Страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

881. Решите систему неравенств:

а) $\begin{cases} 2x - 1 < 1,4 - x \\ 3x - 2 > x - 4 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 5x + 6 \le x \\ 3x + 12 \le x + 17 \end{cases}$

в) $\begin{cases} 17x - 2 > 12x - 1 \\ 3 - 9x < 1 - x \end{cases}$

г) $\begin{cases} 25 - 6x \le 4 + x \\ 3x + 7,7 > 1 + 4x \end{cases}$

а) $\begin{cases} 2x-1 < 1,4-x, \\ 3x-2 > x-4. \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы отдельно.
1) Решаем первое неравенство:
$2x - 1 < 1,4 - x$
$2x + x < 1,4 + 1$
$3x < 2,4$
$x < 0,8$

2) Решаем второе неравенство:
$3x - 2 > x - 4$
$3x - x > -4 + 2$
$2x > -2$
$x > -1$

Решение системы — это пересечение решений обоих неравенств, то есть все значения $x$, для которых одновременно выполняются условия $x < 0,8$ и $x > -1$. Это соответствует промежутку $(-1; 0,8)$.

Ответ: $(-1; 0,8)$.

б) $\begin{cases} 5x + 6 \le x, \\ 3x + 12 \le x + 17. \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы отдельно.
1) Решаем первое неравенство:
$5x + 6 \le x$
$5x - x \le -6$
$4x \le -6$
$x \le -\frac{6}{4}$
$x \le -1,5$

2) Решаем второе неравенство:
$3x + 12 \le x + 17$
$3x - x \le 17 - 12$
$2x \le 5$
$x \le 2,5$

Решение системы — это пересечение решений обоих неравенств: $x \le -1,5$ и $x \le 2,5$. Пересечением является более строгое условие, то есть $x \le -1,5$. Это соответствует промежутку $(-\infty; -1,5]$.

Ответ: $(-\infty; -1,5]$.

в) $\begin{cases} 17x - 2 > 12x - 1, \\ 3 - 9x < 1 - x. \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы отдельно.
1) Решаем первое неравенство:
$17x - 2 > 12x - 1$
$17x - 12x > -1 + 2$
$5x > 1$
$x > \frac{1}{5}$
$x > 0,2$

2) Решаем второе неравенство:
$3 - 9x < 1 - x$
$3 - 1 < 9x - x$
$2 < 8x$
$x > \frac{2}{8}$
$x > 0,25$

Решение системы — это пересечение решений обоих неравенств: $x > 0,2$ и $x > 0,25$. Пересечением является более строгое условие, то есть $x > 0,25$. Это соответствует промежутку $(0,25; +\infty)$.

Ответ: $(0,25; +\infty)$.

г) $\begin{cases} 25 - 6x \le 4 + x, \\ 3x + 7,7 > 1 + 4x. \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы отдельно.
1) Решаем первое неравенство:
$25 - 6x \le 4 + x$
$25 - 4 \le x + 6x$
$21 \le 7x$
$3 \le x$

2) Решаем второе неравенство:
$3x + 7,7 > 1 + 4x$
$7,7 - 1 > 4x - 3x$
$6,7 > x$

Решение системы — это пересечение решений обоих неравенств, то есть все значения $x$, для которых одновременно выполняются условия $x \ge 3$ и $x < 6,7$. Это соответствует промежутку $[3; 6,7)$.

Ответ: $[3; 6,7)$.

882. Решите систему неравенств:

а) $\begin{cases} 57 - 7x > 3x - 2, \\ 22x - 1 < 2x + 47; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 1 - 12y < 3y + 1, \\ 2 - 6y > 4 + 4y; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 102 - 73z > 2z + 2, \\ 81 + 11z \ge 1 + z; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 6 + 6.2x \ge 12 - 1.8x, \\ 2 - x \ge 3.5 - 2x. \end{cases}$

а) Решим данную систему неравенств:

$\begin{cases} 57 - 7x > 3x - 2, \\ 22x - 1 < 2x + 47; \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) $57 - 7x > 3x - 2$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$-7x - 3x > -2 - 57$

$-10x > -59$

Разделим обе части неравенства на -10, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < \frac{-59}{-10}$

$x < 5,9$

2) $22x - 1 < 2x + 47$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$22x - 2x < 47 + 1$

$20x < 48$

$x < \frac{48}{20}$

$x < 2,4$

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x < 5,9$ и $x < 2,4$. Общим решением будет интервал, удовлетворяющий обоим условиям, то есть $x < 2,4$.

Ответ: $(-\infty; 2,4)$.

б) Решим данную систему неравенств:

$\begin{cases} 1 - 12y < 3y + 1, \\ 2 - 6y > 4 + 4y; \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) $1 - 12y < 3y + 1$

$-12y - 3y < 1 - 1$

$-15y < 0$

Разделим обе части на -15, изменив знак неравенства на противоположный:

$y > 0$

2) $2 - 6y > 4 + 4y$

$-6y - 4y > 4 - 2$

$-10y > 2$

Разделим обе части на -10, изменив знак неравенства на противоположный:

$y < \frac{2}{-10}$

$y < -0,2$

Найдем пересечение решений: $y > 0$ и $y < -0,2$. Не существует числа, которое одновременно больше 0 и меньше -0,2. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

в) Решим данную систему неравенств:

$\begin{cases} 102 - 73z > 2z + 2, \\ 81 + 11z \ge 1 + z; \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) $102 - 73z > 2z + 2$

$-73z - 2z > 2 - 102$

$-75z > -100$

Разделим обе части на -75, изменив знак неравенства на противоположный:

$z < \frac{-100}{-75}$

$z < \frac{4}{3}$

2) $81 + 11z \ge 1 + z$

$11z - z \ge 1 - 81$

$10z \ge -80$

$z \ge \frac{-80}{10}$

$z \ge -8$

Найдем пересечение решений: $z < \frac{4}{3}$ и $z \ge -8$. Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство: $-8 \le z < \frac{4}{3}$.

Ответ: $[-8; \frac{4}{3})$.

г) Решим данную систему неравенств:

$\begin{cases} 6 + 6,2x \ge 12 - 1,8x, \\ 2 - x \ge 3,5 - 2x. \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) $6 + 6,2x \ge 12 - 1,8x$

$6,2x + 1,8x \ge 12 - 6$

$8x \ge 6$

$x \ge \frac{6}{8}$

$x \ge 0,75$

2) $2 - x \ge 3,5 - 2x$

$-x + 2x \ge 3,5 - 2$

$x \ge 1,5$

Найдем пересечение решений: $x \ge 0,75$ и $x \ge 1,5$. Общим решением будет интервал, удовлетворяющий обоим условиям, то есть $x \ge 1,5$.

Ответ: $[1,5; +\infty)$.

883. Укажите допустимые значения переменной:

а) $\sqrt{3-2x} + \sqrt{1-x}$;

б) $\sqrt{x} - \sqrt{3x-1}$;

в) $\sqrt{6-x} - \sqrt{3x-9}$;

г) $\sqrt{2x+2} + \sqrt{6-4x}$.

а)

Область допустимых значений переменной для выражения $\sqrt{3-2x} + \sqrt{1-x}$ находится из условия, что оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

Решим первое неравенство:
$3 - 2x \ge 0$
$-2x \ge -3$
$x \le \frac{3}{2}$

Решим второе неравенство:
$1 - x \ge 0$
$-x \ge -1$
$x \le 1$

Пересечением множеств решений $x \le \frac{3}{2}$ и $x \le 1$ является множество значений $x \le 1$.

Ответ: $x \le 1$.

б)

Область допустимых значений переменной для выражения $\sqrt{x} - \sqrt{3x-1}$ находится из условия, что оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

Первое неравенство $x \ge 0$ уже решено.

Решим второе неравенство:
$3x - 1 \ge 0$
$3x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{3}$

Пересечением множеств решений $x \ge 0$ и $x \ge \frac{1}{3}$ является множество значений $x \ge \frac{1}{3}$.

Ответ: $x \ge \frac{1}{3}$.

в)

Область допустимых значений переменной для выражения $\sqrt{6-x} - \sqrt{3x-9}$ находится из условия, что оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

Решим первое неравенство:
$6 - x \ge 0$
$-x \ge -6$
$x \le 6$

Решим второе неравенство:
$3x - 9 \ge 0$
$3x \ge 9$
$x \ge 3$

Пересечением множеств решений $x \le 6$ и $x \ge 3$ является множество значений $3 \le x \le 6$.

Ответ: $3 \le x \le 6$.

г)

Область допустимых значений переменной для выражения $\sqrt{2x+2} + \sqrt{6-4x}$ находится из условия, что оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

Решим первое неравенство:
$2x + 2 \ge 0$
$2x \ge -2$
$x \ge -1$

Решим второе неравенство:
$6 - 4x \ge 0$
$-4x \ge -6$
$x \le \frac{6}{4}$
$x \le \frac{3}{2}$

Пересечением множеств решений $x \ge -1$ и $x \le \frac{3}{2}$ является множество значений $-1 \le x \le \frac{3}{2}$.

Ответ: $-1 \le x \le \frac{3}{2}$.

884. Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{x-2}{\sqrt{x+6}-\sqrt{2x-5}}$;

б) $y = \frac{6}{\sqrt{2x-1}-\sqrt{x+1}}$.

а) $y = \frac{x-2}{\sqrt{x+6} - \sqrt{2x-5}}$

Область определения функции находится из следующих условий:

1. Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными.

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Запишем эти условия в виде системы неравенств:

$\begin{cases} x+6 \ge 0 \\ 2x-5 \ge 0 \\ \sqrt{x+6} - \sqrt{2x-5} \ne 0 \end{cases}$

Решим первые два неравенства:

$x+6 \ge 0 \implies x \ge -6$

$2x-5 \ge 0 \implies 2x \ge 5 \implies x \ge 2.5$

Общим решением для этих двух неравенств является $x \ge 2.5$, то есть $x \in [2.5; +\infty)$.

Теперь решим третье условие (неравенство):

$\sqrt{x+6} - \sqrt{2x-5} \ne 0$

$\sqrt{x+6} \ne \sqrt{2x-5}$

Поскольку при $x \ge 2.5$ обе части неравенства определены и неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$x+6 \ne 2x-5$

$6+5 \ne 2x-x$

$11 \ne x$

Итак, мы должны исключить значение $x=11$ из найденного ранее промежутка $[2.5; +\infty)$.

В результате получаем область определения функции:

Ответ: $x \in [2.5; 11) \cup (11; +\infty)$

б) $y = \frac{6}{\sqrt{2x-1} - \sqrt{x+1}}$

Область определения этой функции также определяется двумя условиями: неотрицательностью подкоренных выражений и неравенством знаменателя нулю.

Составим систему:

$\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ x+1 \ge 0 \\ \sqrt{2x-1} - \sqrt{x+1} \ne 0 \end{cases}$

Решим первые два неравенства, чтобы найти допустимые значения для корней:

$2x-1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge 0.5$

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$

Пересечением этих условий является промежуток $x \ge 0.5$, или $x \in [0.5; +\infty)$.

Теперь решим условие для знаменателя:

$\sqrt{2x-1} - \sqrt{x+1} \ne 0$

$\sqrt{2x-1} \ne \sqrt{x+1}$

При $x \ge 0.5$ обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести в квадрат:

$2x-1 \ne x+1$

$2x-x \ne 1+1$

$x \ne 2$

Объединяя все условия, мы получаем, что $x$ должен быть больше или равен 0.5, но не должен быть равен 2.

Ответ: $x \in [0.5; 2) \cup (2; +\infty)$

885. Решите систему неравенств:

а) $ \begin{cases} 5(x - 2) - x > 2, \\ 1 - 3(x - 1) < -2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 2y - (y - 4) < 6, \\ y > 3(2y - 1) + 18; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 7x + 3 \ge 5(x - 4) + 1, \\ 4x + 1 \le 43 - 3(7 + x); \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 3(2 - 3p) - 2(3 - 2p) > p, \\ 6 < p^2 - p(p - 8). \end{cases} $

а) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 5(x - 2) - x > 2 \\ 1 - 3(x - 1) < -2 \end{cases} $
Сначала решим первое неравенство:
$5(x - 2) - x > 2$
$5x - 10 - x > 2$
$4x - 10 > 2$
$4x > 12$
$x > 3$
Теперь решим второе неравенство:
$1 - 3(x - 1) < -2$
$1 - 3x + 3 < -2$
$4 - 3x < -2$
$-3x < -6$
$x > 2$ (делим на -3 и меняем знак неравенства)
Найдем пересечение решений $x > 3$ и $x > 2$. Общим решением системы является промежуток, где выполняются оба неравенства, то есть $x > 3$.
Ответ: $(3; +\infty)$

б) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 2y - (y - 4) < 6 \\ y > 3(2y - 1) + 18 \end{cases} $
Сначала решим первое неравенство:
$2y - (y - 4) < 6$
$2y - y + 4 < 6$
$y + 4 < 6$
$y < 2$
Теперь решим второе неравенство:
$y > 3(2y - 1) + 18$
$y > 6y - 3 + 18$
$y > 6y + 15$
$y - 6y > 15$
$-5y > 15$
$y < -3$ (делим на -5 и меняем знак неравенства)
Найдем пересечение решений $y < 2$ и $y < -3$. Общим решением системы является промежуток, где выполняются оба неравенства, то есть $y < -3$.
Ответ: $(-\infty; -3)$

в) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 7x + 3 \ge 5(x - 4) + 1 \\ 4x + 1 \le 43 - 3(7 + x) \end{cases} $
Сначала решим первое неравенство:
$7x + 3 \ge 5x - 20 + 1$
$7x + 3 \ge 5x - 19$
$7x - 5x \ge -19 - 3$
$2x \ge -22$
$x \ge -11$
Теперь решим второе неравенство:
$4x + 1 \le 43 - 3(7 + x)$
$4x + 1 \le 43 - 21 - 3x$
$4x + 1 \le 22 - 3x$
$4x + 3x \le 22 - 1$
$7x \le 21$
$x \le 3$
Найдем пересечение решений $x \ge -11$ и $x \le 3$. Общим решением системы является промежуток, где выполняются оба неравенства, то есть $-11 \le x \le 3$.
Ответ: $[-11; 3]$

г) Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 3(2 - 3p) - 2(3 - 2p) > p \\ 6 < p^2 - p(p - 8) \end{cases} $
Сначала решим первое неравенство:
$3(2 - 3p) - 2(3 - 2p) > p$
$6 - 9p - 6 + 4p > p$
$-5p > p$
$-6p > 0$
$p < 0$ (делим на -6 и меняем знак неравенства)
Теперь решим второе неравенство:
$6 < p^2 - p(p - 8)$
$6 < p^2 - p^2 + 8p$
$6 < 8p$
$p > \frac{6}{8}$
$p > \frac{3}{4}$
Найдем пересечение решений $p < 0$ и $p > \frac{3}{4}$. Не существует числа, которое одновременно меньше 0 и больше $\frac{3}{4}$. Следовательно, пересечение этих множеств пусто.
Ответ: нет решений

886. Решите систему неравенств:

а) $\begin{cases}2(x - 1) - 3(x - 2) < x, \\6x - 3 < 17 - (x - 5);\end{cases}$

б) $\begin{cases}3.3 - 3(1.2 - 5x) > 0.6(10x + 1), \\1.6 - 4.5(4x - 1) < 2x + 26.1;\end{cases}$

в) $\begin{cases}5.8(1 - a) - 1.8(6 - a) < 5, \\8 - 4(2 - 5a) > -(5a + 6);\end{cases}$

г) $\begin{cases}x(x - 1) - (x^2 - 10) < 1 - 6x, \\3.5 - (x - 1.5) < 6 - 4x.\end{cases}$

а) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2(x - 1) - 3(x - 2) < x \\ 6x - 3 < 17 - (x - 5) \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$2(x - 1) - 3(x - 2) < x$
$2x - 2 - 3x + 6 < x$
$-x + 4 < x$
$4 < x + x$
$4 < 2x$
$2 < x$

Решим второе неравенство:
$6x - 3 < 17 - (x - 5)$
$6x - 3 < 17 - x + 5$
$6x - 3 < 22 - x$
$6x + x < 22 + 3$
$7x < 25$
$x < \frac{25}{7}$

Решением системы является пересечение промежутков $x > 2$ и $x < \frac{25}{7}$.
Таким образом, $2 < x < \frac{25}{7}$.

Ответ: $(2; \frac{25}{7})$

б) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3,3 - 3(1,2 - 5x) > 0,6(10x + 1) \\ 1,6 - 4,5(4x - 1) < 2x + 26,1 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$3,3 - 3(1,2 - 5x) > 0,6(10x + 1)$
$3,3 - 3,6 + 15x > 6x + 0,6$
$-0,3 + 15x > 6x + 0,6$
$15x - 6x > 0,6 + 0,3$
$9x > 0,9$
$x > 0,1$

Решим второе неравенство:
$1,6 - 4,5(4x - 1) < 2x + 26,1$
$1,6 - 18x + 4,5 < 2x + 26,1$
$6,1 - 18x < 2x + 26,1$
$6,1 - 26,1 < 2x + 18x$
$-20 < 20x$
$-1 < x$

Решением системы является пересечение промежутков $x > 0,1$ и $x > -1$.
Таким образом, $x > 0,1$.

Ответ: $(0,1; +\infty)$

в) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 5,8(1 - a) - 1,8(6 - a) < 5 \\ 8 - 4(2 - 5a) > -(5a + 6) \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$5,8(1 - a) - 1,8(6 - a) < 5$
$5,8 - 5,8a - 10,8 + 1,8a < 5$
$-5 - 4a < 5$
$-4a < 5 + 5$
$-4a < 10$
$a > \frac{10}{-4}$
$a > -2,5$

Решим второе неравенство:
$8 - 4(2 - 5a) > -(5a + 6)$
$8 - 8 + 20a > -5a - 6$
$20a > -5a - 6$
$20a + 5a > -6$
$25a > -6$
$a > -\frac{6}{25}$
$a > -0,24$

Решением системы является пересечение промежутков $a > -2,5$ и $a > -0,24$.
Таким образом, $a > -0,24$.

Ответ: $(-0,24; +\infty)$

г) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x(x - 1) - (x^2 - 10) < 1 - 6x \\ 3,5 - (x - 1,5) < 6 - 4x \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$x(x - 1) - (x^2 - 10) < 1 - 6x$
$x^2 - x - x^2 + 10 < 1 - 6x$
$-x + 10 < 1 - 6x$
$-x + 6x < 1 - 10$
$5x < -9$
$x < -\frac{9}{5}$
$x < -1,8$

Решим второе неравенство:
$3,5 - (x - 1,5) < 6 - 4x$
$3,5 - x + 1,5 < 6 - 4x$
$5 - x < 6 - 4x$
$-x + 4x < 6 - 5$
$3x < 1$
$x < \frac{1}{3}$

Решением системы является пересечение промежутков $x < -1,8$ и $x < \frac{1}{3}$.
Так как $-1,8 < \frac{1}{3}$, то пересечением является $x < -1,8$.

Ответ: $(-\infty; -1,8)$