Номер 802, страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Пересечение и объединение множеств. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 802, страница 180.

802. Пусть $A$ — множество квадратов натуральных чисел, $B$ — множество кубов натуральных чисел. Принадлежит ли:

а) пересечению множеств $A$ и $B$ число 1; 4; 64;

б) объединению множеств $A$ и $B$ число 16; 27; 64?

По условию задачи, множество A — это множество квадратов натуральных чисел, а множество B — это множество кубов натуральных чисел.

Множество A можно записать как $A = \{n^2 | n \in \mathbb{N}\} = \{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...\}$.

Множество B можно записать как $B = \{m^3 | m \in \mathbb{N}\} = \{1, 8, 27, 64, 125, ...\}$.

а) пересечению множеств А и В число 1; 4; 64;

Пересечение множеств $A \cap B$ содержит элементы, которые принадлежат одновременно и множеству A, и множеству B. То есть, мы ищем числа, которые являются и квадратами, и кубами натуральных чисел.

Проверим число 1:
Число 1 является квадратом натурального числа: $1 = 1^2$, значит $1 \in A$.
Число 1 является кубом натурального числа: $1 = 1^3$, значит $1 \in B$.
Так как $1 \in A$ и $1 \in B$, то число 1 принадлежит пересечению множеств A и B ($1 \in A \cap B$).

Проверим число 4:
Число 4 является квадратом натурального числа: $4 = 2^2$, значит $4 \in A$.
Число 4 не является кубом натурального числа, так как $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$. Значит $4 \notin B$.
Так как $4 \notin B$, то число 4 не принадлежит пересечению множеств A и B ($4 \notin A \cap B$).

Проверим число 64:
Число 64 является квадратом натурального числа: $64 = 8^2$, значит $64 \in A$.
Число 64 является кубом натурального числа: $64 = 4^3$, значит $64 \in B$.
Так как $64 \in A$ и $64 \in B$, то число 64 принадлежит пересечению множеств A и B ($64 \in A \cap B$).

Ответ: пересечению множеств A и B принадлежат числа 1 и 64; число 4 не принадлежит.

б) объединению множеств А и В число 16; 27; 64?

Объединение множеств $A \cup B$ содержит элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств: или множеству A, или множеству B, или обоим сразу.

Проверим число 16:
Число 16 является квадратом натурального числа: $16 = 4^2$, значит $16 \in A$.
Поскольку число 16 принадлежит множеству A, оно принадлежит и объединению множеств A и B ($16 \in A \cup B$).

Проверим число 27:
Число 27 не является квадратом натурального числа, так как $5^2 = 25$ и $6^2 = 36$. Значит $27 \notin A$.
Число 27 является кубом натурального числа: $27 = 3^3$, значит $27 \in B$.
Поскольку число 27 принадлежит множеству B, оно принадлежит и объединению множеств A и B ($27 \in A \cup B$).

Проверим число 64:
Число 64 является квадратом натурального числа: $64 = 8^2$, значит $64 \in A$.
Поскольку число 64 принадлежит множеству A, оно принадлежит и объединению множеств A и B ($64 \in A \cup B$). (Также оно принадлежит и множеству B, так как $64=4^3$).

Ответ: объединению множеств A и B принадлежат все указанные числа: 16, 27 и 64.