Номер 805, страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Пересечение и объединение множеств. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 805, страница 180.

805. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множеством $ \mathbb{N} $ натуральных чисел, множеством $ \mathbb{Z} $ целых чисел, множеством $ \mathbb{Q} $ рациональных чисел. Найдите пересечение и объединение:

а) множества натуральных и множества целых чисел;

б) множества целых и множества рациональных чисел;

в) множества рациональных и множества иррациональных чисел.

Соотношение между множествами натуральных чисел ($N$), целых чисел ($Z$) и рациональных чисел ($Q$) можно проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера. Каждое натуральное число является одновременно и целым числом, поэтому множество $N$ является подмножеством множества $Z$ ($N \subset Z$). В свою очередь, каждое целое число является рациональным (например, число 5 можно представить как дробь 5/1), поэтому множество $Z$ является подмножеством множества $Q$ ($Z \subset Q$). Таким образом, мы имеем вложенность множеств: $N \subset Z \subset Q$. На диаграмме Эйлера это изображается в виде трех концентрических кругов: самый маленький круг, обозначающий множество $N$, находится внутри среднего круга, обозначающего множество $Z$, а тот, в свою очередь, находится внутри самого большого круга, обозначающего множество $Q$.

а) множества натуральных и множества целых чисел;
Пересечением двух множеств называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат обоим исходным множествам. Так как все натуральные числа ($N$) являются целыми числами ($Z$), то их пересечением будет само множество натуральных чисел.
$N \cap Z = N$
Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Так как множество натуральных чисел $N$ полностью включено в множество целых чисел $Z$, их объединение будет равно большему из них — множеству целых чисел.
$N \cup Z = Z$
Ответ: пересечение — множество натуральных чисел ($N$), объединение — множество целых чисел ($Z$).

б) множества целых и множества рациональных чисел;
Аналогично предыдущему пункту, все целые числа ($Z$) являются рациональными ($Q$), то есть $Z \subset Q$. Поэтому пересечением этих множеств будет меньшее из них — множество целых чисел.
$Z \cap Q = Z$
Объединением множеств $Z$ и $Q$ будет большее из них — множество рациональных чисел.
$Z \cup Q = Q$
Ответ: пересечение — множество целых чисел ($Z$), объединение — множество рациональных чисел ($Q$).

в) множества рациональных и множества иррациональных чисел.
Обозначим множество иррациональных чисел как $I$. По определению, число не может быть одновременно рациональным (представимым в виде дроби $m/n$) и иррациональным (непредставимым в таком виде). Это означает, что у множеств рациональных ($Q$) и иррациональных ($I$) чисел нет общих элементов.
Следовательно, их пересечение является пустым множеством.
$Q \cap I = \emptyset$
Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел образует множество всех действительных (вещественных) чисел, которое обозначается символом $R$.
$Q \cup I = R$
Ответ: пересечение — пустое множество ($\emptyset$), объединение — множество действительных чисел ($R$).