Страница 197 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

874. Является ли число 3 решением системы неравенств:

a) $\begin{cases} 6x - 1 > x, \\ 4x - 32 < 3x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 7x < 5x + 7, \\ 3x - 1 > 5 - x; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5x + 4 < 20, \\ 3 - 2x > -1? \end{cases}$

Чтобы определить, является ли число 3 решением системы неравенств, нужно подставить это число вместо переменной x в каждое неравенство системы. Число является решением системы, если оно удовлетворяет каждому из неравенств, то есть каждое неравенство при подстановке этого числа обращается в верное числовое неравенство.

а)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 6x - 1 > x, \\ 4x - 32 < 3x \end{cases} $$

Подставим значение $x = 3$ в каждое неравенство:

1) $6 \cdot 3 - 1 > 3$

$18 - 1 > 3$

$17 > 3$ (верно)

2) $4 \cdot 3 - 32 < 3 \cdot 3$

$12 - 32 < 9$

$-20 < 9$ (верно)

Так как оба неравенства обратились в верные числовые равенства, число 3 является решением данной системы.

Ответ: да, является.

б)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 7x < 5x + 7, \\ 3x - 1 > 5 - x \end{cases} $$

Подставим значение $x = 3$ в каждое неравенство:

1) $7 \cdot 3 < 5 \cdot 3 + 7$

$21 < 15 + 7$

$21 < 22$ (верно)

2) $3 \cdot 3 - 1 > 5 - 3$

$9 - 1 > 2$

$8 > 2$ (верно)

Так как оба неравенства обратились в верные числовые равенства, число 3 является решением данной системы.

Ответ: да, является.

в)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 5x + 4 < 20, \\ 3 - 2x > -1 \end{cases} $$

Подставим значение $x = 3$ в каждое неравенство:

1) $5 \cdot 3 + 4 < 20$

$15 + 4 < 20$

$19 < 20$ (верно)

2) $3 - 2 \cdot 3 > -1$

$3 - 6 > -1$

$-3 > -1$ (неверно)

Поскольку второе неравенство обратилось в неверное числовое неравенство, число 3 не является решением данной системы, несмотря на то, что удовлетворяет первому неравенству.

Ответ: нет, не является.

875. Какие из чисел -2, 0, 5, 6 являются решениями системы неравенств

$\begin{cases}3x - 22 < 0, \\2x - 1 > 3?\end{cases}$

Чтобы определить, какие из предложенных чисел являются решениями системы неравенств, можно решить саму систему и затем проверить, какие из чисел принадлежат найденному интервалу решений. Либо можно подставить каждое число в систему и проверить, выполняются ли оба неравенства.

Рассмотрим первый, более общий способ. Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x - 22 < 0, \\ 2x - 1 > 3 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$3x - 22 < 0$

Перенесем $22$ в правую часть с противоположным знаком:

$3x < 22$

Разделим обе части на $3$:

$x < \frac{22}{3}$

Для удобства представим неправильную дробь в виде смешанного числа:

$x < 7\frac{1}{3}$

2. Решим второе неравенство:

$2x - 1 > 3$

Перенесем $1$ в правую часть с противоположным знаком:

$2x > 3 + 1$

$2x > 4$

Разделим обе части на $2$:

$x > 2$

3. Найдем общее решение системы.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств, то есть все числа $x$, которые одновременно больше $2$ и меньше $7\frac{1}{3}$.

Запишем это в виде двойного неравенства:

$2 < x < 7\frac{1}{3}$

Таким образом, решением системы является числовой интервал $(2; 7\frac{1}{3})$.

Теперь проверим, какие из предложенных чисел ($-2, 0, 5, 6$) принадлежат этому интервалу.

Проверка числа -2

Число $-2$ не принадлежит интервалу $(2; 7\frac{1}{3})$, так как $-2 < 2$. Следовательно, $-2$ не является решением системы.

Проверка числа 0

Число $0$ не принадлежит интервалу $(2; 7\frac{1}{3})$, так как $0 < 2$. Следовательно, $0$ не является решением системы.

Проверка числа 5

Число $5$ принадлежит интервалу $(2; 7\frac{1}{3})$, так как выполняется двойное неравенство $2 < 5 < 7\frac{1}{3}$. Следовательно, $5$ является решением системы.

Проверка числа 6

Число $6$ принадлежит интервалу $(2; 7\frac{1}{3})$, так как выполняется двойное неравенство $2 < 6 < 7\frac{1}{3}$. Следовательно, $6$ является решением системы.

Ответ: 5, 6.