..., -30, -15, 0, 15, 30, ...\}$.

Иллюстрация с помощью кругов Эйлера:
Проанализируем соотношение между множествами. Любое число, кратное 15, можно записать как $15k$ для некоторого целого $k$. Поскольку $15 = 3 \times 5$, то $15k = 3 \times (5k)$. Так как $5k$ — целое число, любое число, кратное 15, также кратно и 3.
Это означает, что каждый элемент множества B является также и элементом множества A. Следовательно, множество B является подмножеством множества A: $B \subset A$.
На диаграмме Эйлера круг, представляющий множество B, будет полностью находиться внутри круга, представляющего множество A.

Пересечение множеств ($A \cap B$):
Пересечение $A \cap B$ состоит из элементов, общих для обоих множеств. Так как все элементы множества B содержатся в множестве A, их пересечением будет само множество B.
$A \cap B = B$. Это множество целых чисел, кратных 15.

Объединение множеств ($A \cup B$):
Объединение $A \cup B$ состоит из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств. Поскольку все элементы множества B уже содержатся в множестве A, их объединение не добавит новых элементов и будет равно самому множеству A.
$A \cup B = A$. Это множество целых чисел, кратных 3.

Ответ: Пересечение $A \cap B$ — это множество целых чисел, кратных 15. Объединение $A \cup B$ — это множество целых чисел, кратных 3. Множество B является подмножеством множества A ($B \subset A$).

808. Найдите пересечение и объединение множеств X и Y, если:

а) X — множество простых чисел, Y — множество составных чисел;

б) X — множество целых чисел, кратных 5, Y — множество целых чисел, кратных 15.

а) Множество X — это множество простых чисел, то есть натуральных чисел больше 1, которые имеют ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. Например, $X = \{2, 3, 5, 7, 11, ...\}$. Множество Y — это множество составных чисел, то есть натуральных чисел больше 1, которые не являются простыми (имеют более двух натуральных делителей). Например, $Y = \{4, 6, 8, 9, 10, ...\}$.

Пересечение $X \cap Y$: Пересечение множеств содержит элементы, которые принадлежат обоим множествам одновременно. По определению, число не может быть одновременно и простым, и составным. Следовательно, у множеств X и Y нет общих элементов. Их пересечение — пустое множество. $X \cap Y = \emptyset$.

Объединение $X \cup Y$: Объединение множеств содержит все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств. Объединение множеств простых и составных чисел включает в себя все натуральные числа, за исключением числа 1, которое по определению не является ни простым, ни составным. $X \cup Y = \{n \in \mathbb{N} \mid n > 1\}$.

Ответ: Пересечение — пустое множество ($\emptyset$). Объединение — множество всех натуральных чисел, кроме 1.

б) Множество X — это множество целых чисел, кратных 5. Его можно записать как $X = \{n \in \mathbb{Z} \mid n = 5k, k \in \mathbb{Z}\} = \{..., -10, -5, 0, 5, 10, ...\}$.
Множество Y — это множество целых чисел, кратных 15. Его можно записать как $Y = \{n \in \mathbb{Z} \mid n = 15m, m \in \mathbb{Z}\} = \{..., -30, -15, 0, 15, 30, ...\}$.

Заметим, что любое целое число, кратное 15, можно представить в виде $15m = 5 \times (3m)$. Это означает, что любое число, которое делится на 15, также делится и на 5. Таким образом, каждый элемент множества Y является также элементом множества X. Это значит, что множество Y является подмножеством множества X ($Y \subset X$).

Пересечение $X \cap Y$: Пересечение множеств — это множество элементов, общих для обоих множеств. Так как все элементы множества Y содержатся в множестве X, их пересечением будет само множество Y. $X \cap Y = Y$. Это множество всех целых чисел, кратных 15.

Объединение $X \cup Y$: Объединение множеств — это множество, содержащее все элементы из обоих множеств. Так как все элементы множества Y уже содержатся в множестве X, их объединением будет само множество X. $X \cup Y = X$. Это множество всех целых чисел, кратных 5.

Ответ: Пересечение — множество целых чисел, кратных 15 (то есть множество Y). Объединение — множество целых чисел, кратных 5 (то есть множество X).

809. Термометр показывает температуру с точностью до $1^\circ \text{C}$. Измеряя им температуру воздуха, нашли, что она равна $16^\circ \text{C}$. С какой относительной точностью выполнено измерение?

Относительная точность (или относительная погрешность) измерения — это отношение абсолютной погрешности к модулю измеряемой величины. Она показывает, какую долю от измеряемой величины составляет погрешность.

Дано:
Абсолютная погрешность (точность термометра) составляет $\Delta T = 1 \text{ °C}$.
Измеренное значение температуры воздуха $T = 16 \text{ °C}$.

Решение:
Для нахождения относительной точности $\epsilon$ воспользуемся формулой:
$\epsilon = \frac{\Delta T}{|T|}$
Подставим в формулу известные значения:
$\epsilon = \frac{1 \text{ °C}}{|16 \text{ °C}|} = \frac{1}{16}$
Обычно относительную точность выражают в виде десятичной дроби или в процентах.
Переведем дробь $\frac{1}{16}$ в десятичную:
$\frac{1}{16} = 0.0625$
Чтобы выразить это значение в процентах, умножим его на 100%:
$0.0625 \times 100\% = 6.25\%$
Следовательно, относительная точность выполненного измерения составляет $\frac{1}{16}$ или $6.25\%$.

Ответ: измерение выполнено с относительной точностью $\frac{1}{16}$ (или $6.25\%$).

810. Решите уравнение

$1 - \frac{1}{2-x} = \frac{6-x}{3x^2-12} - \frac{1}{x-2}$

Исходное уравнение:$1 - \frac{1}{2-x} = \frac{6-x}{3x^2 - 12} - \frac{1}{x-2}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$2 - x \neq 0 \implies x \neq 2$

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

$3x^2 - 12 \neq 0 \implies 3(x^2 - 4) \neq 0 \implies 3(x-2)(x+2) \neq 0$, что означает $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Теперь преобразуем уравнение. Заметим, что $2-x = -(x-2)$. Поэтому дробь $\frac{1}{2-x}$ можно переписать как $-\frac{1}{x-2}$. Также разложим на множители знаменатель $3x^2 - 12 = 3(x-2)(x+2)$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$1 - (-\frac{1}{x-2}) = \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x-2}$

$1 + \frac{1}{x-2} = \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x-2}$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$1 + \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 0$

$1 + \frac{2}{x-2} - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 0$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $3(x-2)(x+2)$:

$\frac{3(x-2)(x+2)}{3(x-2)(x+2)} + \frac{2 \cdot 3(x+2)}{3(x-2)(x+2)} - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 0$

$\frac{3(x^2 - 4) + 6(x+2) - (6-x)}{3(x-2)(x+2)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ). Приравняем числитель к нулю:

$3(x^2 - 4) + 6(x+2) - (6-x) = 0$

Раскроем скобки:

$3x^2 - 12 + 6x + 12 - 6 + x = 0$

Приведем подобные члены:

$3x^2 + 7x - 6 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта.

$a=3, b=7, c=-6$

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$

$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -2$).

Корень $x_1 = -3$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = \frac{2}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $-3; \frac{2}{3}$.

811. В одном фермерском хозяйстве благодаря применению новых технологий удалось получить гречихи на 2 ц с гектара больше, чем в другом. В результате оказалось, что в первом хозяйстве собрали 180 ц гречихи, а во втором — только 160 ц, хотя во втором хозяйстве под гречиху было отведено на 1 га больше. Какова была урожайность гречихи в каждом хозяйстве?

Для решения задачи введем переменные, опираясь на данные о втором фермерском хозяйстве.

Пусть $x$ (ц/га) – урожайность гречихи во втором хозяйстве. Поскольку по условию в первом хозяйстве урожайность была на 2 ц/га больше, то она составляет $(x + 2)$ ц/га.

Общая площадь поля вычисляется как отношение всего собранного урожая к урожайности с одного гектара.

Во втором хозяйстве собрали 160 ц гречихи, значит, площадь под гречиху в этом хозяйстве составляет $\frac{160}{x}$ га.

В первом хозяйстве собрали 180 ц, и его площадь под гречиху составляет $\frac{180}{x+2}$ га.

Из условия известно, что во втором хозяйстве площадь под гречиху была на 1 га больше, чем в первом. На основании этого мы можем составить уравнение:

$\frac{160}{x} - \frac{180}{x+2} = 1$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+2)$. Область допустимых значений переменной $x$ – все положительные числа ($x > 0$), так как урожайность не может быть нулевой или отрицательной.

$\frac{160(x+2) - 180x}{x(x+2)} = 1$

$160(x+2) - 180x = x(x+2)$

Раскроем скобки:

$160x + 320 - 180x = x^2 + 2x$

Приведем подобные слагаемые:

$320 - 20x = x^2 + 2x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x + 20x - 320 = 0$

$x^2 + 22x - 320 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 22^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-320) = 484 + 1280 = 1764$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{1764} = 42$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-22 + 42}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-22 - 42}{2 \cdot 1} = \frac{-64}{2} = -32$

По смыслу задачи урожайность не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -32$ не является решением.

Таким образом, урожайность гречихи во втором хозяйстве была $x = 10$ ц/га.

Урожайность в первом хозяйстве была на 2 ц/га больше:

$10 + 2 = 12$ ц/га.

Ответ: урожайность гречихи в первом хозяйстве составила 12 ц/га, а во втором хозяйстве — 10 ц/га.