Страница 198 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

876. Решите систему неравенств:

а) $\begin{cases} x > 17, \\ x > 12; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x < 1, \\ x < 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x > 0, \\ x < 6; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x < -3.5, \\ x > 8; \end{cases}$

д) $\begin{cases} x \ge -1, \\ x \le 3; \end{cases}$

е) $\begin{cases} x > 8, \\ x \le 20. \end{cases}$

а)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} x > 17 \\ x > 12 \end{cases}$

Для решения системы необходимо найти множество значений $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Первое неравенство $x > 17$ означает, что $x$ должен быть строго больше 17. Второе неравенство $x > 12$ означает, что $x$ должен быть строго больше 12.

Изобразим эти множества на числовой оси. Множество решений первого неравенства — это интервал $(17, +\infty)$. Множество решений второго неравенства — это интервал $(12, +\infty)$.

Пересечением этих двух интервалов будет множество чисел, которые больше и 12, и 17. Если число больше 17, оно автоматически больше 12. Следовательно, решением системы является более сильное (ограничивающее) неравенство $x > 17$.

Ответ: $x > 17$ или $x \in (17, +\infty)$.

б)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} x < 1 \\ x < 5 \end{cases}$

Нужно найти значения $x$, которые одновременно меньше 1 и меньше 5. Если число меньше 1, оно автоматически будет меньше 5.

На числовой оси множество решений первого неравенства $x < 1$ — это интервал $(-\infty, 1)$. Множество решений второго неравенства $x < 5$ — это интервал $(-\infty, 5)$.

Пересечением этих двух интервалов будет интервал $(-\infty, 1)$. Таким образом, решением системы является более сильное неравенство $x < 1$.

Ответ: $x < 1$ или $x \in (-\infty, 1)$.

в)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} x > 0 \\ x < 6 \end{cases}$

Нужно найти значения $x$, которые одновременно больше 0 и меньше 6. Это можно записать в виде двойного неравенства $0 < x < 6$.

На числовой оси множество решений первого неравенства $x > 0$ — это интервал $(0, +\infty)$. Множество решений второго неравенства $x < 6$ — это интервал $(-\infty, 6)$.

Пересечением этих двух интервалов является интервал $(0, 6)$.

Ответ: $0 < x < 6$ или $x \in (0, 6)$.

г)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} x < -3,5 \\ x > 8 \end{cases}$

Нужно найти значения $x$, которые одновременно меньше -3,5 и больше 8. На числовой оси множество чисел, меньших -3,5, находится левее точки -3,5. Множество чисел, больших 8, находится правее точки 8.

Эти два множества не имеют общих точек, их пересечение пусто. Следовательно, не существует такого числа $x$, которое удовлетворяло бы обоим неравенствам одновременно.

Ответ: решений нет, $x \in \emptyset$.

д)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} x \ge -1 \\ x \le 3 \end{cases}$

Нужно найти значения $x$, которые не меньше -1 и не больше 3. Это можно записать в виде двойного неравенства $-1 \le x \le 3$.

На числовой оси множество решений первого неравенства $x \ge -1$ — это луч $[-1, +\infty)$. Множество решений второго неравенства $x \le 3$ — это луч $(-\infty, 3]$.

Пересечением этих двух множеств является отрезок $[-1, 3]$.

Ответ: $-1 \le x \le 3$ или $x \in [-1, 3]$.

е)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} x > 8 \\ x \le 20 \end{cases}$

Нужно найти значения $x$, которые строго больше 8 и не больше 20. Это можно записать в виде двойного неравенства $8 < x \le 20$.

На числовой оси множество решений первого неравенства $x > 8$ — это интервал $(8, +\infty)$. Множество решений второго неравенства $x \le 20$ — это луч $(-\infty, 20]$.

Пересечением этих двух множеств является полуинтервал $(8, 20]$.

Ответ: $8 < x \le 20$ или $x \in (8, 20]$.

877. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} 2x - 12 > 0, \\ 3x > 9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 4y < -4, \\ 5 - y > 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 3x - 10 < 0, \\ 2x > 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 6y \ge 42, \\ 4y + 12 \le 0. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:$\begin{cases}2x - 12 > 0, \\3x > 9\end{cases}$

Сначала решим первое неравенство:
$2x - 12 > 0$
$2x > 12$
$x > \frac{12}{2}$
$x > 6$

Теперь решим второе неравенство:
$3x > 9$
$x > \frac{9}{3}$
$x > 3$

Мы получили два условия: $x > 6$ и $x > 3$. Решением системы является пересечение этих двух множеств. Если число больше 6, оно автоматически больше 3. Следовательно, общее решение — это $x > 6$. В виде интервала это записывается как $(6, +\infty)$.
Ответ: $(6, +\infty)$

б) Решим систему неравенств:$\begin{cases}4y < -4, \\5 - y > 0\end{cases}$

Решим первое неравенство:
$4y < -4$
$y < \frac{-4}{4}$
$y < -1$

Решим второе неравенство:
$5 - y > 0$
$-y > -5$
При умножении неравенства на -1 знак неравенства меняется на противоположный:
$y < 5$

Мы получили два условия: $y < -1$ и $y < 5$. Решением системы является пересечение этих множеств. Если число меньше -1, оно автоматически меньше 5. Таким образом, общее решение — это $y < -1$. В виде интервала это записывается как $(-\infty, -1)$.
Ответ: $(-\infty, -1)$

в) Решим систему неравенств:$\begin{cases}3x - 10 < 0, \\2x > 0\end{cases}$

Решим первое неравенство:
$3x - 10 < 0$
$3x < 10$
$x < \frac{10}{3}$

Решим второе неравенство:
$2x > 0$
$x > 0$

Мы получили два условия: $x < \frac{10}{3}$ и $x > 0$. Решением системы являются все числа, которые одновременно больше 0 и меньше $\frac{10}{3}$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $0 < x < \frac{10}{3}$. В виде интервала это записывается как $(0, \frac{10}{3})$.
Ответ: $(0, \frac{10}{3})$

г) Решим систему неравенств:$\begin{cases}6y \ge 42, \\4y + 12 \le 0\end{cases}$

Решим первое неравенство:
$6y \ge 42$
$y \ge \frac{42}{6}$
$y \ge 7$

Решим второе неравенство:
$4y + 12 \le 0$
$4y \le -12$
$y \le \frac{-12}{4}$
$y \le -3$

Мы получили два условия: $y \ge 7$ и $y \le -3$. Нам нужно найти числа, которые одновременно не меньше 7 и не больше -3. Таких чисел не существует, так как множества решений $[7, +\infty)$ и $(-\infty, -3]$ не пересекаются.
Ответ: нет решений

878. Решите систему неравенств и укажите несколько чисел, являющихся её решениями:

а) $\begin{cases} x - 0,8 > 0, \\ -5x < 10 \end{cases}$;

б) $\begin{cases} 2 - x \le 0, \\ x - 4 \le 0 \end{cases}$;

в) $\begin{cases} 1 > 3x, \\ 5x - 1 > 0 \end{cases}$;

г) $\begin{cases} 10x < 2, \\ x > 0,1 \end{cases}$.

а) Дана система неравенств:

$ \begin{cases} x - 0,8 > 0, \\ -5x < 10. \end{cases} $

Решим каждое неравенство отдельно.
1) Из неравенства $x - 0,8 > 0$ следует, что $x > 0,8$.
2) Решим неравенство $-5x < 10$. При делении обеих частей на отрицательное число -5, знак неравенства меняется на противоположный: $x > \frac{10}{-5}$, то есть $x > -2$.
Решением системы является пересечение полученных множеств: $x > 0,8$ и $x > -2$. Общим решением будет $x > 0,8$.
Таким образом, решение системы в виде интервала: $x \in (0,8; +\infty)$.
Несколько чисел, которые являются решениями: 1, 5, 100.

Ответ: $x \in (0,8; +\infty)$. Примеры решений: 1, 5, 100.

б) Дана система неравенств:

$ \begin{cases} 2 - x \le 0, \\ x - 4 \le 0. \end{cases} $

Решим каждое неравенство отдельно.
1) Из неравенства $2 - x \le 0$ следует, что $2 \le x$, или $x \ge 2$.
2) Из неравенства $x - 4 \le 0$ следует, что $x \le 4$.
Решением системы является пересечение полученных множеств: $x \ge 2$ и $x \le 4$. Это можно записать в виде двойного неравенства $2 \le x \le 4$.
Таким образом, решение системы в виде отрезка: $x \in [2; 4]$.
Несколько чисел, которые являются решениями: 2, 3, 4.

Ответ: $x \in [2; 4]$. Примеры решений: 2, 3, 4.

в) Дана система неравенств:

$ \begin{cases} 1 > 3x, \\ 5x - 1 > 0. \end{cases} $

Решим каждое неравенство отдельно.
1) Из неравенства $1 > 3x$ следует, что $\frac{1}{3} > x$, или $x < \frac{1}{3}$.
2) Из неравенства $5x - 1 > 0$ следует, что $5x > 1$, то есть $x > \frac{1}{5}$.
Решением системы является пересечение полученных множеств: $x > \frac{1}{5}$ и $x < \frac{1}{3}$. Это можно записать в виде двойного неравенства $\frac{1}{5} < x < \frac{1}{3}$.
Таким образом, решение системы в виде интервала: $x \in (\frac{1}{5}; \frac{1}{3})$.
Несколько чисел, которые являются решениями: 0,25 (т.е. $\frac{1}{4}$), 0,3.

Ответ: $x \in (\frac{1}{5}; \frac{1}{3})$. Примеры решений: 0,25; 0,3.

г) Дана система неравенств:

$ \begin{cases} 10x < 2, \\ x > 0,1. \end{cases} $

Решим каждое неравенство отдельно.
1) Из неравенства $10x < 2$ следует, что $x < \frac{2}{10}$, то есть $x < 0,2$.
2) Второе неравенство системы $x > 0,1$.
Решением системы является пересечение полученных множеств: $x > 0,1$ и $x < 0,2$. Это можно записать в виде двойного неравенства $0,1 < x < 0,2$.
Таким образом, решение системы в виде интервала: $x \in (0,1; 0,2)$.
Несколько чисел, которые являются решениями: 0,11, 0,15, 0,19.

Ответ: $x \in (0,1; 0,2)$. Примеры решений: 0,11, 0,15, 0,19.

879. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} 0,4x - 1 \le 0, \\ 2,3x \ge 4,6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 0,7x - 2,1 < 0, \\ \frac{2}{3}x > 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 0,3x > 4, \\ 0,2x + 1 < 6; \end{cases}$

г) $ \begin{cases} \frac{5}{6}x - 10 \le 0, \\ 3x \le 1\frac{1}{3}. \end{cases} $

а)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:
$0,4x - 1 \le 0$
$0,4x \le 1$
$x \le \frac{1}{0,4}$
$x \le 2,5$

Второе неравенство:
$2,3x \ge 4,6$
$x \ge \frac{4,6}{2,3}$
$x \ge 2$

Теперь найдем пересечение полученных решений. Нам нужно найти все значения $x$, для которых одновременно выполняются условия $x \le 2,5$ и $x \ge 2$.
На числовой оси это будет промежуток, заключенный между 2 и 2,5, включая концы.
Таким образом, решение системы неравенств: $2 \le x \le 2,5$.

Ответ: $[2; 2,5]$.

б)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:
$0,7x - 2,1 < 0$
$0,7x < 2,1$
$x < \frac{2,1}{0,7}$
$x < 3$

Второе неравенство:
$\frac{2}{3}x > 1$
$x > 1 \cdot \frac{3}{2}$
$x > 1,5$

Найдем пересечение решений: $x < 3$ и $x > 1,5$.
Это означает, что $x$ находится в интервале между 1,5 и 3, не включая концы.
Таким образом, решение системы неравенств: $1,5 < x < 3$.

Ответ: $(1,5; 3)$.

в)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:
$0,3x > 4$
$x > \frac{4}{0,3}$
$x > \frac{40}{3}$
$x > 13\frac{1}{3}$

Второе неравенство:
$0,2x + 1 < 6$
$0,2x < 5$
$x < \frac{5}{0,2}$
$x < 25$

Найдем пересечение решений: $x > 13\frac{1}{3}$ и $x < 25$.
Это означает, что $x$ находится в интервале между $13\frac{1}{3}$ и 25, не включая концы.
Таким образом, решение системы неравенств: $13\frac{1}{3} < x < 25$.

Ответ: $(13\frac{1}{3}; 25)$.

г)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:
$\frac{5}{6}x - 10 \le 0$
$\frac{5}{6}x \le 10$
$x \le 10 \cdot \frac{6}{5}$
$x \le 12$

Второе неравенство:
$3x \le 1\frac{1}{3}$
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
$3x \le \frac{4}{3}$
$x \le \frac{4}{3 \cdot 3}$
$x \le \frac{4}{9}$

Найдем пересечение решений: $x \le 12$ и $x \le \frac{4}{9}$.
Поскольку $\frac{4}{9} < 12$, то пересечением этих двух множеств будет более строгое условие $x \le \frac{4}{9}$.
Это соответствует числовому промежутку $(-\infty; \frac{4}{9}]$.

Ответ: $(-\infty; \frac{4}{9}]$.

880. Решите систему неравенств:

a) $ \begin{cases} 0.6x + 7.2 > 0, \\ 5.2 \ge 2.6x; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 1.5x + 4.5 \le 0, \\ \frac{1}{9}x \ge 1; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 0.2x < 3, \\ \frac{1}{6}x > 0; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 2x - 6.5 < 0, \\ \frac{1}{3}x < -1. \end{cases} $

а)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 0,6x + 7,2 > 0, \\ 5,2 \ge 2,6x; \end{cases} $

Решаем первое неравенство:

$0,6x > -7,2$

$x > \frac{-7,2}{0,6}$

$x > -12$

Решаем второе неравенство:

$5,2 \ge 2,6x$

$\frac{5,2}{2,6} \ge x$

$2 \ge x$, что равносильно $x \le 2$

Найдем пересечение полученных решений: $x > -12$ и $x \le 2$. На числовой прямой это будет интервал, ограниченный слева числом -12 (не включая его) и справа числом 2 (включая его).

Таким образом, решение системы: $-12 < x \le 2$.

Ответ: $(-12; 2]$.

б)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 1,5x + 4,5 \le 0, \\ \frac{1}{9}x \ge 1; \end{cases} $

Решаем первое неравенство:

$1,5x \le -4,5$

$x \le \frac{-4,5}{1,5}$

$x \le -3$

Решаем второе неравенство:

$\frac{1}{9}x \ge 1$

Умножим обе части неравенства на 9 (знак неравенства не меняется):

$x \ge 9$

Теперь необходимо найти пересечение множеств решений: $x \le -3$ и $x \ge 9$. Не существует числа, которое было бы одновременно меньше или равно -3 и больше или равно 9. Следовательно, пересечение этих множеств пустое.

Ответ: нет решений.

в)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 0,2x < 3, \\ \frac{1}{6}x > 0; \end{cases} $

Решаем первое неравенство:

$0,2x < 3$

$x < \frac{3}{0,2}$

$x < 15$

Решаем второе неравенство:

$\frac{1}{6}x > 0$

Умножим обе части неравенства на 6:

$x > 0$

Найдем пересечение решений: $x < 15$ и $x > 0$. Это соответствует двойному неравенству $0 < x < 15$.

Ответ: $(0; 15)$.

г)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x - 6,5 < 0, \\ \frac{1}{3}x < -1. \end{cases} $

Решаем первое неравенство:

$2x < 6,5$

$x < \frac{6,5}{2}$

$x < 3,25$

Решаем второе неравенство:

$\frac{1}{3}x < -1$

Умножим обе части неравенства на 3:

$x < -3$

Найдем пересечение решений: $x < 3,25$ и $x < -3$. Если число меньше -3, то оно автоматически меньше и 3,25. Поэтому пересечением этих двух условий является более сильное условие $x < -3$.

Ответ: $(-\infty; -3)$.