Номер 808, страница 181 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Пересечение и объединение множеств. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 808, страница 181.

808. Найдите пересечение и объединение множеств X и Y, если:

а) X — множество простых чисел, Y — множество составных чисел;

б) X — множество целых чисел, кратных 5, Y — множество целых чисел, кратных 15.

а) Множество X — это множество простых чисел, то есть натуральных чисел больше 1, которые имеют ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. Например, $X = \{2, 3, 5, 7, 11, ...\}$. Множество Y — это множество составных чисел, то есть натуральных чисел больше 1, которые не являются простыми (имеют более двух натуральных делителей). Например, $Y = \{4, 6, 8, 9, 10, ...\}$.

Пересечение $X \cap Y$: Пересечение множеств содержит элементы, которые принадлежат обоим множествам одновременно. По определению, число не может быть одновременно и простым, и составным. Следовательно, у множеств X и Y нет общих элементов. Их пересечение — пустое множество. $X \cap Y = \emptyset$.

Объединение $X \cup Y$: Объединение множеств содержит все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств. Объединение множеств простых и составных чисел включает в себя все натуральные числа, за исключением числа 1, которое по определению не является ни простым, ни составным. $X \cup Y = \{n \in \mathbb{N} \mid n > 1\}$.

Ответ: Пересечение — пустое множество ($\emptyset$). Объединение — множество всех натуральных чисел, кроме 1.

б) Множество X — это множество целых чисел, кратных 5. Его можно записать как $X = \{n \in \mathbb{Z} \mid n = 5k, k \in \mathbb{Z}\} = \{..., -10, -5, 0, 5, 10, ...\}$.
Множество Y — это множество целых чисел, кратных 15. Его можно записать как $Y = \{n \in \mathbb{Z} \mid n = 15m, m \in \mathbb{Z}\} = \{..., -30, -15, 0, 15, 30, ...\}$.

Заметим, что любое целое число, кратное 15, можно представить в виде $15m = 5 \times (3m)$. Это означает, что любое число, которое делится на 15, также делится и на 5. Таким образом, каждый элемент множества Y является также элементом множества X. Это значит, что множество Y является подмножеством множества X ($Y \subset X$).

Пересечение $X \cap Y$: Пересечение множеств — это множество элементов, общих для обоих множеств. Так как все элементы множества Y содержатся в множестве X, их пересечением будет само множество Y. $X \cap Y = Y$. Это множество всех целых чисел, кратных 15.

Объединение $X \cup Y$: Объединение множеств — это множество, содержащее все элементы из обоих множеств. Так как все элементы множества Y уже содержатся в множестве X, их объединением будет само множество X. $X \cup Y = X$. Это множество всех целых чисел, кратных 5.

Ответ: Пересечение — множество целых чисел, кратных 15 (то есть множество Y). Объединение — множество целых чисел, кратных 5 (то есть множество X).