Номер 3, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 10. Числовые неравенства и их свойства. Глава 4. Неравенства - номер 3, страница 178.

3 Оцените сумму, разность, произведение и частное чисел $a$ и $b$, если известно, что $4 < a < 5$ и $9 < b < 10$.

Даны два неравенства: $4 < a < 5$ и $9 < b < 10$.

Сумма

Для того чтобы оценить сумму $a + b$, необходимо сложить левые и правые части исходных неравенств соответственно. Это можно делать, так как знаки неравенств одинаковые.

Складываем неравенства $4 < a < 5$ и $9 < b < 10$:

$4 + 9 < a + b < 5 + 10$

Выполняем сложение:

$13 < a + b < 15$

Ответ: $13 < a + b < 15$

Разность

Для оценки разности $a - b$ мы можем представить ее как сумму $a + (-b)$. Сначала найдем оценку для $-b$. Для этого умножим все части неравенства $9 < b < 10$ на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1 \cdot 10 < -1 \cdot b < -1 \cdot 9$

$-10 < -b < -9$

Теперь сложим полученное неравенство с неравенством для $a$:

$4 < a < 5$

$-10 < -b < -9$

Складываем почленно:

$4 + (-10) < a + (-b) < 5 + (-9)$

$-6 < a - b < -4$

Ответ: $-6 < a - b < -4$

Произведение

Поскольку числа $a$ и $b$ заключены между положительными границами, они оба положительны. Следовательно, для оценки произведения $ab$ можно почленно перемножить неравенства.

Перемножаем неравенства $4 < a < 5$ и $9 < b < 10$:

$4 \cdot 9 < a \cdot b < 5 \cdot 10$

Выполняем умножение:

$36 < ab < 50$

Ответ: $36 < ab < 50$

Частное

Для оценки частного $\frac{a}{b}$ мы можем представить его как произведение $a \cdot \frac{1}{b}$. Найдем оценку для $\frac{1}{b}$. Поскольку $b > 0$, мы можем взять обратные величины от каждой части неравенства $9 < b < 10$, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$\frac{1}{10} < \frac{1}{b} < \frac{1}{9}$

Теперь умножим неравенство для $a$ на неравенство для $\frac{1}{b}$ (все части положительны, поэтому перемножать можно):

$4 < a < 5$

$\frac{1}{10} < \frac{1}{b} < \frac{1}{9}$

Перемножаем почленно:

$4 \cdot \frac{1}{10} < a \cdot \frac{1}{b} < 5 \cdot \frac{1}{9}$

$\frac{4}{10} < \frac{a}{b} < \frac{5}{9}$

Сократим дробь в левой части:

$\frac{2}{5} < \frac{a}{b} < \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{2}{5} < \frac{a}{b} < \frac{5}{9}$