Страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

828. Используя координатную прямую, найдите пересечение и объединение промежутков:

а) $ (-3; +\infty) $ и $ (4; +\infty) $;

б) $ (-\infty; 2) $ и $ [0; +\infty) $;

в) $ (-\infty; 6) $ и $ (-\infty; 9) $;

г) $ [1; 5] $ и $ [0; 8] $.

а) Даны промежутки $(-3; +\infty)$ и $(4; +\infty)$.

Изобразим эти промежутки на координатной прямой. Первый промежуток, $(-3; +\infty)$, включает все числа, строго большие -3. На прямой это луч, начинающийся от выколотой (незакрашенной) точки -3 и уходящий вправо к плюс бесконечности. Второй промежуток, $(4; +\infty)$, включает все числа, строго большие 4. Это луч от выколотой точки 4, также уходящий вправо.

Пересечение ($ \cap $) — это множество чисел, которые принадлежат обоим промежуткам. На координатной прямой это их общая часть. Чтобы число попало в пересечение, оно должно быть одновременно больше -3 и больше 4. Этому условию удовлетворяют все числа, которые строго больше 4.
$(-3; +\infty) \cap (4; +\infty) = (4; +\infty)$.

Объединение ($ \cup $) — это множество чисел, которые принадлежат хотя бы одному из промежутков. На прямой это вся область, покрытая штриховкой. Если число больше 4, оно принадлежит обоим промежуткам. Если число находится между -3 и 4 (включая 4), оно принадлежит первому промежутку. Таким образом, объединение включает все числа, которые строго больше -3.
$(-3; +\infty) \cup (4; +\infty) = (-3; +\infty)$.

Ответ: пересечение $(4; +\infty)$, объединение $(-3; +\infty)$.

б) Даны промежутки $(-\infty; 2)$ и $[0; +\infty)$.

Изобразим их на координатной прямой. Первый промежуток, $(-\infty; 2)$, — это все числа, строго меньшие 2. На прямой это луч, идущий от минус бесконечности до выколотой точки 2. Второй промежуток, $[0; +\infty)$, — это все числа, большие или равные 0. На прямой это луч, начинающийся от закрашенной точки 0 и уходящий вправо к плюс бесконечности.

Пересечение ($ \cap $) — это их общая часть. Ищем числа, которые одновременно меньше 2 и больше или равны 0. Это все числа, заключенные между 0 и 2. При этом 0 входит в промежуток (так как точка 0 закрашенная и принадлежит второму промежутку, а также меньше 2, то есть принадлежит и первому), а 2 не входит (так как точка 2 выколотая и не принадлежит первому промежутку).
$(-\infty; 2) \cap [0; +\infty) = [0; 2)$.

Объединение ($ \cup $) — это вся заштрихованная область. Первый промежуток покрывает все числа до 2. Второй — все числа от 0 и больше. Вместе они покрывают всю числовую прямую без пропусков.
$(-\infty; 2) \cup [0; +\infty) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: пересечение $[0; 2)$, объединение $(-\infty; +\infty)$.

в) Даны промежутки $(-\infty; 6)$ и $(-\infty; 9)$.

Изобразим их на координатной прямой. Промежуток $(-\infty; 6)$ — это все числа, строго меньшие 6. Промежуток $(-\infty; 9)$ — это все числа, строго меньшие 9. Оба промежутка — это лучи, идущие влево от выколотых точек 6 и 9 соответственно.

Пересечение ($ \cap $) — это общая часть. Любое число, которое меньше 6, автоматически меньше 9. Поэтому общая часть — это все числа, которые меньше 6. Промежуток $(-\infty; 6)$ полностью содержится в промежутке $(-\infty; 9)$.
$(-\infty; 6) \cap (-\infty; 9) = (-\infty; 6)$.

Объединение ($ \cup $) — это вся заштрихованная область. Так как все числа, меньшие 6, также являются числами, меньшими 9, объединение этих двух множеств будет большим из них.
$(-\infty; 6) \cup (-\infty; 9) = (-\infty; 9)$.

Ответ: пересечение $(-\infty; 6)$, объединение $(-\infty; 9)$.

г) Даны промежутки $[1; 5]$ и $[0; 8]$.

Изобразим их на координатной прямой. Это два отрезка. Первый, $[1; 5]$, включает все числа от 1 до 5 включительно (точки 1 и 5 закрашены). Второй, $[0; 8]$, включает все числа от 0 до 8 включительно (точки 0 и 8 закрашены).

Пересечение ($ \cap $) — это общая часть двух отрезков. Накладывая один отрезок на другой, мы видим, что их общая часть начинается в точке 1 и заканчивается в точке 5. Обе точки включены.
$[1; 5] \cap [0; 8] = [1; 5]$.

Объединение ($ \cup $) — это вся область, покрытая хотя бы одним из отрезков. Отрезок $[1; 5]$ полностью лежит внутри отрезка $[0; 8]$. Поэтому их объединение совпадает с большим отрезком.
$[1; 5] \cup [0; 8] = [0; 8]$.

Ответ: пересечение $[1; 5]$, объединение $[0; 8]$.

829. Упростите выражение:

a) $\frac{1 + \frac{a-x}{x}}{\frac{x}{ax}}$;

б) $\frac{\frac{a^2 - b^2}{a^2}}{2a^2b^2} - 1$.

а)

Чтобы упростить данное выражение, мы последовательно выполним преобразования. Исходное выражение представляет собой сложную дробь:

$ \frac{1 + \frac{a-x}{x}}{ax} $

1. Сначала упростим числитель основной дроби. Для этого приведем единицу к общему знаменателю $x$ и сложим с дробью:

$ 1 + \frac{a-x}{x} = \frac{x}{x} + \frac{a-x}{x} = \frac{x + a - x}{x} = \frac{a}{x} $

2. Теперь подставим упрощенный числитель обратно в исходное выражение:

$ \frac{\frac{a}{x}}{ax} $

3. Это выражение означает деление дроби $ \frac{a}{x} $ на $ax$. Чтобы разделить дробь на выражение, мы можем умножить ее на обратное выражение $ \frac{1}{ax} $:

$ \frac{a}{x} \cdot \frac{1}{ax} = \frac{a}{x \cdot ax} = \frac{a}{ax^2} $

4. Сократим полученную дробь на общий множитель $a$ (при условии, что $ a \neq 0 $ и $ x \neq 0 $):

$ \frac{a}{ax^2} = \frac{1}{x^2} $

Ответ: $ \frac{1}{x^2} $.

б)

Рассмотрим второе выражение и упростим его по аналогии с первым:

$ \frac{\frac{a^2 - b^2}{a^2} - 1}{2a^2b^2} $

1. Упростим числитель основной дроби. Приведем $1$ к общему знаменателю $a^2$ и выполним вычитание:

$ \frac{a^2 - b^2}{a^2} - 1 = \frac{a^2 - b^2}{a^2} - \frac{a^2}{a^2} = \frac{(a^2 - b^2) - a^2}{a^2} = \frac{a^2 - b^2 - a^2}{a^2} = \frac{-b^2}{a^2} $

2. Подставим упрощенный числитель в исходное выражение:

$ \frac{\frac{-b^2}{a^2}}{2a^2b^2} $

3. Разделим полученную дробь $ \frac{-b^2}{a^2} $ на знаменатель $ 2a^2b^2 $:

$ \frac{-b^2}{a^2} \div (2a^2b^2) = \frac{-b^2}{a^2} \cdot \frac{1}{2a^2b^2} = \frac{-b^2}{a^2 \cdot 2a^2b^2} = \frac{-b^2}{2a^4b^2} $

4. Сократим дробь на общий множитель $b^2$ (при условии, что $ a \neq 0 $ и $ b \neq 0 $):

$ \frac{-b^2}{2a^4b^2} = -\frac{1}{2a^4} $

Ответ: $ -\frac{1}{2a^4} $.

830. Докажите неравенство $a^2 + 5 > 2a$.

Для доказательства неравенства $a^2 + 5 > 2a$ выполним равносильные преобразования. Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$a^2 - 2a + 5 > 0$

Теперь докажем, что выражение в левой части всегда положительно при любом значении $a$. Для этого выделим в выражении полный квадрат, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Первые два члена, $a^2 - 2a$, являются частью полного квадрата $(a-1)^2 = a^2 - 2a + 1$. Чтобы получить этот квадрат, представим число 5 в виде суммы $1 + 4$:

$a^2 - 2a + 1 + 4 > 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(a^2 - 2a + 1) + 4 > 0$

Заменим выражение в скобках на квадрат разности:

$(a - 1)^2 + 4 > 0$

Проанализируем полученное неравенство:

Выражение $(a - 1)^2$ представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным, то есть $(a - 1)^2 \ge 0$ для любого значения $a$.

Наименьшее значение, которое может принять выражение $(a - 1)^2$, равно 0. Это значение достигается при $a = 1$.

Следовательно, наименьшее значение всего выражения в левой части, $(a - 1)^2 + 4$, составляет $0 + 4 = 4$.

Таким образом, для любого значения $a$ справедливо, что $(a - 1)^2 + 4 \ge 4$.

Поскольку $4 > 0$, то и выражение $(a - 1)^2 + 4$ всегда будет строго больше нуля. Это доказывает, что неравенство $(a - 1)^2 + 4 > 0$ верно для всех действительных значений $a$.

Так как все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $a^2 + 5 > 2a$ верно для любого значения $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

831. Пассажир проехал в поезде 120 км и вернулся с обратным поездом, проходящим в час на 5 км больше. Определите скорость каждого поезда, если известно, что на обратный путь он затратил на 20 мин меньше.

Для решения данной задачи составим уравнение, основанное на связи между скоростью, временем и расстоянием.

Пусть $x$ км/ч — скорость первого поезда. Тогда скорость обратного поезда, который ехал быстрее, составляет $(x + 5)$ км/ч.

Расстояние в одну сторону равно 120 км.

Время, затраченное на путь туда, можно выразить как $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{120}{x}$ часов.

Время, затраченное на обратный путь, составляет $t_2 = \frac{120}{x+5}$ часов.

По условию, на обратный путь пассажир затратил на 20 минут меньше. Переведем 20 минут в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы:

$20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ часа} = \frac{1}{3} \text{ часа}$

Разница во времени составляет $t_1 - t_2 = \frac{1}{3}$ часа. Подставим выражения для времени в это уравнение:

$\frac{120}{x} - \frac{120}{x+5} = \frac{1}{3}$

Теперь решим полученное рациональное уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$:

$\frac{120(x+5) - 120x}{x(x+5)} = \frac{1}{3}$

Раскроем скобки и упростим числитель левой части:

$\frac{120x + 600 - 120x}{x^2 + 5x} = \frac{1}{3}$

$\frac{600}{x^2 + 5x} = \frac{1}{3}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей:

$x^2 + 5x = 600 \cdot 3$

$x^2 + 5x = 1800$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 5x - 1800 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a = 1, b = 5, c = -1800$

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1800) = 25 + 7200 = 7225$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{7225} = 85$

$x_1 = \frac{-5 + 85}{2 \cdot 1} = \frac{80}{2} = 40$

$x_2 = \frac{-5 - 85}{2 \cdot 1} = \frac{-90}{2} = -45$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -45$ не является решением задачи. Следовательно, скорость первого поезда равна 40 км/ч.

Найдем скорость обратного поезда:

$x + 5 = 40 + 5 = 45$ км/ч.

Проверка:

Время в пути первого поезда: $t_1 = \frac{120}{40} = 3$ часа.

Время в пути обратного поезда: $t_2 = \frac{120}{45} = \frac{8}{3}$ часа $= 2 \frac{2}{3}$ часа, что равно 2 часам и 40 минутам.

Разница во времени: $3$ часа $- 2$ часа $40$ минут $= 20$ минут. Это соответствует условию задачи.

Ответ: скорость первого поезда 40 км/ч, скорость обратного поезда 45 км/ч.

832. При каком $x$ значение функции, заданной формулой $y = \frac{3x - 1}{x - 2}$,

равно $-1$?

Чтобы найти значение x, при котором значение функции равно -1, необходимо приравнять данное выражение к -1 и решить полученное уравнение.

Дана функция: $y = \frac{3x - 1}{x - 2}$

Приравняем значение функции к -1:

$\frac{3x - 1}{x - 2} = -1$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что знаменатель не должен быть равен нулю:

$x - 2 \neq 0$

$x \neq 2$

Теперь решим уравнение, умножив обе его части на $(x - 2)$:

$3x - 1 = -1 \cdot (x - 2)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$3x - 1 = -x + 2$

Перенесем все слагаемые с x в левую часть, а свободные члены — в правую, меняя их знаки при переносе:

$3x + x = 2 + 1$

Приведем подобные слагаемые:

$4x = 3$

Найдем x, разделив обе части на 4:

$x = \frac{3}{4}$

Полученное значение $x = \frac{3}{4}$ удовлетворяет условию ОДЗ ($x \neq 2$).

Ответ: $x = \frac{3}{4}$.