Страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

799. Известно, что $X$ — множество простых чисел, не превосходящих 20, а $Y$ — множество двузначных чисел, не превосходящих 20. Задайте множества $X$ и $Y$ перечислением элементов и найдите их пересечение и объединение.

Задайте множества X и Y перечислением элементов

По условию, множество $X$ — это множество простых чисел, не превосходящих 20. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя. Выпишем все простые числа, которые меньше или равны 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Множество $Y$ — это множество двузначных чисел, не превосходящих 20. Двузначные числа — это целые числа от 10 до 99. Выпишем все двузначные числа, которые меньше или равны 20: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

Ответ: $X = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}$; $Y = \{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$.

Найдите их пересечение

Пересечение множеств ($X \cap Y$) — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат и множеству $X$, и множеству $Y$ одновременно. Для нахождения пересечения нужно найти общие элементы в заданных множествах.
$X = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}$
$Y = \{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$
Общими элементами являются числа 11, 13, 17 и 19.

Ответ: $X \cap Y = \{11, 13, 17, 19\}$.

Найдите их объединение

Объединение множеств ($X \cup Y$) — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств ($X$ или $Y$). Для нахождения объединения нужно собрать все элементы из обоих множеств, исключив повторения.
Элементы из $X$: $\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}$
Элементы из $Y$: $\{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$
Объединив их и записав в порядке возрастания, получим: $\{2, 3, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$.

Ответ: $X \cup Y = \{2, 3, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$.

800. Задайте путём перечисления элементов множество $A$ двузначных чисел, являющихся квадратами натуральных чисел, и множество $B$ двузначных чисел, кратных 16. Найдите пересечение и объединение этих множеств.

Задание множества A

Требуется найти все двузначные числа (от 10 до 99), которые являются квадратами натуральных чисел. Для этого будем последовательно возводить натуральные числа в квадрат, пока результат не выйдет за пределы двузначных чисел.

• $3^2 = 9$ (не является двузначным)
• $4^2 = 16$ (является двузначным)
• $5^2 = 25$ (является двузначным)
• $6^2 = 36$ (является двузначным)
• $7^2 = 49$ (является двузначным)
• $8^2 = 64$ (является двузначным)
• $9^2 = 81$ (является двузначным)
• $10^2 = 100$ (не является двузначным)

Таким образом, множество A состоит из следующих элементов:

Ответ: $A = \{16, 25, 36, 49, 64, 81\}$.

Задание множества B

Требуется найти все двузначные числа, кратные 16. Для этого будем последовательно умножать число 16 на натуральные числа, пока результат не выйдет за пределы двузначных чисел.

• $16 \cdot 1 = 16$ (является двузначным)
• $16 \cdot 2 = 32$ (является двузначным)
• $16 \cdot 3 = 48$ (является двузначным)
• $16 \cdot 4 = 64$ (является двузначным)
• $16 \cdot 5 = 80$ (является двузначным)
• $16 \cdot 6 = 96$ (является двузначным)
• $16 \cdot 7 = 112$ (не является двузначным)

Таким образом, множество B состоит из следующих элементов:

Ответ: $B = \{16, 32, 48, 64, 80, 96\}$.

Пересечение множеств A и B

Пересечение множеств ($A \cap B$) — это множество, в которое входят только те элементы, которые есть и в множестве A, и в множестве B. Сравним полученные множества:

$A = \{16, 25, 36, 49, 64, 81\}$

$B = \{16, 32, 48, 64, 80, 96\}$

Общими для обоих множеств являются числа 16 и 64.

Ответ: $A \cap B = \{16, 64\}$.

Объединение множеств A и B

Объединение множеств ($A \cup B$) — это множество, в которое входят все элементы, содержащиеся хотя бы в одном из множеств (A или B). Для этого перечислим все элементы из A и добавим к ним недостающие элементы из B.

Элементы множества A: $\{16, 25, 36, 49, 64, 81\}$

Элементы множества B: $\{16, 32, 48, 64, 80, 96\}$

Объединяем их, исключая повторы, и располагаем в порядке возрастания.

Ответ: $A \cup B = \{16, 25, 32, 36, 48, 49, 64, 80, 81, 96\}$.

801. Найдите пересечение и объединение:

а) множеств цифр, используемых в записи чисел 11 243 и 6321;

б) множеств букв, используемых в записи слов «геометрия» и «география»;

в) множества простых чисел, не превосходящих 40, и множества двузначных чисел;

г) множества двузначных чисел и множества натуральных чисел, кратных 19.

а) множеств цифр, используемых в записи чисел 11 243 и 6321;

Обозначим через $A$ множество цифр, используемых в записи числа 11 243, и через $B$ множество цифр, используемых в записи числа 6321.

Множество $A$ состоит из уникальных цифр числа 11 243: $A = \{1, 2, 3, 4\}$.

Множество $B$ состоит из уникальных цифр числа 6321: $B = \{1, 2, 3, 6\}$.

Пересечение множеств $A$ и $B$, обозначаемое $A \cap B$, — это множество элементов, которые принадлежат как $A$, так и $B$.

$A \cap B = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{1, 2, 3, 6\} = \{1, 2, 3\}$.

Объединение множеств $A$ и $B$, обозначаемое $A \cup B$, — это множество, содержащее все элементы из $A$ и все элементы из $B$ без повторений.

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{1, 2, 3, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 6\}$.

Ответ: пересечение: $\{1, 2, 3\}$; объединение: $\{1, 2, 3, 4, 6\}$.

б) множеств букв, используемых в записи слов «геометрия» и «география»;

Пусть $A$ — множество букв слова «геометрия», а $B$ — множество букв слова «география».

Составим множества, исключив повторяющиеся буквы:

$A = \{г, е, о, м, т, р, и, я\}$.

$B = \{г, е, о, р, а, ф, и, я\}$.

Пересечение множеств $A \cap B$ содержит буквы, которые есть в обоих словах.

$A \cap B = \{г, е, о, р, и, я\}$.

Объединение множеств $A \cup B$ содержит все буквы, которые встречаются хотя бы в одном из слов.

$A \cup B = \{г, е, о, м, т, р, и, я, а, ф\}$.

Ответ: пересечение: $\{г, е, о, р, и, я\}$; объединение: $\{г, е, о, м, т, р, и, я, а, ф\}$.

в) множества простых чисел, не превосходящих 40, и множества двузначных чисел;

Пусть $A$ — множество простых чисел, не превосходящих 40 (то есть $\le 40$), а $B$ — множество двузначных чисел.

Выпишем элементы множества $A$:

$A = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37\}$.

Множество $B$ — это все целые числа от 10 до 99 включительно:

$B = \{10, 11, 12, \dots, 99\}$.

Пересечение $A \cap B$ — это множество простых чисел, которые являются двузначными.

$A \cap B = \{11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37\}$.

Объединение $A \cup B$ — это множество, которое включает в себя все двузначные числа и все простые числа, не превосходящие 40. Так как двузначные простые числа уже входят в множество двузначных чисел, в объединение нужно добавить только однозначные простые числа.

$A \cup B = \{2, 3, 5, 7, 10, 11, 12, \dots, 99\}$.

Ответ: пересечение: $\{11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37\}$; объединение: множество, состоящее из всех двузначных чисел, а также чисел 2, 3, 5, 7.

г) множества двузначных чисел и множества натуральных чисел, кратных 19.

Пусть $A$ — множество двузначных чисел, а $B$ — множество натуральных чисел, кратных 19.

$A = \{10, 11, 12, \dots, 99\}$.

$B = \{19, 38, 57, 76, 95, 114, 133, \dots\}$.

Пересечение $A \cap B$ — это множество двузначных чисел, которые делятся на 19.

$19 \cdot 1 = 19$
$19 \cdot 2 = 38$
$19 \cdot 3 = 57$
$19 \cdot 4 = 76$
$19 \cdot 5 = 95$
$19 \cdot 6 = 114$ (уже трехзначное)

$A \cap B = \{19, 38, 57, 76, 95\}$.

Объединение $A \cup B$ — это множество, содержащее все двузначные числа и все натуральные числа, кратные 19. Так как числа $\{19, 38, 57, 76, 95\}$ уже содержатся в множестве двузначных чисел, то объединение будет состоять из всех двузначных чисел и всех кратных 19 чисел, которые не являются двузначными (т.е. трехзначных, четырехзначных и т.д.).

$A \cup B = \{10, 11, \dots, 99, 114, 133, 152, \dots \}$.

Ответ: пересечение: $\{19, 38, 57, 76, 95\}$; объединение: множество, состоящее из всех двузначных чисел, а также всех кратных 19 натуральных чисел, которые не являются двузначными.

802. Пусть $A$ — множество квадратов натуральных чисел, $B$ — множество кубов натуральных чисел. Принадлежит ли:

а) пересечению множеств $A$ и $B$ число 1; 4; 64;

б) объединению множеств $A$ и $B$ число 16; 27; 64?

По условию задачи, множество A — это множество квадратов натуральных чисел, а множество B — это множество кубов натуральных чисел.

Множество A можно записать как $A = \{n^2 | n \in \mathbb{N}\} = \{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...\}$.

Множество B можно записать как $B = \{m^3 | m \in \mathbb{N}\} = \{1, 8, 27, 64, 125, ...\}$.

а) пересечению множеств А и В число 1; 4; 64;

Пересечение множеств $A \cap B$ содержит элементы, которые принадлежат одновременно и множеству A, и множеству B. То есть, мы ищем числа, которые являются и квадратами, и кубами натуральных чисел.

Проверим число 1:
Число 1 является квадратом натурального числа: $1 = 1^2$, значит $1 \in A$.
Число 1 является кубом натурального числа: $1 = 1^3$, значит $1 \in B$.
Так как $1 \in A$ и $1 \in B$, то число 1 принадлежит пересечению множеств A и B ($1 \in A \cap B$).

Проверим число 4:
Число 4 является квадратом натурального числа: $4 = 2^2$, значит $4 \in A$.
Число 4 не является кубом натурального числа, так как $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$. Значит $4 \notin B$.
Так как $4 \notin B$, то число 4 не принадлежит пересечению множеств A и B ($4 \notin A \cap B$).

Проверим число 64:
Число 64 является квадратом натурального числа: $64 = 8^2$, значит $64 \in A$.
Число 64 является кубом натурального числа: $64 = 4^3$, значит $64 \in B$.
Так как $64 \in A$ и $64 \in B$, то число 64 принадлежит пересечению множеств A и B ($64 \in A \cap B$).

Ответ: пересечению множеств A и B принадлежат числа 1 и 64; число 4 не принадлежит.

б) объединению множеств А и В число 16; 27; 64?

Объединение множеств $A \cup B$ содержит элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств: или множеству A, или множеству B, или обоим сразу.

Проверим число 16:
Число 16 является квадратом натурального числа: $16 = 4^2$, значит $16 \in A$.
Поскольку число 16 принадлежит множеству A, оно принадлежит и объединению множеств A и B ($16 \in A \cup B$).

Проверим число 27:
Число 27 не является квадратом натурального числа, так как $5^2 = 25$ и $6^2 = 36$. Значит $27 \notin A$.
Число 27 является кубом натурального числа: $27 = 3^3$, значит $27 \in B$.
Поскольку число 27 принадлежит множеству B, оно принадлежит и объединению множеств A и B ($27 \in A \cup B$).

Проверим число 64:
Число 64 является квадратом натурального числа: $64 = 8^2$, значит $64 \in A$.
Поскольку число 64 принадлежит множеству A, оно принадлежит и объединению множеств A и B ($64 \in A \cup B$). (Также оно принадлежит и множеству B, так как $64=4^3$).

Ответ: объединению множеств A и B принадлежат все указанные числа: 16, 27 и 64.

803. На рисунке 27 изображены отрезки $AB$ и $CD$. Какая фигура является:

Рис. 27

а) пересечением этих отрезков;

б) объединением этих отрезков?

а) пересечением этих отрезков;
Пересечением двух множеств (в данном случае, геометрических фигур) является множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат обоим исходным множествам одновременно. Отрезок AB — это множество всех точек прямой, расположенных между точками A и B, включая сами эти точки. Аналогично, отрезок CD — это множество всех точек между C и D, включая C и D.
На рисунке видно, что точки расположены в следующем порядке: A, C, B, D. Общими точками для отрезков AB и CD будут те, которые лежат одновременно и на отрезке AB, и на отрезке CD. Это все точки, расположенные между точками C и B, включая сами точки C и B. Таким образом, пересечением отрезков AB и CD является отрезок CB. Математически это записывается так: $AB \cap CD = CB$.
Ответ: отрезок CB.

б) объединением этих отрезков?
Объединением двух множеств является множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Объединение отрезков AB и CD будет содержать все точки отрезка AB и все точки отрезка CD.
Поскольку отрезки наложены друг на друга, их объединение образует один непрерывный отрезок, который начинается в самой левой точке (A) и заканчивается в самой правой точке (D). Следовательно, объединением отрезков AB и CD является отрезок AD. Математически это записывается так: $AB \cup CD = AD$.
Ответ: отрезок AD.

804. Множеством каких фигур является пересечение:

а) множества прямоугольников и множества ромбов;

б) множества равнобедренных треугольников и множества прямоугольных треугольников?

а) Пересечением множества прямоугольников и множества ромбов является множество фигур, которые обладают свойствами и тех, и других одновременно.
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны $90^\circ$).
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Следовательно, фигура, принадлежащая пересечению этих двух множеств, должна быть параллелограммом, у которого, во-первых, все углы прямые (как у прямоугольника) и, во-вторых, все стороны равны (как у ромба).
Четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны, по определению является квадратом.
Ответ: множество квадратов.

б) Пересечением множества равнобедренных треугольников и множества прямоугольных треугольников является множество треугольников, которые являются одновременно и равнобедренными, и прямоугольными.
Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми.
Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой ($90^\circ$). Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а третья сторона — гипотенузой.
Чтобы треугольник был одновременно прямоугольным и равнобедренным, у него должен быть один прямой угол и две равные стороны. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда является самой длинной стороной, поэтому она не может быть равна катету. Следовательно, в таком треугольнике равными могут быть только два катета.
Таким образом, искомые фигуры — это прямоугольные треугольники с равными катетами. Такие треугольники называют равнобедренными прямоугольными треугольниками. Углы при основании (гипотенузе) такого треугольника равны и вычисляются так: $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.
Ответ: множество равнобедренных прямоугольных треугольников.

805. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множеством $ \mathbb{N} $ натуральных чисел, множеством $ \mathbb{Z} $ целых чисел, множеством $ \mathbb{Q} $ рациональных чисел. Найдите пересечение и объединение:

а) множества натуральных и множества целых чисел;

б) множества целых и множества рациональных чисел;

в) множества рациональных и множества иррациональных чисел.

Соотношение между множествами натуральных чисел ($N$), целых чисел ($Z$) и рациональных чисел ($Q$) можно проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера. Каждое натуральное число является одновременно и целым числом, поэтому множество $N$ является подмножеством множества $Z$ ($N \subset Z$). В свою очередь, каждое целое число является рациональным (например, число 5 можно представить как дробь 5/1), поэтому множество $Z$ является подмножеством множества $Q$ ($Z \subset Q$). Таким образом, мы имеем вложенность множеств: $N \subset Z \subset Q$. На диаграмме Эйлера это изображается в виде трех концентрических кругов: самый маленький круг, обозначающий множество $N$, находится внутри среднего круга, обозначающего множество $Z$, а тот, в свою очередь, находится внутри самого большого круга, обозначающего множество $Q$.

а) множества натуральных и множества целых чисел;
Пересечением двух множеств называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат обоим исходным множествам. Так как все натуральные числа ($N$) являются целыми числами ($Z$), то их пересечением будет само множество натуральных чисел.
$N \cap Z = N$
Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Так как множество натуральных чисел $N$ полностью включено в множество целых чисел $Z$, их объединение будет равно большему из них — множеству целых чисел.
$N \cup Z = Z$
Ответ: пересечение — множество натуральных чисел ($N$), объединение — множество целых чисел ($Z$).

б) множества целых и множества рациональных чисел;
Аналогично предыдущему пункту, все целые числа ($Z$) являются рациональными ($Q$), то есть $Z \subset Q$. Поэтому пересечением этих множеств будет меньшее из них — множество целых чисел.
$Z \cap Q = Z$
Объединением множеств $Z$ и $Q$ будет большее из них — множество рациональных чисел.
$Z \cup Q = Q$
Ответ: пересечение — множество целых чисел ($Z$), объединение — множество рациональных чисел ($Q$).

в) множества рациональных и множества иррациональных чисел.
Обозначим множество иррациональных чисел как $I$. По определению, число не может быть одновременно рациональным (представимым в виде дроби $m/n$) и иррациональным (непредставимым в таком виде). Это означает, что у множеств рациональных ($Q$) и иррациональных ($I$) чисел нет общих элементов.
Следовательно, их пересечение является пустым множеством.
$Q \cap I = \emptyset$
Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел образует множество всех действительных (вещественных) чисел, которое обозначается символом $R$.
$Q \cup I = R$
Ответ: пересечение — пустое множество ($\emptyset$), объединение — множество действительных чисел ($R$).

806. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множеством чисел, кратных 4, и множеством чисел, кратных 3. Какое множество изображает общая часть этих кругов?

Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множеством чисел, кратных 4, и множеством чисел, кратных 3.

Чтобы проиллюстрировать это соотношение, введем два множества. Пусть $A$ — это множество всех натуральных чисел, кратных 4 (например, $A = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, ...\}$), а $B$ — это множество всех натуральных чисел, кратных 3 (например, $B = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ...\}$).
Эти множества имеют общие элементы (например, 12 и 24), поэтому они пересекаются. В то же время ни одно из множеств не является подмножеством другого, так как существуют числа, принадлежащие только одному из них (например, число 8 принадлежит множеству $A$, но не принадлежит $B$, а число 9 принадлежит множеству $B$, но не принадлежит $A$).
Такое соотношение изображается с помощью двух пересекающихся кругов Эйлера.
Первый круг представляет множество $A$. В его части, которая не пересекается со вторым кругом, находятся числа, кратные 4, но не кратные 3 (например: 4, 8, 16, 20).
Второй круг представляет множество $B$. В его части, которая не пересекается с первым кругом, находятся числа, кратные 3, но не кратные 4 (например: 3, 6, 9, 15).
Общая часть (пересечение) этих двух кругов содержит числа, которые кратны и 4, и 3 (например: 12, 24, 36).
Ответ: Соотношение между множеством чисел, кратных 4, и множеством чисел, кратных 3, изображается в виде двух пересекающихся кругов Эйлера.

Какое множество изображает общая часть этих кругов?

Общая часть этих кругов (пересечение множеств) представляет собой множество чисел, которые принадлежат обоим исходным множествам. То есть это числа, которые одновременно кратны и 4, и 3.
Если число делится на 4 и на 3, то оно должно делиться и на их наименьшее общее кратное (НОК). Найдем НОК для чисел 4 и 3. Поскольку 3 и 4 являются взаимно простыми числами, их НОК равно их произведению.
$НОК(4, 3) = 4 \cdot 3 = 12$.
Следовательно, общая часть кругов изображает множество всех натуральных чисел, кратных 12.
Примерами таких чисел являются $12, 24, 36, 48$ и так далее.
Ответ: Общая часть этих кругов изображает множество чисел, кратных 12.