Страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

812. Изобразите на координатной прямой промежуток и назовите его:

а) $[-2; 4]$

б) $(-3; 3)$

в) $[0; 5]$

г) $(-4; 0)$

д) $(3; +\infty)$

е) $[2; +\infty)$

ж) $(-\infty; 4]$

з) $(-\infty; -1)$

и) $(-\infty; +\infty)$

а)

Промежуток $[-2; 4]$ представляет собой множество всех чисел $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-2 \le x \le 4$.

Квадратные скобки означают, что концы промежутка, то есть числа -2 и 4, включаются в него. На координатной прямой такие точки обозначаются закрашенными (сплошными) кружочками, а сам промежуток — штриховкой между этими точками.

Изображение на координатной прямой:

Такой промежуток называется отрезком.

Ответ: Отрезок.

б)

Промежуток $(-3; 3)$ представляет собой множество всех чисел $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-3 < x < 3$.

Круглые скобки означают, что концы промежутка, числа -3 и 3, не включаются в него. На координатной прямой такие точки обозначаются выколотыми (пустыми) кружочками.

Изображение на координатной прямой:

Такой промежуток называется интервалом.

Ответ: Интервал.

в)

Промежуток $[0; 5]$ представляет собой множество всех чисел $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $0 \le x \le 5$.

Квадратные скобки означают, что концы промежутка, числа 0 и 5, включаются в него. На координатной прямой эти точки изображаются закрашенными кружочками.

Изображение на координатной прямой:

Такой промежуток называется отрезком.

Ответ: Отрезок.

г)

Промежуток $(-4; 0)$ представляет собой множество всех чисел $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $-4 < x < 0$.

Круглые скобки означают, что концы промежутка, числа -4 и 0, не включаются в него. На координатной прямой эти точки изображаются выколотыми кружочками.

Изображение на координатной прямой:

Такой промежуток называется интервалом.

Ответ: Интервал.

д)

Промежуток $(3; +\infty)$ представляет собой множество всех чисел $x$, которые удовлетворяют неравенству $x > 3$.

Круглая скобка означает, что число 3 не включается в промежуток (точка выколотая), а знак $+\infty$ показывает, что промежуток неограничен вправо.

Изображение на координатной прямой:

Такой промежуток называется открытым числовым лучом.

Ответ: Открытый числовой луч.

е)

Промежуток $[2; +\infty)$ представляет собой множество всех чисел $x$, которые удовлетворяют неравенству $x \ge 2$.

Квадратная скобка означает, что число 2 включается в промежуток (точка закрашенная), а знак $+\infty$ показывает, что промежуток неограничен вправо.

Изображение на координатной прямой:

Такой промежуток называется числовым лучом.

Ответ: Числовой луч.

ж)

Промежуток $(-\infty; 4]$ представляет собой множество всех чисел $x$, которые удовлетворяют неравенству $x \le 4$.

Квадратная скобка означает, что число 4 включается в промежуток (точка закрашенная), а знак $-\infty$ показывает, что промежуток неограничен влево.

Изображение на координатной прямой:

Такой промежуток называется числовым лучом.

Ответ: Числовой луч.

з)

Промежуток $(-\infty; -1)$ представляет собой множество всех чисел $x$, которые удовлетворяют неравенству $x < -1$.

Круглая скобка означает, что число -1 не включается в промежуток (точка выколотая), а знак $-\infty$ показывает, что промежуток неограничен влево.

Изображение на координатной прямой:

Такой промежуток называется открытым числовым лучом.

Ответ: Открытый числовой луч.

и)

Промежуток $(-\infty; +\infty)$ представляет собой множество всех действительных чисел, то есть $x \in \mathbb{R}$.

На координатной прямой этому промежутку соответствует вся числовая ось целиком.

Изображение на координатной прямой:

Такой промежуток называется числовой прямой.

Ответ: Числовая прямая.

813. Назовите промежутки, изображённые на рисунке 41, и обозначьте их.

а) $[-2; 6]$

б) $[-1; +\infty)$

в) $(-1; 7)$

г) $(-\infty; 4]$

Рис. 41

а) На рисунке изображена числовая прямая, на которой выделен промежуток между точками -2 и 6. Обе точки, -2 и 6, обозначены закрашенными (сплошными) кружками. Это означает, что концы промежутка включены в него. Такой промежуток называется числовым отрезком. Он включает все числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $-2 \le x \le 6$. Обозначается с помощью квадратных скобок.

Ответ: числовой отрезок $[-2; 6]$.

б) На этом рисунке выделен промежуток, который начинается в точке -1 и уходит вправо в бесконечность. Точка -1 обозначена закрашенным кружком, значит, она входит в промежуток. Такой вид промежутка называется числовым лучом. Он включает все числа $x$, удовлетворяющие неравенству $x \ge -1$. Бесконечность всегда обозначается круглой скобкой.

Ответ: числовой луч $[-1; +\infty)$.

в) Здесь изображен промежуток между точками -1 и 7. Обе точки, -1 и 7, обозначены "выколотыми" (пустыми) кружками. Это означает, что концы промежутка не включены в него. Такой промежуток называется интервалом. Он включает все числа $x$, удовлетворяющие строгому двойному неравенству $-1 < x < 7$. Обозначается с помощью круглых скобок.

Ответ: интервал $(-1; 7)$.

г) На данном рисунке изображен промежуток, который простирается от минус бесконечности до точки 4. Точка 4 обозначена закрашенным кружком, следовательно, она включена в промежуток. Этот вид промежутка также является числовым лучом. Он включает все числа $x$, удовлетворяющие неравенству $x \le 4$. Бесконечность всегда обозначается круглой скобкой.

Ответ: числовой луч $(-\infty; 4]$.

814. Изобразите на координатной прямой промежуток и назовите его:

а) $(3; 7);$

б) $[1; 6];$

в) $(-\infty; 5);$

г) $[12; +\infty);$

д) $(-\infty; 3];$

е) $(15; +\infty).$

а) Промежуток $(3; 7)$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, которые удовлетворяют строгому двойному неравенству $3 < x < 7$. Круглые скобки указывают на то, что граничные точки $3$ и $7$ не принадлежат данному промежутку. На координатной прямой такие точки изображаются "выколотыми" (пустыми) кружками, а сам промежуток — заштрихованной областью между ними.

Ответ: интервал.

б) Промежуток $[1; 6]$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, которые удовлетворяют нестрогому двойному неравенству $1 \le x \le 6$. Квадратные скобки указывают на то, что граничные точки $1$ и $6$ принадлежат данному промежутку. На координатной прямой такие точки изображаются закрашенными кружками.

Ответ: отрезок.

в) Промежуток $(-\infty; 5)$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, которые удовлетворяют строгому неравенству $x < 5$. Этот промежуток ограничен справа точкой $5$, которая не включается в него (обозначено круглой скобкой и выколотой точкой), и не ограничен слева.

Ответ: открытый числовой луч.

г) Промежуток $[12; +\infty)$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, которые удовлетворяют нестрогому неравенству $x \ge 12$. Этот промежуток ограничен слева точкой $12$, которая включается в него (обозначено квадратной скобкой и закрашенной точкой), и не ограничен справа.

Ответ: числовой луч.

д) Промежуток $(-\infty; 3]$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, которые удовлетворяют нестрогому неравенству $x \le 3$. Этот промежуток не ограничен слева и ограничен справа точкой $3$, которая включается в него (обозначено квадратной скобкой и закрашенной точкой).

Ответ: числовой луч.

е) Промежуток $(15; +\infty)$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, которые удовлетворяют строгому неравенству $x > 15$. Этот промежуток ограничен слева точкой $15$, которая не включается в него (обозначено круглой скобкой и выколотой точкой), и не ограничен справа.

Ответ: открытый числовой луч.

815. Изобразите на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству:

а) $x \geq -2;$

б) $x \leq 3;$

в) $x > 8;$

г) $x < -5;$

д) $x > 0.3;$

е) $x \leq -8.1.$

а) Чтобы изобразить на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству $x \ge -2$, нужно выполнить следующие действия. Начертим координатную прямую и отметим на ней точку $-2$. Поскольку знак неравенства $\ge$ (больше или равно), он является нестрогим. Это означает, что само число $-2$ входит в решение. На прямой мы обозначаем его закрашенной (сплошной) точкой. Все числа, которые больше или равны $-2$, находятся на прямой справа от $-2$. Поэтому мы заштриховываем часть прямой, начиная от точки $-2$ и вправо до плюс бесконечности. Полученный промежуток — это числовой луч.
Ответ: $x \in [-2; +\infty)$.

б) Для неравенства $x \le 3$ на координатной прямой отмечаем точку $3$. Знак неравенства $\le$ (меньше или равно) является нестрогим, поэтому точка $3$ включается в множество решений. Мы обозначаем ее закрашенной точкой. Все числа, которые меньше или равны $3$, располагаются на прямой слева от точки $3$. Следовательно, мы штрихуем числовой луч, идущий от точки $3$ влево до минус бесконечности.
Ответ: $x \in (-\infty; 3]$.

в) Неравенство $x > 8$ является строгим, так как используется знак $>$ (строго больше). На координатной прямой отмечаем точку $8$. Поскольку само число $8$ не является решением, мы обозначаем эту точку выколотой (пустой). Числа, которые больше $8$, находятся справа от этой точки. Штрихуем на прямой область справа от $8$. Это открытый числовой луч.
Ответ: $x \in (8; +\infty)$.

г) Для неравенства $x < -5$ на координатной прямой отмечаем точку $-5$. Неравенство является строгим (знак < — строго меньше), поэтому точка $-5$ не входит в решение и обозначается выколотым кружком. Все числа, которые меньше $-5$, находятся на прямой слева от этой точки. Штрихуем область слева от $-5$. Это открытый числовой луч.
Ответ: $x \in (-\infty; -5)$.

д) Неравенство $x > 0,3$ является строгим. На координатной прямой отмечаем точку $0,3$ (она находится между $0$ и $1$). Так как неравенство строгое, точка $0,3$ не включается в решение, и мы рисуем на ее месте выколотый (пустой) кружок. Числа, большие $0,3$, расположены справа от этой точки, поэтому штрихуем прямую вправо от $0,3$.
Ответ: $x \in (0,3; +\infty)$.

е) Неравенство $x \le -8,1$ является нестрогим. На координатной прямой отмечаем точку $-8,1$ (она находится между $-9$ и $-8$). Так как неравенство нестрогое (знак $\le$), точка $-8,1$ является частью решения. Мы обозначаем ее закрашенной точкой. Числа, которые меньше или равны $-8,1$, находятся на прямой слева от этой точки. Штрихуем луч, идущий влево от $-8,1$, включая саму точку.
Ответ: $x \in (-\infty; -8,1]$.

816. Изобразите на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих двойному неравенству:

а) $-1.5 \le x \le 4;$

б) $-2 < x < 1.3;$

в) $-5 \le x \le -3\frac{1}{3};$

г) $2 < x \le 6.1.$

а) Двойное неравенство $-1,5 \le x \le 4$ означает, что искомые числа $x$ должны быть одновременно больше или равны $-1,5$ и меньше или равны $4$. На координатной прямой это множество чисел представляет собой отрезок. Чтобы его изобразить, на прямой отмечают точки $-1,5$ и $4$. Так как знаки неравенства нестрогие ($\le$), что означает "меньше или равно" и "больше или равно", обе граничные точки включаются в множество. На графике это показывают закрашенными кружочками. Область между этими точками заштриховывается. В виде числового промежутка это записывается с помощью квадратных скобок, которые как раз и показывают, что концы промежутка включены. Ответ: $[-1,5; 4]$.

б) Двойное неравенство $-2 < x < 1,3$ означает, что искомые числа $x$ должны быть строго больше $-2$ и строго меньше $1,3$. На координатной прямой это множество чисел представляет собой интервал. Чтобы его изобразить, на прямой отмечают точки $-2$ и $1,3$. Так как знаки неравенства строгие (<), обе граничные точки не включаются в множество. На графике это показывают выколотыми (пустыми) кружочками. Область между этими точками заштриховывается. В виде числового промежутка это записывается с помощью круглых скобок, которые показывают, что концы промежутка не включены. Ответ: $(-2; 1,3)$.

в) Двойное неравенство $-5 \le x \le -3\frac{1}{3}$ означает, что искомые числа $x$ должны быть одновременно больше или равны $-5$ и меньше или равны $-3\frac{1}{3}$. На координатной прямой это множество чисел представляет собой отрезок. Чтобы его изобразить, на прямой отмечают точки $-5$ и $-3\frac{1}{3}$. Так как знаки неравенства нестрогие ($\le$), обе граничные точки включаются в множество, что на графике показывают закрашенными кружочками. Область между этими точками заштриховывается. В виде числового промежутка это записывается с помощью квадратных скобок. Ответ: $[-5; -3\frac{1}{3}]$.

г) Двойное неравенство $2 < x \le 6,1$ означает, что искомые числа $x$ должны быть строго больше $2$ и одновременно меньше или равны $6,1$. На координатной прямой это множество чисел представляет собой полуинтервал. Чтобы его изобразить, на прямой отмечают точки $2$ и $6,1$. Так как для числа $2$ знак неравенства строгий (<), эта точка не включается в множество и на графике показывается выколотым (пустым) кружочком. Для числа $6,1$ знак неравенства нестрогий ($\le$), поэтому эта точка включается в множество и показывается закрашенным кружочком. Область между этими точками заштриховывается. В виде числового промежутка это записывается с помощью круглой скобки для исключенной точки и квадратной для включенной. Ответ: $(2; 6,1]$.