Страница 185 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

817. а) Принадлежит ли интервалу $(-4; 6.5)$ число: $-3$; $-5$; $5$; $6.5$; $-3.9$; $-4.1$?

б) Принадлежит ли отрезку $[-8; -5]$ число: $-9$; $-8$; $-5.5$; $-5$; $-6$; $-7.5$?

а) Чтобы определить, принадлежит ли число интервалу $(-4; 6,5)$, нужно проверить, удовлетворяет ли оно строгому двойному неравенству $-4 < x < 6,5$. Это означает, что число должно быть больше $-4$ и меньше $6,5$. Границы интервала, числа $-4$ и $6,5$, в него не включаются.

Проверим каждое число:

• Число -3: неравенство $-4 < -3 < 6,5$ является верным. Значит, -3 принадлежит интервалу.

• Число -5: неравенство $-4 < -5$ является ложным, так как $-5$ меньше $-4$. Значит, -5 не принадлежит интервалу.

• Число 5: неравенство $-4 < 5 < 6,5$ является верным. Значит, 5 принадлежит интервалу.

• Число 6,5: неравенство $6,5 < 6,5$ является ложным. Так как интервал

818. Какие из чисел -1,6; -1,5; -1; 0; 3; 5,1; 6,5 принадлежат про-межутку:

а) $[-1.5; 6.5];$

б) $(3; +\infty);$

в) $(-\infty; -1]?$

а) Промежутку $[-1,5; 6,5]$ принадлежат все числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-1,5 \le x \le 6,5$. Квадратные скобки означают, что граничные значения $-1,5$ и $6,5$ также входят в этот промежуток.
Давайте проверим каждое число из данного списка: $-1,6; -1,5; -1; 0; 3; 5,1; 6,5$.

• Число $-1,6$ не принадлежит промежутку, так как $-1,6 < -1,5$.
• Число $-1,5$ принадлежит промежутку, так как $-1,5 = -1,5$.
• Число $-1$ принадлежит промежутку, так как $-1,5 \le -1 \le 6,5$.
• Число $0$ принадлежит промежутку, так как $-1,5 \le 0 \le 6,5$.
• Число $3$ принадлежит промежутку, так как $-1,5 \le 3 \le 6,5$.
• Число $5,1$ принадлежит промежутку, так как $-1,5 \le 5,1 \le 6,5$.
• Число $6,5$ принадлежит промежутку, так как $6,5 = 6,5$.

Ответ: $-1,5; -1; 0; 3; 5,1; 6,5$.

б) Промежутку $(3; +\infty)$ принадлежат все числа $x$, которые удовлетворяют строгому неравенству $x > 3$. Круглая скобка означает, что граничное значение $3$ не входит в этот промежуток.
Проверим каждое число из списка:

• Числа $-1,6; -1,5; -1; 0$ не принадлежат, так как они меньше $3$.
• Число $3$ не принадлежит, так как неравенство строгое ($3$ не больше $3$).
• Число $5,1$ принадлежит, так как $5,1 > 3$.
• Число $6,5$ принадлежит, так как $6,5 > 3$.

Ответ: $5,1; 6,5$.

в) Промежутку $(-\infty; -1]$ принадлежат все числа $x$, которые удовлетворяют неравенству $x \le -1$. Квадратная скобка означает, что граничное значение $-1$ входит в этот промежуток.
Проверим каждое число из списка:

• Число $-1,6$ принадлежит, так как $-1,6 \le -1$.
• Число $-1,5$ принадлежит, так как $-1,5 \le -1$.
• Число $-1$ принадлежит, так как $-1 = -1$.
• Числа $0; 3; 5,1; 6,5$ не принадлежат, так как они больше $-1$.

Ответ: $-1,6; -1,5; -1$.

819. Принадлежит ли интервалу (1,5; 2,4) число:

а) $\sqrt{2}$;

б) $\sqrt{3}$;

в) $\sqrt{5}$;

г) $\sqrt{6}$?

Чтобы определить, принадлежит ли число вида $ \sqrt{a} $ (где $ a > 0 $) интервалу $ (1,5; 2,4) $, необходимо проверить, выполняется ли двойное неравенство $ 1,5 < \sqrt{a} < 2,4 $.

Поскольку все части неравенства являются положительными числами, мы можем возвести их в квадрат. При этом знаки неравенства сохранятся: $ 1,5^2 < (\sqrt{a})^2 < 2,4^2 $

Вычислим значения границ: $ 1,5^2 = 2,25 $ и $ 2,4^2 = 5,76 $.

Таким образом, задача сводится к проверке, выполняется ли для подкоренного выражения $ a $ неравенство $ 2,25 < a < 5,76 $.

а) $\sqrt{2}$

Для числа $ \sqrt{2} $ подкоренное выражение $ a = 2 $. Проверяем неравенство: $ 2,25 < 2 < 5,76 $.

Левая часть неравенства, $ 2,25 < 2 $, является ложной. Значит, число $ \sqrt{2} $ не принадлежит данному интервалу.

Ответ: не принадлежит.

б) $\sqrt{3}$

Для числа $ \sqrt{3} $ подкоренное выражение $ a = 3 $. Проверяем неравенство: $ 2,25 < 3 < 5,76 $.

Обе части двойного неравенства верны, так как $ 2,25 < 3 $ и $ 3 < 5,76 $. Значит, число $ \sqrt{3} $ принадлежит данному интервалу.

Ответ: принадлежит.

в) $\sqrt{5}$

Для числа $ \sqrt{5} $ подкоренное выражение $ a = 5 $. Проверяем неравенство: $ 2,25 < 5 < 5,76 $.

Обе части двойного неравенства верны, так как $ 2,25 < 5 $ и $ 5 < 5,76 $. Значит, число $ \sqrt{5} $ принадлежит данному интервалу.

Ответ: принадлежит.

г) $\sqrt{6}$

Для числа $ \sqrt{6} $ подкоренное выражение $ a = 6 $. Проверяем неравенство: $ 2,25 < 6 < 5,76 $.

Правая часть неравенства, $ 6 < 5,76 $, является ложной. Значит, число $ \sqrt{6} $ не принадлежит данному интервалу.

Ответ: не принадлежит.

820. Укажите все дроби вида $\frac{a}{54}$, где $a \in N$, принадлежащие промежутку $\left[\frac{1}{9}; \frac{1}{6}\right]$.

Согласно условию, дробь вида $\frac{a}{54}$ должна принадлежать промежутку $[\frac{1}{9}; \frac{1}{6}]$. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$\frac{1}{9} \le \frac{a}{54} \le \frac{1}{6}$

Для того чтобы найти возможные значения числителя a, приведем все дроби в неравенстве к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 9, 54 и 6 является 54.

Преобразуем левую и правую части неравенства:

Левая граница: $\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 6}{9 \cdot 6} = \frac{6}{54}$

Правая граница: $\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 9}{6 \cdot 9} = \frac{9}{54}$

Теперь подставим полученные дроби обратно в неравенство:

$\frac{6}{54} \le \frac{a}{54} \le \frac{9}{54}$

Поскольку знаменатели всех дробей одинаковы, мы можем сравнить их числители:

$6 \le a \le 9$

По условию задачи, $a$ является натуральным числом ($a \in N$). Следовательно, a может принимать следующие целые значения: 6, 7, 8, 9.

Подставляя эти значения a в исходный вид дроби $\frac{a}{54}$, получаем все искомые дроби.

Ответ: $\frac{6}{54}, \frac{7}{54}, \frac{8}{54}, \frac{9}{54}$.

821. Какие целые числа принадлежат промежутку:

а) $(-4; 3)$;

б) $[-3; 5]$?

а) Промежуток $(-4; 3)$ является открытым интервалом. Круглые скобки означают, что концы интервала, числа $-4$ и $3$, не принадлежат ему. Мы ищем все целые числа $x$, для которых выполняется строгое двойное неравенство: $-4 < x < 3$.

Целыми числами, которые строго больше $-4$, являются $-3, -2, -1$ и так далее. Целыми числами, которые строго меньше $3$, являются $2, 1, 0$ и так далее.

Объединяя эти условия, мы получаем следующий набор целых чисел, принадлежащих данному промежутку: $-3, -2, -1, 0, 1, 2$.

Ответ: $-3, -2, -1, 0, 1, 2$.

б) Промежуток $[-3; 5]$ является замкнутым отрезком. Квадратные скобки означают, что концы отрезка, числа $-3$ и $5$, принадлежат ему. Мы ищем все целые числа $x$, для которых выполняется нестрогое двойное неравенство: $-3 \le x \le 5$.

Это означает, что мы должны перечислить все целые числа от $-3$ до $5$ включительно.

Таким образом, целые числа, принадлежащие данному промежутку: $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$.

Ответ: $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$.

822. Какие целые числа принадлежат промежутку:

а) $ [0; 8] $;

б) $ (-3; 3) $;

в) $ (-5; 2) $;

г) $ (-4; 9] $?

а) Промежуток $[0; 8]$ — это числовой отрезок. Квадратные скобки означают, что концы промежутка (числа 0 и 8) включены в него. Следовательно, нам нужно найти все целые числа $x$, которые удовлетворяют неравенству $0 \le x \le 8$.
Перечислим эти числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

б) Промежуток $(-3; 3)$ — это интервал. Круглые скобки означают, что концы промежутка (числа -3 и 3) не включены в него. Нам нужно найти все целые числа $x$, которые удовлетворяют строгому неравенству $-3 < x < 3$.
Перечислим эти числа: -2, -1, 0, 1, 2.
Ответ: -2, -1, 0, 1, 2.

в) Промежуток $(-5; 2)$ — это интервал. Круглые скобки означают, что концы промежутка (числа -5 и 2) не включены в него. Нам нужно найти все целые числа $x$, которые удовлетворяют строгому неравенству $-5 < x < 2$.
Перечислим эти числа: -4, -3, -2, -1, 0, 1.
Ответ: -4, -3, -2, -1, 0, 1.

г) Промежуток $(-4; 9]$ — это полуинтервал. Круглая скобка у числа -4 означает, что оно не включается в промежуток. Квадратная скобка у числа 9 означает, что оно включается в промежуток. Таким образом, мы ищем все целые числа $x$, которые удовлетворяют неравенству $-4 < x \le 9$.
Перечислим эти числа: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Ответ: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

823. Укажите наибольшее целое число, принадлежащее промежутку:

а) $ [-12; -9] $;

б) $ [-1; 17) $;

в) $ (-\infty; 31] $;

г) $ (-\infty; 8) $.

а) Дан промежуток $[-12; -9]$. Это замкнутый интервал, или отрезок. Квадратные скобки означают, что концы промежутка, числа $-12$ и $-9$, включены в него. Мы ищем целые числа $x$, для которых выполняется неравенство $-12 \le x \le -9$. Целыми числами, принадлежащими этому отрезку, являются $-12, -11, -10, -9$. Наибольшим из этих чисел является $-9$.
Ответ: $-9$.

б) Дан промежуток $[-1; 17)$. Это полуинтервал. Квадратная скобка у числа $-1$ означает, что оно включено в промежуток, а круглая скобка у числа $17$ означает, что оно не включено. Искомые целые числа $x$ должны удовлетворять неравенству $-1 \le x < 17$. Самое большое целое число, которое меньше $17$, это $16$.
Ответ: $16$.

в) Дан промежуток $(-\infty; 31]$. Это числовой луч. Он включает все действительные числа, которые меньше или равны $31$. Искомые целые числа $x$ должны удовлетворять неравенству $x \le 31$. Квадратная скобка означает, что число $31$ принадлежит промежутку. Следовательно, наибольшее целое число в этом промежутке — это $31$.
Ответ: $31$.

г) Дан промежуток $(-\infty; 8)$. Это открытый числовой луч. Он включает все действительные числа, которые строго меньше $8$. Искомые целые числа $x$ должны удовлетворять неравенству $x < 8$. Круглая скобка означает, что число $8$ не принадлежит промежутку. Наибольшее целое число, которое строго меньше $8$, это $7$.
Ответ: $7$.

824. Принадлежит ли промежутку $(-\infty; 2)$ число $1,98$? Укажите два числа, большие $1,98$, принадлежащие этому промежутку. Можно ли найти наибольшее число, принадлежащее этому промежутку? Существует ли в этом промежутке наименьшее число?

Принадлежит ли промежутку $(-\infty; 2)$ число 1,98?
Промежуток $(-\infty; 2)$ представляет собой множество всех действительных чисел, которые строго меньше 2. Это условие можно записать в виде неравенства: $x < 2$.
Чтобы определить, принадлежит ли число 1,98 этому промежутку, необходимо проверить, выполняется ли для него данное неравенство.
Сравним числа 1,98 и 2: $1,98 < 2$.
Так как неравенство является верным, число 1,98 принадлежит промежутку $(-\infty; 2)$.
Ответ: да, принадлежит.

Укажите два числа, большие 1,98, принадлежащие этому промежутку.
Требуется найти два числа, обозначим их $x_1$ и $x_2$, которые удовлетворяют двум условиям одновременно:
1. Числа должны быть больше 1,98, то есть $x > 1,98$.
2. Числа должны принадлежать промежутку $(-\infty; 2)$, то есть быть меньше 2: $x < 2$.
Таким образом, мы ищем два числа, которые удовлетворяют двойному неравенству $1,98 < x < 2$.
Между любыми двумя различными действительными числами, такими как 1,98 и 2, существует бесконечное множество других чисел. Можно выбрать любые из них.
Например, возьмем число 1,99. Оно удовлетворяет условиям: $1,98 < 1,99$ и $1,99 < 2$.
В качестве второго примера возьмем число 1,985. Оно также удовлетворяет условиям: $1,98 < 1,985$ и $1,985 < 2$.
Ответ: 1,99 и 1,985.

Можно ли найти наибольшее число, принадлежащее этому промежутку?
Промежуток $(-\infty; 2)$ является открытым справа, что означает, что его правая граница, число 2, не включается в сам промежуток. Число 2 является точной верхней гранью (супремумом) для этого множества чисел.
Предположим, что в этом промежутке существует наибольшее число, назовем его $M$. По определению промежутка, это число должно быть строго меньше 2, то есть $M < 2$.
Однако, для любого такого числа $M$ можно найти другое число, которое будет больше $M$, но все еще меньше 2. Например, можно взять среднее арифметическое чисел $M$ и 2: $M' = \frac{M+2}{2}$.
Поскольку $M < 2$, будет верным и неравенство $M < M' < 2$.
Это означает, что мы нашли число $M'$, которое также принадлежит промежутку $(-\infty; 2)$, но при этом $M' > M$. Это противоречит нашему начальному предположению о том, что $M$ — наибольшее число.
Следовательно, для любого числа из этого промежутка можно найти другое число, которое еще больше, но все еще принадлежит промежутку.
Ответ: нет, наибольшее число в этом промежутке найти невозможно.

Существует ли в этом промежутке наименьшее число?
Промежуток $(-\infty; 2)$ неограничен слева. Символ $-\infty$ (минус бесконечность) указывает на то, что множество чисел уходит по числовой оси влево без какой-либо нижней границы.
Это означает, что для любого числа $N$, которое мы бы ни взяли из этого промежутка, всегда можно найти другое число, которое будет еще меньше и также будет принадлежать этому промежутку. Например, число $N - 1$. Если $N < 2$, то и $N-1$ будет меньше 2, то есть $N-1 \in (-\infty; 2)$.
Таким образом, в данном промежутке нет такого числа, которое было бы меньше всех остальных чисел этого промежутка.
Ответ: нет, наименьшего числа в этом промежутке не существует.

825. Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков:

a) $ (1; 8) $ и $ (5; 10) $;

б) $ [-4; 4] $ и $ [-6; 6] $;

в) $ (5; +\infty) $ и $ (7; +\infty) $;

г) $ (-\infty; 10) $ и $ (-\infty; 6) $.

а) (1; 8) и (5; 10)

Чтобы найти пересечение двух промежутков, изобразим их на одной координатной прямой. Пересечением промежутков называется их общая часть.
Первый промежуток $(1; 8)$ — это все числа, которые больше 1 и меньше 8. На координатной прямой это интервал, ограниченный выколотыми (пустыми) точками 1 и 8.
Второй промежуток $(5; 10)$ — это все числа, которые больше 5 и меньше 10. На координатной прямой это интервал, ограниченный выколотыми точками 5 и 10.

Из чертежа видно, что общей частью является промежуток от 5 до 8. Так как точки 5 и 8 выколотые, они не входят в пересечение.
Запись решения: $(1; 8) \cap (5; 10) = (5; 8)$.
Ответ: $(5; 8)$

б) [-4; 4] и [-6; 6]

Изобразим оба отрезка на координатной прямой.
Первый промежуток $[-4; 4]$ — это все числа, которые больше или равны -4 и меньше или равны 4. На координатной прямой это отрезок, ограниченный закрашенными точками -4 и 4.
Второй промежуток $[-6; 6]$ — это все числа, которые больше или равны -6 и меньше или равны 6. На координатной прямой это отрезок, ограниченный закрашенными точками -6 и 6.

Общей частью этих двух промежутков является та область, где они накладываются. Видно, что отрезок $[-4; 4]$ полностью содержится внутри отрезка $[-6; 6]$. Следовательно, их пересечение и есть отрезок $[-4; 4]$.
Запись решения: $[-4; 4] \cap [-6; 6] = [-4; 4]$.
Ответ: $[-4; 4]$

в) $(5; +\infty)$ и $(7; +\infty)$

Изобразим оба луча на координатной прямой.
Первый промежуток $(5; +\infty)$ — это все числа, которые строго больше 5. На прямой это луч, начинающийся в выколотой точке 5 и уходящий вправо к $+\infty$.
Второй промежуток $(7; +\infty)$ — это все числа, которые строго больше 7. На прямой это луч, начинающийся в выколотой точке 7 и уходящий вправо к $+\infty$.

Пересечением является их общая часть. Все числа, которые больше 7, также являются и числами, которые больше 5. Таким образом, общая часть начинается с 7 (не включая) и уходит в бесконечность.
Запись решения: $(5; +\infty) \cap (7; +\infty) = (7; +\infty)$.
Ответ: $(7; +\infty)$

г) $(-\infty; 10)$ и $(-\infty; 6)$

Изобразим оба луча на координатной прямой.
Первый промежуток $(-\infty; 10)$ — это все числа, которые строго меньше 10. На прямой это луч, идущий от $-\infty$ до выколотой точки 10.
Второй промежуток $(-\infty; 6)$ — это все числа, которые строго меньше 6. На прямой это луч, идущий от $-\infty$ до выколотой точки 6.

Общей частью является та область, где промежутки накладываются. Все числа, которые меньше 6, также являются и числами, которые меньше 10. Таким образом, промежуток $(-\infty; 6)$ полностью содержится в промежутке $(-\infty; 10)$. Их пересечение — это $(-\infty; 6)$.
Запись решения: $(-\infty; 10) \cap (-\infty; 6) = (-\infty; 6)$.
Ответ: $(-\infty; 6)$

826. Сколько целых чисел принадлежит пересечению интервалов $(-3.9; 2)$ и $(-4.3; 1)$? Выберите верный ответ:

1. Три

2. Четыре

3. Пять

4. Шесть

Для того чтобы определить, сколько целых чисел принадлежит пересечению интервалов $(-3,9; 2)$ и $(-4,3; 1)$, необходимо сначала найти само пересечение этих интервалов, а затем посчитать количество целых чисел в полученном промежутке.

1. Нахождение пересечения интервалов

Пересечением двух интервалов $(a; b)$ и $(c; d)$ является интервал, левая граница которого равна большему из чисел $a$ и $c$, а правая — меньшему из чисел $b$ и $d$.

Для наших интервалов $(-3,9; 2)$ и $(-4,3; 1)$:

Левая граница пересечения будет равна $\max(-3,9; -4,3) = -3,9$.

Правая граница пересечения будет равна $\min(2; 1) = 1$.

Таким образом, пересечение данных интервалов — это интервал $(-3,9; 1)$.

2. Подсчет целых чисел в интервале пересечения

Теперь необходимо найти все целые числа $z$, которые удовлетворяют неравенству $-3,9 < z < 1$.

Выпишем все целые числа, которые больше $-3,9$ и меньше $1$:
-3, -2, -1, 0.

Число 1 не включается в этот список, так как неравенство строгое ($z < 1$).

Подсчитаем количество найденных чисел: их всего 4.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что правильный ответ — "Четыре", который находится под номером 2.

Ответ: 2. Четыре.

827. Покажите штриховкой на координатной прямой объединение промежутков:

а) $ [-7; 0] $ и $ [-3; 5] $

б) $ (-4; 1) $ и $ (10; 12) $

в) $ (-\infty; 4) $ и $ (10; +\infty) $

г) $ [3; +\infty) $ и $ (8; +\infty) $

а) Чтобы найти объединение промежутков $[-7; 0]$ и $[-3; 5]$, нужно взять все числа, которые принадлежат хотя бы одному из этих промежутков. На координатной прямой отметим точки $-7, -3, 0, 5$. Так как оба промежутка являются отрезками (квадратные скобки), все граничные точки будут закрашенными. Первый промежуток $[-7; 0]$ представляет собой штриховку от $-7$ до $0$ включительно. Второй промежуток $[-3; 5]$ — штриховку от $-3$ до $5$ включительно. Объединение — это вся область, покрытая штриховкой. Она начинается в самой левой точке, $-7$, и заканчивается в самой правой, $5$. Поскольку промежутки пересекаются, их объединение представляет собой один сплошной отрезок от $-7$ до $5$. Математически это записывается как $[-7; 0] \cup [-3; 5] = [-7; 5]$.
Ответ: $[-7; 5]$.

б) Рассмотрим объединение промежутков $(-4; 1)$ и $(10; 12)$. На координатной прямой отметим точки $-4, 1, 10, 12$. Так как оба промежутка являются интервалами (круглые скобки), все граничные точки будут выколотыми (незакрашенными). Штриховка для первого промежутка будет расположена между $-4$ и $1$. Штриховка для второго — между $10$ и $12$. Эти два промежутка не пересекаются, между ними есть разрыв (от $1$ до $10$). Поэтому их объединение состоит из двух отдельных частей. Записать это объединение в виде одного промежутка нельзя. Оно так и останется объединением двух интервалов. Математическая запись: $(-4; 1) \cup (10; 12)$.
Ответ: $(-4; 1) \cup (10; 12)$.

в) Найдем объединение промежутков $(-\infty; 4)$ и $(10; +\infty)$. Первый промежуток — это все числа, меньшие $4$. Второй — все числа, большие $10$. На координатной прямой отметим точки $4$ и $10$ выколотыми, так как скобки круглые. Заштрихуем область слева от $4$ и область справа от $10$. Эти два промежутка (луча) не пересекаются. Их объединение будет состоять из двух несвязанных частей. Таким образом, объединение записывается как $(-\infty; 4) \cup (10; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; 4) \cup (10; +\infty)$.

г) Найдем объединение промежутков $[3; +\infty)$ и $(8; +\infty)$. Первый промежуток — это все числа, большие или равные $3$. Второй — все числа, строго большие $8$. На координатной прямой отметим точку $3$ закрашенной (квадратная скобка) и точку $8$ выколотой (круглая скобка). Заштрихуем область от $3$ вправо до бесконечности. Затем заштрихуем область от $8$ вправо до бесконечности. Мы видим, что второй промежуток $(8; +\infty)$ полностью содержится в первом промежутке $[3; +\infty]$. Объединение двух множеств, одно из которых является подмножеством другого, равно большему из этих множеств. Следовательно, вся заштрихованная область начинается в точке $3$ и уходит вправо в бесконечность. Математически: $[3; +\infty) \cup (8; +\infty) = [3; +\infty)$.
Ответ: $[3; +\infty)$.