Номер 810, страница 181 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Пересечение и объединение множеств. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 810, страница 181.

810. Решите уравнение

$1 - \frac{1}{2-x} = \frac{6-x}{3x^2-12} - \frac{1}{x-2}$

Исходное уравнение:$1 - \frac{1}{2-x} = \frac{6-x}{3x^2 - 12} - \frac{1}{x-2}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$2 - x \neq 0 \implies x \neq 2$

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

$3x^2 - 12 \neq 0 \implies 3(x^2 - 4) \neq 0 \implies 3(x-2)(x+2) \neq 0$, что означает $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Теперь преобразуем уравнение. Заметим, что $2-x = -(x-2)$. Поэтому дробь $\frac{1}{2-x}$ можно переписать как $-\frac{1}{x-2}$. Также разложим на множители знаменатель $3x^2 - 12 = 3(x-2)(x+2)$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$1 - (-\frac{1}{x-2}) = \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x-2}$

$1 + \frac{1}{x-2} = \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x-2}$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$1 + \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 0$

$1 + \frac{2}{x-2} - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 0$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $3(x-2)(x+2)$:

$\frac{3(x-2)(x+2)}{3(x-2)(x+2)} + \frac{2 \cdot 3(x+2)}{3(x-2)(x+2)} - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 0$

$\frac{3(x^2 - 4) + 6(x+2) - (6-x)}{3(x-2)(x+2)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ). Приравняем числитель к нулю:

$3(x^2 - 4) + 6(x+2) - (6-x) = 0$

Раскроем скобки:

$3x^2 - 12 + 6x + 12 - 6 + x = 0$

Приведем подобные члены:

$3x^2 + 7x - 6 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта.

$a=3, b=7, c=-6$

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$

$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq -2$).

Корень $x_1 = -3$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = \frac{2}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $-3; \frac{2}{3}$.