Номер 807, страница 181 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Пересечение и объединение множеств. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 807, страница 181.

807. (Для работы в парах.) Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множествами $A$ и $B$ и найдите пересечение и объединение этих множеств, если:

а) $A$ — множество целых чисел, кратных 3, $B$ — множество целых чисел, кратных 5;

б) $A$ — множество целых чисел, кратных 3, $B$ — множество целых чисел, кратных 15.

1) Распределите, кто выполняет задания для случая а), а кто — для случая б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнен рисунок и правильно ли найдены пересечение и объединение множеств $A$ и $B$.

3) Исправьте ошибки, если они допущены.

а) A — множество целых чисел, кратных 3, B — множество целых чисел, кратных 5.

Сначала определим множества.
Множество A состоит из чисел, делящихся на 3: $A = \{..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, ...\}$.
Множество B состоит из чисел, делящихся на 5: $B = \{..., -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, ...\}$.

Иллюстрация с помощью кругов Эйлера:
Чтобы определить соотношение между множествами, проверим, есть ли у них общие элементы и является ли одно подмножеством другого.
- Существуют числа, принадлежащие обоим множествам, например, 15, 30, 0. Это значит, что множества пересекаются.
- Существуют числа, которые принадлежат A, но не принадлежат B (например, 3, 6, 9).
- Существуют числа, которые принадлежат B, но не принадлежат A (например, 5, 10, 20).
Следовательно, ни одно из множеств не является подмножеством другого. На диаграмме Эйлера эти множества изображаются как два пересекающихся круга.

Пересечение множеств ($A \cap B$):
Пересечение $A \cap B$ состоит из элементов, которые принадлежат одновременно и множеству A, и множеству B. Это целые числа, которые делятся и на 3, и на 5. Число, делящееся на 3 и 5, должно делиться на их наименьшее общее кратное (НОК).
$НОК(3, 5) = 15$.
Таким образом, пересечением множеств A и B является множество целых чисел, кратных 15.

Объединение множеств ($A \cup B$):
Объединение $A \cup B$ состоит из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств (либо A, либо B, либо обоим). Это множество всех целых чисел, которые кратны 3 или кратны 5.

Ответ: Пересечение $A \cap B$ — это множество целых чисел, кратных 15. Объединение $A \cup B$ — это множество целых чисел, кратных 3 или 5. Множества A и B являются пересекающимися.

б) A — множество целых чисел, кратных 3, B — множество целых чисел, кратных 15.

Сначала определим множества.
Множество A состоит из чисел, делящихся на 3: $A = \{..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, ...\}$.
Множество B состоит из чисел, делящихся на 15: $B = \{..., -30, -15, 0, 15, 30, ...\}$.

Иллюстрация с помощью кругов Эйлера:
Проанализируем соотношение между множествами. Любое число, кратное 15, можно записать как $15k$ для некоторого целого $k$. Поскольку $15 = 3 \times 5$, то $15k = 3 \times (5k)$. Так как $5k$ — целое число, любое число, кратное 15, также кратно и 3.
Это означает, что каждый элемент множества B является также и элементом множества A. Следовательно, множество B является подмножеством множества A: $B \subset A$.
На диаграмме Эйлера круг, представляющий множество B, будет полностью находиться внутри круга, представляющего множество A.

Пересечение множеств ($A \cap B$):
Пересечение $A \cap B$ состоит из элементов, общих для обоих множеств. Так как все элементы множества B содержатся в множестве A, их пересечением будет само множество B.
$A \cap B = B$. Это множество целых чисел, кратных 15.

Объединение множеств ($A \cup B$):
Объединение $A \cup B$ состоит из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств. Поскольку все элементы множества B уже содержатся в множестве A, их объединение не добавит новых элементов и будет равно самому множеству A.
$A \cup B = A$. Это множество целых чисел, кратных 3.

Ответ: Пересечение $A \cap B$ — это множество целых чисел, кратных 15. Объединение $A \cup B$ — это множество целых чисел, кратных 3. Множество B является подмножеством множества A ($B \subset A$).