Страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

844. Решите неравенство:

а) $5(x - 1) + 7 \le 1 - 3(x + 2)$;

б) $4(a + 8) - 7(a - 1) < 12$;

в) $4(b - 1,5) - 1,2 \ge 6b - 1$;

г) $1,7 - 3(1 - m) \le -(m - 1,9)$;

д) $4x > 12(3x - 1) - 16(x + 1)$;

е) $a + 2 < 5(2a + 8) + 13(4 - a)$;

ж) $6y - (y + 8) - 3(2 - y) \le 2$.

а) Решим неравенство $5(x - 1) + 7 \le 1 - 3(x + 2)$.
Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$5x - 5 + 7 \le 1 - 3x - 6$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$5x + 2 \le -3x - 5$
Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую, изменив их знаки на противоположные:
$5x + 3x \le -5 - 2$
$8x \le -7$
Разделим обе части на 8 (знак неравенства не меняется, так как 8 > 0):
$x \le -7/8$

Ответ: $x \le -7/8$.

б) Решим неравенство $4(a + 8) - 7(a - 1) < 12$.
Раскроем скобки:
$4a + 32 - 7a + 7 < 12$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-3a + 39 < 12$
Перенесем 39 в правую часть:
$-3a < 12 - 39$
$-3a < -27$
Разделим обе части на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$a > \frac{-27}{-3}$
$a > 9$

Ответ: $a > 9$.

в) Решим неравенство $4(b - 1,5) - 1,2 \ge 6b - 1$.
Раскроем скобки:
$4b - 4 \cdot 1,5 - 1,2 \ge 6b - 1$
$4b - 6 - 1,2 \ge 6b - 1$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$4b - 7,2 \ge 6b - 1$
Перенесем члены с переменной $b$ в правую часть, а постоянные члены — в левую:
$-7,2 + 1 \ge 6b - 4b$
$-6,2 \ge 2b$
Разделим обе части на 2:
$-3,1 \ge b$
Что эквивалентно $b \le -3,1$.

Ответ: $b \le -3,1$.

г) Решим неравенство $1,7 - 3(1 - m) \le -(m - 1,9)$.
Раскроем скобки:
$1,7 - 3 + 3m \le -m + 1,9$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-1,3 + 3m \le -m + 1,9$
Перенесем члены с переменной $m$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$3m + m \le 1,9 + 1,3$
$4m \le 3,2$
Разделим обе части на 4:
$m \le \frac{3,2}{4}$
$m \le 0,8$

Ответ: $m \le 0,8$.

д) Решим неравенство $4x > 12(3x - 1) - 16(x + 1)$.
Раскроем скобки в правой части:
$4x > 36x - 12 - 16x - 16$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$4x > 20x - 28$
Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть:
$4x - 20x > -28$
$-16x > -28$
Разделим обе части на -16, изменив знак неравенства на противоположный:
$x < \frac{-28}{-16}$
$x < \frac{7}{4}$
$x < 1,75$

Ответ: $x < 1,75$.

е) Решим неравенство $a + 2 < 5(2a + 8) + 13(4 - a)$.
Раскроем скобки в правой части:
$a + 2 < 10a + 40 + 52 - 13a$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$a + 2 < (10a - 13a) + (40 + 52)$
$a + 2 < -3a + 92$
Перенесем члены с переменной $a$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$a + 3a < 92 - 2$
$4a < 90$
Разделим обе части на 4:
$a < \frac{90}{4}$
$a < \frac{45}{2}$
$a < 22,5$

Ответ: $a < 22,5$.

ж) Решим неравенство $6y - (y + 8) - 3(2 - y) \le 2$.
Раскроем скобки в левой части:
$6y - y - 8 - 6 + 3y \le 2$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(6y - y + 3y) + (-8 - 6) \le 2$
$8y - 14 \le 2$
Перенесем -14 в правую часть:
$8y \le 2 + 14$
$8y \le 16$
Разделим обе части на 8:
$y \le \frac{16}{8}$
$y \le 2$

Ответ: $y \le 2$.

845. Решите неравенство:

а) $4(2 - 3x) - (5 - x) > 11 - x;$

б) $2(3 - z) - 3(2 + z) \leq z;$

в) $1 > 1.5(4 - 2a) + 0.5(2 - 6a);$

г) $2.5(2 - y) - 1.5(y - 4) \leq 3 - y;$

д) $x - 2 \geq 4.7(x - 2) - 2.7(x - 1);$

е) $3.2(a - 6) - 1.2a \leq 3(a - 8).$

а) $4(2 - 3x) - (5 - x) > 11 - x$
Первым шагом раскроем скобки в левой части неравенства:
$8 - 12x - 5 + x > 11 - x$
Далее приведем подобные слагаемые в левой части:
$(8 - 5) + (-12x + x) > 11 - x$
$3 - 11x > 11 - x$
Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые коэффициенты — в правую, не забывая изменять знак при переносе:
$-11x + x > 11 - 3$
$-10x > 8$
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -10. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{8}{-10}$
$x < -0.8$
Ответ: $x < -0.8$

б) $2(3 - z) - 3(2 + z) \le z$
Раскроем скобки:
$6 - 2z - 6 - 3z \le z$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(6 - 6) + (-2z - 3z) \le z$
$-5z \le z$
Перенесем $z$ из правой части в левую:
$-5z - z \le 0$
$-6z \le 0$
Разделим обе части на -6, изменив знак неравенства на противоположный:
$z \ge \frac{0}{-6}$
$z \ge 0$
Ответ: $z \ge 0$

в) $1 > 1.5(4 - 2a) + 0.5(2 - 6a)$
Раскроем скобки в правой части неравенства:
$1 > 1.5 \cdot 4 - 1.5 \cdot 2a + 0.5 \cdot 2 - 0.5 \cdot 6a$
$1 > 6 - 3a + 1 - 3a$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$1 > (6 + 1) + (-3a - 3a)$
$1 > 7 - 6a$
Перенесем слагаемое с переменной $a$ в левую часть, а число 1 — в правую:
$6a > 7 - 1$
$6a > 6$
Разделим обе части на 6:
$a > 1$
Ответ: $a > 1$

г) $2.5(2 - y) - 1.5(y - 4) \le 3 - y$
Раскроем скобки в левой части:
$5 - 2.5y - 1.5y + 6 \le 3 - y$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(5 + 6) + (-2.5y - 1.5y) \le 3 - y$
$11 - 4y \le 3 - y$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$-4y + y \le 3 - 11$
$-3y \le -8$
Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства на противоположный:
$y \ge \frac{-8}{-3}$
$y \ge \frac{8}{3}$
Ответ: $y \ge \frac{8}{3}$

д) $x - 2 \ge 4.7(x - 2) - 2.7(x - 1)$
Раскроем скобки в правой части неравенства:
$x - 2 \ge 4.7x - 9.4 - 2.7x + 2.7$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$x - 2 \ge (4.7x - 2.7x) + (-9.4 + 2.7)$
$x - 2 \ge 2x - 6.7$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$x - 2x \ge -6.7 + 2$
$-x \ge -4.7$
Умножим (или разделим) обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \le 4.7$
Ответ: $x \le 4.7$

е) $3.2(a - 6) - 1.2a \le 3(a - 8)$
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$3.2a - 19.2 - 1.2a \le 3a - 24$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(3.2a - 1.2a) - 19.2 \le 3a - 24$
$2a - 19.2 \le 3a - 24$
Перенесем слагаемые с переменной $a$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$2a - 3a \le -24 + 19.2$
$-a \le -4.8$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$a \ge 4.8$
Ответ: $a \ge 4.8$

846. Решите неравенство и покажите на координатной прямой множество его решений:

a) $a(a - 4) - a^2 > 12 - 6a;$

б) $(2x - 1)2x - 5x < 4x^2 - x;$

в) $5y^2 - 5y(y + 4) \geq 100;$

г) $6a(a - 1) - 2a(3a - 2) < 6.$

а) Решим неравенство $a(a - 4) - a^2 > 12 - 6a$.
Раскроем скобки в левой части: $a^2 - 4a - a^2 > 12 - 6a$.
Приведем подобные слагаемые: $-4a > 12 - 6a$.
Перенесем слагаемые с переменной $a$ в левую часть, а числовые слагаемые оставим в правой: $-4a + 6a > 12$.
Снова приведем подобные слагаемые: $2a > 12$.
Разделим обе части неравенства на положительное число 2, знак неравенства при этом не меняется: $a > 6$.

Изобразим множество решений на координатной прямой. Точка 6 будет выколотой, так как неравенство строгое.

Ответ: $a > 6$, или в виде интервала $a \in (6; +\infty)$.

б) Решим неравенство $(2x - 1)2x - 5x < 4x^2 - x$.
Раскроем скобки в левой части: $4x^2 - 2x - 5x < 4x^2 - x$.
Приведем подобные слагаемые в левой части: $4x^2 - 7x < 4x^2 - x$.
Вычтем $4x^2$ из обеих частей неравенства: $-7x < -x$.
Перенесем слагаемое $-x$ в левую часть: $-7x + x < 0$.
Приведем подобные: $-6x < 0$.
Разделим обе части на отрицательное число -6 и изменим знак неравенства на противоположный: $x > 0$.

Изобразим множество решений на координатной прямой. Точка 0 будет выколотой, так как неравенство строгое.

Ответ: $x > 0$, или в виде интервала $x \in (0; +\infty)$.

в) Решим неравенство $5y^2 - 5y(y + 4) \ge 100$.
Раскроем скобки: $5y^2 - 5y^2 - 20y \ge 100$.
Приведем подобные слагаемые: $-20y \ge 100$.
Разделим обе части на отрицательное число -20 и изменим знак неравенства на противоположный: $y \le \frac{100}{-20}$.
$y \le -5$.

Изобразим множество решений на координатной прямой. Точка -5 будет закрашенной, так как неравенство нестрогое.

Ответ: $y \le -5$, или в виде луча $y \in (-\infty; -5]$.

г) Решим неравенство $6a(a - 1) - 2a(3a - 2) < 6$.
Раскроем скобки: $6a^2 - 6a - (6a^2 - 4a) < 6$.
$6a^2 - 6a - 6a^2 + 4a < 6$.
Приведем подобные слагаемые: $-2a < 6$.
Разделим обе части на отрицательное число -2 и изменим знак неравенства на противоположный: $a > \frac{6}{-2}$.
$a > -3$.

Изобразим множество решений на координатной прямой. Точка -3 будет выколотой, так как неравенство строгое.

Ответ: $a > -3$, или в виде интервала $a \in (-3; +\infty)$.

847. Решите неравенство:

a) $0.2x^2 - 0.2(x - 6)(x + 6) > 3.6x$

б) $(2x - 5)^2 - 0.5x < (2x - 1)(2x + 1) - 15$

в) $(12x - 1)(3x + 1) < 1 + (6x + 2)^2$

г) $(4y - 1)^2 > (2y + 3)(8y - 1)$

а) $0,2x^2 - 0,2(x - 6)(x + 6) > 3,6x$
Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$0,2x^2 - 0,2(x^2 - 36) > 3,6x$
Распределим множитель $-0,2$:
$0,2x^2 - 0,2x^2 + 0,2 \cdot 36 > 3,6x$
Слагаемые $0,2x^2$ и $-0,2x^2$ взаимно уничтожаются. Упрощаем неравенство:
$7,2 > 3,6x$
Разделим обе части неравенства на $3,6$ (знак неравенства не меняется, так как $3,6 > 0$):
$\frac{7,2}{3,6} > x$
$2 > x$
Или, что то же самое: $x < 2$.
Ответ: $x < 2$.

б) $(2x - 5)^2 - 0,5x < (2x - 1)(2x + 1) - 15$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для левой части и формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для правой части:
$((2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2) - 0,5x < ((2x)^2 - 1^2) - 15$
$4x^2 - 20x + 25 - 0,5x < 4x^2 - 1 - 15$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$4x^2 - 20,5x + 25 < 4x^2 - 16$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные члены - в правую. Слагаемые $4x^2$ взаимно уничтожаются:
$-20,5x < -16 - 25$
$-20,5x < -41$
Разделим обе части на $-20,5$. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{-41}{-20,5}$
$x > 2$
Ответ: $x > 2$.

в) $(12x - 1)(3x + 1) < 1 + (6x + 2)^2$
Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части перемножим многочлены, в правой используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$36x^2 + 12x - 3x - 1 < 1 + (36x^2 + 2 \cdot 6x \cdot 2 + 4)$
Приведем подобные слагаемые:
$36x^2 + 9x - 1 < 1 + 36x^2 + 24x + 4$
$36x^2 + 9x - 1 < 36x^2 + 24x + 5$
Слагаемые $36x^2$ взаимно уничтожаются. Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числа в другую:
$9x - 24x < 5 + 1$
$-15x < 6$
Разделим обе части на $-15$, изменив знак неравенства на противоположный:
$x > \frac{6}{-15}$
Сократим дробь:
$x > -\frac{2}{5}$
$x > -0,4$
Ответ: $x > -0,4$.

г) $(4y - 1)^2 > (2y + 3)(8y - 1)$
Раскроем скобки в обеих частях. В левой части используем формулу квадрата разности, в правой — перемножим многочлены:
$(4y)^2 - 2 \cdot 4y \cdot 1 + 1^2 > 16y^2 - 2y + 24y - 3$
$16y^2 - 8y + 1 > 16y^2 + 22y - 3$
Слагаемые $16y^2$ взаимно уничтожаются. Перенесем члены с $y$ в правую часть, а числа — в левую:
$1 + 3 > 22y + 8y$
$4 > 30y$
Разделим обе части на $30$ (знак неравенства не меняется):
$\frac{4}{30} > y$
Сократим дробь:
$\frac{2}{15} > y$
Или, что то же самое: $y < \frac{2}{15}$.
Ответ: $y < \frac{2}{15}$.

848. Решите неравенство:

а) $4b(1 - 3b) - (b - 12b^2) < 43;$

б) $3y^2 - 2y - 3y(y - 6) \geq -2;$

в) $2p(5p + 2) - p(10p + 3) \leq 14;$

г) $a(a - 1) - (a^2 + a) < 34.$

а) $4b(1 - 3b) - (b - 12b^2) < 43$

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства. При раскрытии первой скобки умножаем $4b$ на каждый член в скобке. При раскрытии второй скобки меняем знаки у каждого члена внутри, так как перед скобкой стоит знак минус.

$4b \cdot 1 - 4b \cdot 3b - b + 12b^2 < 43$

$4b - 12b^2 - b + 12b^2 < 43$

Теперь приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-12b^2$ и $12b^2$ в сумме дают ноль и взаимно уничтожаются. Слагаемые $4b$ и $-b$ в сумме дают $3b$.

$(4b - b) + (-12b^2 + 12b^2) < 43$

$3b < 43$

Чтобы найти $b$, разделим обе части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не меняется.

$b < \frac{43}{3}$

Можно выделить целую часть: $b < 14\frac{1}{3}$.

Ответ: $b < \frac{43}{3}$

б) $3y^2 - 2y - 3y(y - 6) \ge -2$

Раскроем скобки в левой части неравенства, умножив $-3y$ на каждый член в скобке $(y-6)$.

$3y^2 - 2y - (3y \cdot y - 3y \cdot 6) \ge -2$

$3y^2 - 2y - (3y^2 - 18y) \ge -2$

Теперь раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус, изменив знаки слагаемых на противоположные.

$3y^2 - 2y - 3y^2 + 18y \ge -2$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $3y^2$ и $-3y^2$ взаимно уничтожаются. Слагаемые $-2y$ и $18y$ в сумме дают $16y$.

$(-2y + 18y) + (3y^2 - 3y^2) \ge -2$

$16y \ge -2$

Разделим обе части неравенства на 16. Знак неравенства не меняется, так как 16 — положительное число.

$y \ge \frac{-2}{16}$

Сократим дробь в правой части:

$y \ge -\frac{1}{8}$

Ответ: $y \ge -\frac{1}{8}$

в) $2p(5p + 2) - p(10p + 3) \le 14$

Раскроем скобки в левой части неравенства.

$(2p \cdot 5p + 2p \cdot 2) - (p \cdot 10p + p \cdot 3) \le 14$

$(10p^2 + 4p) - (10p^2 + 3p) \le 14$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные.

$10p^2 + 4p - 10p^2 - 3p \le 14$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $10p^2$ и $-10p^2$ взаимно уничтожаются. Слагаемые $4p$ и $-3p$ в сумме дают $p$.

$(4p - 3p) + (10p^2 - 10p^2) \le 14$

$p \le 14$

Неравенство решено.

Ответ: $p \le 14$

г) $a(a - 1) - (a^2 + a) < 34$

Раскроем скобки в левой части неравенства.

$a \cdot a - a \cdot 1 - a^2 - a < 34$

$a^2 - a - a^2 - a < 34$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $a^2$ и $-a^2$ взаимно уничтожаются. Слагаемые $-a$ и $-a$ в сумме дают $-2a$.

$(-a - a) + (a^2 - a^2) < 34$

$-2a < 34$

Разделим обе части неравенства на -2. Важно помнить, что при делении (или умножении) на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (в данном случае '<' на '>').

$a > \frac{34}{-2}$

$a > -17$

Ответ: $a > -17$

849. Решите неравенство:

а) $\frac{2x}{5} > 1;$

б) $\frac{x}{3} < 2;$

в) $\frac{6x}{7} \ge 0;$

г) $\frac{3x-1}{4} > 2;$

д) $2 > \frac{6-x}{5};$

е) $\frac{2+3x}{18} < 0;$

ж) $\frac{12-7x}{42} \ge 0;$

з) $\frac{1}{3}(x+15) > 4;$

и) $6 \le \frac{2}{7}(x+4).$

а) Исходное неравенство: $\frac{2x}{5} > 1$.
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части неравенства на 5. Так как 5 - положительное число, знак неравенства не изменится.
$5 \cdot \frac{2x}{5} > 1 \cdot 5$
$2x > 5$
Теперь разделим обе части на 2. Так как 2 - положительное число, знак неравенства снова не изменится.
$\frac{2x}{2} > \frac{5}{2}$
$x > 2.5$
Решением неравенства является интервал $(2.5; +\infty)$.
Ответ: $x > 2.5$.

б) Исходное неравенство: $\frac{x}{3} < 2$.
Умножим обе части неравенства на 3. Знак неравенства сохранится, так как 3 > 0.
$3 \cdot \frac{x}{3} < 2 \cdot 3$
$x < 6$
Решением неравенства является интервал $(-\infty; 6)$.
Ответ: $x < 6$.

в) Исходное неравенство: $\frac{6x}{7} \geq 0$.
Умножим обе части неравенства на 7. Знак неравенства сохранится.
$7 \cdot \frac{6x}{7} \geq 0 \cdot 7$
$6x \geq 0$
Разделим обе части на 6. Знак неравенства сохранится.
$\frac{6x}{6} \geq \frac{0}{6}$
$x \geq 0$
Решением неравенства является числовой луч $[0; +\infty)$.
Ответ: $x \geq 0$.

г) Исходное неравенство: $\frac{3x - 1}{4} > 2$.
Умножим обе части на 4. Знак неравенства не изменится.
$4 \cdot \frac{3x - 1}{4} > 2 \cdot 4$
$3x - 1 > 8$
Прибавим 1 к обеим частям неравенства.
$3x - 1 + 1 > 8 + 1$
$3x > 9$
Разделим обе части на 3. Знак неравенства не изменится.
$\frac{3x}{3} > \frac{9}{3}$
$x > 3$
Решением неравенства является интервал $(3; +\infty)$.
Ответ: $x > 3$.

д) Исходное неравенство: $2 > \frac{6 - x}{5}$.
Для удобства можно переписать неравенство, поменяв местами левую и правую части и изменив знак на противоположный: $\frac{6 - x}{5} < 2$.
Умножим обе части на 5. Знак неравенства не изменится.
$5 \cdot \frac{6 - x}{5} < 2 \cdot 5$
$6 - x < 10$
Вычтем 6 из обеих частей.
$6 - x - 6 < 10 - 6$
$-x < 4$
Умножим обе части на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$(-1) \cdot (-x) > 4 \cdot (-1)$
$x > -4$
Решением неравенства является интервал $(-4; +\infty)$.
Ответ: $x > -4$.

е) Исходное неравенство: $\frac{2 + 3x}{18} < 0$.
Умножим обе части на 18. Знак неравенства не изменится.
$18 \cdot \frac{2 + 3x}{18} < 0 \cdot 18$
$2 + 3x < 0$
Вычтем 2 из обеих частей.
$2 + 3x - 2 < 0 - 2$
$3x < -2$
Разделим обе части на 3. Знак неравенства не изменится.
$\frac{3x}{3} < \frac{-2}{3}$
$x < -\frac{2}{3}$
Решением неравенства является интервал $(-\infty; -\frac{2}{3})$.
Ответ: $x < -\frac{2}{3}$.

ж) Исходное неравенство: $\frac{12 - 7x}{42} \geq 0$.
Умножим обе части на 42. Так как 42 > 0, знак неравенства не изменится.
$42 \cdot \frac{12 - 7x}{42} \geq 0 \cdot 42$
$12 - 7x \geq 0$
Вычтем 12 из обеих частей.
$12 - 7x - 12 \geq 0 - 12$
$-7x \geq -12$
Разделим обе части на -7. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$\frac{-7x}{-7} \leq \frac{-12}{-7}$
$x \leq \frac{12}{7}$
Можно записать в виде смешанной дроби: $x \leq 1\frac{5}{7}$.
Решением неравенства является числовой луч $(-\infty; \frac{12}{7}]$.
Ответ: $x \leq \frac{12}{7}$.

з) Исходное неравенство: $\frac{1}{3}(x + 15) > 4$.
Умножим обе части на 3. Знак неравенства не изменится.
$3 \cdot \frac{1}{3}(x + 15) > 4 \cdot 3$
$x + 15 > 12$
Вычтем 15 из обеих частей.
$x + 15 - 15 > 12 - 15$
$x > -3$
Решением неравенства является интервал $(-3; +\infty)$.
Ответ: $x > -3$.

и) Исходное неравенство: $6 \leq \frac{2}{7}(x + 4)$.
Перепишем неравенство для удобства: $\frac{2}{7}(x + 4) \geq 6$.
Чтобы избавиться от дроби $\frac{2}{7}$, умножим обе части на обратную дробь $\frac{7}{2}$. Так как $\frac{7}{2} > 0$, знак неравенства не изменится.
$\frac{7}{2} \cdot \frac{2}{7}(x + 4) \geq 6 \cdot \frac{7}{2}$
$x + 4 \geq \frac{42}{2}$
$x + 4 \geq 21$
Вычтем 4 из обеих частей.
$x + 4 - 4 \geq 21 - 4$
$x \geq 17$
Решением неравенства является числовой луч $[17; +\infty)$.
Ответ: $x \geq 17$.

850. Решите неравенство:

а) $ \frac{9x}{5} \ge 0; $

б) $ 1 < \frac{3x}{4}; $

в) $ \frac{5+6x}{2} > 3; $

г) $ \frac{4x-11}{4} \le 0; $

д) $ \frac{1}{7}x \ge 2; $

е) $ \frac{2}{11}(x-4) < 3. $

а) $\frac{9x}{5} \ge 0$

Чтобы решить неравенство, сначала избавимся от знаменателя. Умножим обе части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$\frac{9x}{5} \cdot 5 \ge 0 \cdot 5$

$9x \ge 0$

Теперь разделим обе части на 9. Так как 9 — положительное число, знак неравенства снова не меняется:

$\frac{9x}{9} \ge \frac{0}{9}$

$x \ge 0$

Ответ: $x \in [0; +\infty)$

б) $1 < \frac{3x}{4}$

Для удобства можно записать неравенство как $\frac{3x}{4} > 1$.

Умножим обе части на 4. Знак неравенства не изменится, так как 4 > 0:

$\frac{3x}{4} \cdot 4 > 1 \cdot 4$

$3x > 4$

Разделим обе части на 3. Знак неравенства не изменится, так как 3 > 0:

$\frac{3x}{3} > \frac{4}{3}$

$x > \frac{4}{3}$

Ответ: $x \in (\frac{4}{3}; +\infty)$

в) $\frac{5+6x}{2} > 3$

Умножим обе части неравенства на 2. Знак неравенства не меняется (2 > 0):

$\frac{5+6x}{2} \cdot 2 > 3 \cdot 2$

$5 + 6x > 6$

Вычтем 5 из обеих частей неравенства:

$5 + 6x - 5 > 6 - 5$

$6x > 1$

Разделим обе части на 6. Знак неравенства не меняется (6 > 0):

$\frac{6x}{6} > \frac{1}{6}$

$x > \frac{1}{6}$

Ответ: $x \in (\frac{1}{6}; +\infty)$

г) $\frac{4x-11}{4} \le 0$

Умножим обе части неравенства на 4. Знак неравенства не меняется (4 > 0):

$\frac{4x-11}{4} \cdot 4 \le 0 \cdot 4$

$4x - 11 \le 0$

Прибавим 11 к обеим частям неравенства:

$4x - 11 + 11 \le 0 + 11$

$4x \le 11$

Разделим обе части на 4. Знак неравенства не меняется (4 > 0):

$\frac{4x}{4} \le \frac{11}{4}$

$x \le \frac{11}{4}$

Дробь $\frac{11}{4}$ можно представить в виде десятичной дроби $2,75$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{11}{4}]$

д) $\frac{1}{7}x \ge 2$

Данное неравенство эквивалентно неравенству $\frac{x}{7} \ge 2$.

Умножим обе части на 7. Так как 7 > 0, знак неравенства сохраняется:

$\frac{x}{7} \cdot 7 \ge 2 \cdot 7$

$x \ge 14$

Ответ: $x \in [14; +\infty)$

е) $\frac{2}{11}(x-4) < 3$

Умножим обе части неравенства на 11, чтобы избавиться от знаменателя. Знак не меняется, так как 11 > 0:

$\frac{2}{11}(x-4) \cdot 11 < 3 \cdot 11$

$2(x-4) < 33$

Раскроем скобки в левой части:

$2x - 8 < 33$

Прибавим 8 к обеим частям:

$2x - 8 + 8 < 33 + 8$

$2x < 41$

Разделим обе части на 2. Знак не меняется, так как 2 > 0:

$\frac{2x}{2} < \frac{41}{2}$

$x < \frac{41}{2}$

Дробь $\frac{41}{2}$ можно представить в виде десятичной дроби $20,5$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{41}{2})$

851. При каких значениях y:

а) значения дроби $\frac{7-2y}{6}$ больше соответствующих значений дроби $\frac{3y-7}{12}$;

б) значения дроби $\frac{4,5-2y}{5}$ меньше соответствующих значений дроби $\frac{2-3y}{10}$;

в) значения двучлена $5y - 1$ больше соответствующих значений дроби $\frac{3y-1}{4}$;

г) значения дроби $\frac{5-2y}{12}$ меньше соответствующих значений двучлена $1-6y$?

а)

Для того чтобы значения дроби $\frac{7-2y}{6}$ были больше соответствующих значений дроби $\frac{3y-7}{12}$, необходимо составить и решить следующее неравенство:

$\frac{7-2y}{6} > \frac{3y-7}{12}$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на их наименьшее общее кратное, которое равно 12.

$12 \cdot \frac{7-2y}{6} > 12 \cdot \frac{3y-7}{12}$

$2 \cdot (7-2y) > 1 \cdot (3y-7)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$14 - 4y > 3y - 7$

Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в одной части, а постоянные члены — в другой. Перенесем $-4y$ вправо, а $-7$ влево, изменив их знаки:

$14 + 7 > 3y + 4y$

$21 > 7y$

Разделим обе части на 7. Так как 7 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$3 > y$, что эквивалентно $y < 3$.

Ответ: $y < 3$, то есть $y \in (-\infty; 3)$.

б)

Чтобы значения дроби $\frac{4,5-2y}{5}$ были меньше соответствующих значений дроби $\frac{2-3y}{10}$, составим и решим неравенство:

$\frac{4,5-2y}{5} < \frac{2-3y}{10}$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 10:

$10 \cdot \frac{4,5-2y}{5} < 10 \cdot \frac{2-3y}{10}$

$2 \cdot (4,5-2y) < 1 \cdot (2-3y)$

Раскроем скобки:

$9 - 4y < 2 - 3y$

Сгруппируем слагаемые: перенесем $-4y$ вправо, а 2 — влево, изменив знаки:

$9 - 2 < 4y - 3y$

$7 < y$, что эквивалентно $y > 7$.

Ответ: $y > 7$, то есть $y \in (7; +\infty)$.

в)

Чтобы значения двучлена $5y - 1$ были больше соответствующих значений дроби $\frac{3y-1}{4}$, составим и решим неравенство:

$5y - 1 > \frac{3y-1}{4}$

Умножим обе части неравенства на 4:

$4 \cdot (5y - 1) > 3y - 1$

Раскроем скобки:

$20y - 4 > 3y - 1$

Сгруппируем слагаемые: перенесем $3y$ влево, а $-4$ — вправо:

$20y - 3y > 4 - 1$

$17y > 3$

Разделим обе части на 17:

$y > \frac{3}{17}$

Ответ: $y > \frac{3}{17}$, то есть $y \in (\frac{3}{17}; +\infty)$.

г)

Чтобы значения дроби $\frac{5-2y}{12}$ были меньше соответствующих значений двучлена $1 - 6y$, составим и решим неравенство:

$\frac{5-2y}{12} < 1 - 6y$

Умножим обе части неравенства на 12:

$5-2y < 12 \cdot (1 - 6y)$

Раскроем скобки:

$5 - 2y < 12 - 72y$

Сгруппируем слагаемые: перенесем $-72y$ влево, а 5 — вправо:

$72y - 2y < 12 - 5$

$70y < 7$

Разделим обе части на 70:

$y < \frac{7}{70}$

Сократим дробь:

$y < \frac{1}{10}$

Ответ: $y < \frac{1}{10}$, то есть $y \in (-\infty; 0,1)$.