Номер 811, страница 181 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Пересечение и объединение множеств. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 811, страница 181.

811. В одном фермерском хозяйстве благодаря применению новых технологий удалось получить гречихи на 2 ц с гектара больше, чем в другом. В результате оказалось, что в первом хозяйстве собрали 180 ц гречихи, а во втором — только 160 ц, хотя во втором хозяйстве под гречиху было отведено на 1 га больше. Какова была урожайность гречихи в каждом хозяйстве?

Для решения задачи введем переменные, опираясь на данные о втором фермерском хозяйстве.

Пусть $x$ (ц/га) – урожайность гречихи во втором хозяйстве. Поскольку по условию в первом хозяйстве урожайность была на 2 ц/га больше, то она составляет $(x + 2)$ ц/га.

Общая площадь поля вычисляется как отношение всего собранного урожая к урожайности с одного гектара.

Во втором хозяйстве собрали 160 ц гречихи, значит, площадь под гречиху в этом хозяйстве составляет $\frac{160}{x}$ га.

В первом хозяйстве собрали 180 ц, и его площадь под гречиху составляет $\frac{180}{x+2}$ га.

Из условия известно, что во втором хозяйстве площадь под гречиху была на 1 га больше, чем в первом. На основании этого мы можем составить уравнение:

$\frac{160}{x} - \frac{180}{x+2} = 1$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+2)$. Область допустимых значений переменной $x$ – все положительные числа ($x > 0$), так как урожайность не может быть нулевой или отрицательной.

$\frac{160(x+2) - 180x}{x(x+2)} = 1$

$160(x+2) - 180x = x(x+2)$

Раскроем скобки:

$160x + 320 - 180x = x^2 + 2x$

Приведем подобные слагаемые:

$320 - 20x = x^2 + 2x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x + 20x - 320 = 0$

$x^2 + 22x - 320 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 22^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-320) = 484 + 1280 = 1764$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{1764} = 42$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-22 + 42}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-22 - 42}{2 \cdot 1} = \frac{-64}{2} = -32$

По смыслу задачи урожайность не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -32$ не является решением.

Таким образом, урожайность гречихи во втором хозяйстве была $x = 10$ ц/га.

Урожайность в первом хозяйстве была на 2 ц/га больше:

$10 + 2 = 12$ ц/га.

Ответ: урожайность гречихи в первом хозяйстве составила 12 ц/га, а во втором хозяйстве — 10 ц/га.