Страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

887. Решите систему неравенств и укажите все целые числа, которые являются её решениями:

а) $\begin{cases} 3 - 2a < 13 \\ 5a < 17 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 12 - 6x \le 0 \\ 3x + 1 \le 25 - x \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2 - 6y < 14 \\ 1 < 21 - 5y \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3 - 4x < 15 \\ 1 - 2x > 0 \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3 - 2a < 13 \\ 5a < 17 \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Из первого неравенства $3 - 2a < 13$ получаем:

$-2a < 13 - 3$

$-2a < 10$

Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:

$a > \frac{10}{-2} \implies a > -5$

2. Из второго неравенства $5a < 17$ получаем:

$a < \frac{17}{5} \implies a < 3.4$

3. Объединяем полученные решения. Искомое значение $a$ должно удовлетворять обоим условиям: $a > -5$ и $a < 3.4$.

Таким образом, решение системы: $-5 < a < 3.4$.

Целые числа, входящие в этот интервал: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

б)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 12 - 6x \le 0 \\ 3x + 1 \le 25 - x \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Из первого неравенства $12 - 6x \le 0$ получаем:

$-6x \le -12$

Разделим обе части на -6, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \ge \frac{-12}{-6} \implies x \ge 2$

2. Из второго неравенства $3x + 1 \le 25 - x$ получаем:

$3x + x \le 25 - 1$

$4x \le 24$

$x \le \frac{24}{4} \implies x \le 6$

3. Объединяем полученные решения: $x \ge 2$ и $x \le 6$.

Таким образом, решение системы: $2 \le x \le 6$.

Целые числа, входящие в этот отрезок: 2, 3, 4, 5, 6.

Ответ: 2, 3, 4, 5, 6.

в)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2 - 6y < 14 \\ 1 < 21 - 5y \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Из первого неравенства $2 - 6y < 14$ получаем:

$-6y < 14 - 2$

$-6y < 12$

Разделим обе части на -6, изменив знак неравенства на противоположный:

$y > \frac{12}{-6} \implies y > -2$

2. Из второго неравенства $1 < 21 - 5y$ получаем:

$5y < 21 - 1$

$5y < 20$

$y < \frac{20}{5} \implies y < 4$

3. Объединяем полученные решения: $y > -2$ и $y < 4$.

Таким образом, решение системы: $-2 < y < 4$.

Целые числа, входящие в этот интервал: -1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: -1, 0, 1, 2, 3.

г)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3 - 4x < 15 \\ 1 - 2x > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Из первого неравенства $3 - 4x < 15$ получаем:

$-4x < 15 - 3$

$-4x < 12$

Разделим обе части на -4, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > \frac{12}{-4} \implies x > -3$

2. Из второго неравенства $1 - 2x > 0$ получаем:

$-2x > -1$

Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < \frac{-1}{-2} \implies x < 0.5$

3. Объединяем полученные решения: $x > -3$ и $x < 0.5$.

Таким образом, решение системы: $-3 < x < 0.5$.

Целые числа, входящие в этот интервал: -2, -1, 0.

Ответ: -2, -1, 0.

888. Найдите целые решения системы неравенств:

a) $ \begin{cases} y \ge 0, \\ 7,2 - y \ge 4; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 12a - 37 > 0, \\ 6a \le 42; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 6 - 4b > 0, \\ 3b - 1 > 0; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 3 - 18x < 0, \\ 0,2 - 0,1x > 0. \end{cases} $

а) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge 0, \\ 7,2 - y \ge 4; \end{cases} $
Первое неравенство $y \ge 0$ уже дано. Оно означает, что искомые целые числа должны быть неотрицательными.
Решим второе неравенство:
$7,2 - y \ge 4$
Перенесем 7,2 в правую часть:
$-y \ge 4 - 7,2$
$-y \ge -3,2$
Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$y \le 3,2$
Теперь объединим оба условия: $y \ge 0$ и $y \le 3,2$. Получаем двойное неравенство:
$0 \le y \le 3,2$
Целыми числами, удовлетворяющими этому неравенству, являются 0, 1, 2, 3.
Ответ: 0, 1, 2, 3.

б) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 12a - 37 > 0, \\ 6a \le 42; \end{cases} $
Решим первое неравенство:
$12a - 37 > 0$
$12a > 37$
$a > \frac{37}{12}$
$a > 3\frac{1}{12}$
Решим второе неравенство:
$6a \le 42$
$a \le \frac{42}{6}$
$a \le 7$
Объединяем полученные решения: $3\frac{1}{12} < a \le 7$.
Целыми числами, которые принадлежат этому промежутку, являются 4, 5, 6, 7.
Ответ: 4, 5, 6, 7.

в) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 6 - 4b > 0, \\ 3b - 1 > 0; \end{cases} $
Решим первое неравенство:
$6 - 4b > 0$
$-4b > -6$
Разделим обе части на -4, изменив знак неравенства:
$b < \frac{-6}{-4}$
$b < \frac{3}{2}$ или $b < 1,5$
Решим второе неравенство:
$3b - 1 > 0$
$3b > 1$
$b > \frac{1}{3}$
Объединим решения: $\frac{1}{3} < b < 1,5$.
Единственное целое число, которое находится в этом интервале, — это 1.
Ответ: 1.

г) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3 - 18x < 0, \\ 0,2 - 0,1x > 0. \end{cases} $
Решим первое неравенство:
$3 - 18x < 0$
$-18x < -3$
Разделим обе части на -18, изменив знак неравенства:
$x > \frac{-3}{-18}$
$x > \frac{1}{6}$
Решим второе неравенство:
$0,2 - 0,1x > 0$
$-0,1x > -0,2$
Разделим обе части на -0,1, изменив знак неравенства:
$x < \frac{-0,2}{-0,1}$
$x < 2$
Объединим решения: $\frac{1}{6} < x < 2$.
Единственное целое число, удовлетворяющее этому двойному неравенству, — это 1.
Ответ: 1.

889. Решите систему неравенств:

а) $\begin{cases}2.5a - 0.5(8 - a) < a + 1.6 \\1.5(2a - 1) - 2a < a + 2.9\end{cases}$

б) $\begin{cases}0.7(5a + 1) - 0.5(1 + a) < 3a \\2a - (a - 1.7) > 6.7\end{cases}$

а) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 2,5a - 0,5(8 - a) < a + 1,6, \\ 1,5(2a - 1) - 2a < a + 2,9; \end{cases} $$

Решим первое неравенство системы:

$2,5a - 0,5(8 - a) < a + 1,6$

Раскроем скобки в левой части:

$2,5a - 4 + 0,5a < a + 1,6$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3a - 4 < a + 1,6$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $a$, в левую часть, а свободные члены — в правую, изменяя их знаки на противоположные:

$3a - a < 1,6 + 4$

$2a < 5,6$

Разделим обе части неравенства на 2:

$a < 2,8$

Теперь решим второе неравенство системы:

$1,5(2a - 1) - 2a < a + 2,9$

Раскроем скобки в левой части:

$3a - 1,5 - 2a < a + 2,9$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$a - 1,5 < a + 2,9$

Перенесем слагаемые с переменной $a$ в левую часть:

$a - a < 2,9 + 1,5$

$0 < 4,4$

Полученное неравенство является верным числовым неравенством. Это означает, что второе неравенство системы выполняется при любом значении переменной $a$. Решением второго неравенства является множество всех действительных чисел: $a \in (-\infty; +\infty)$.

Решением системы неравенств является пересечение решений каждого из неравенств. Нам нужно найти пересечение множеств $a < 2,8$ и $a \in (-\infty; +\infty)$.

Пересечением этих множеств является интервал $(-\infty; 2,8)$.

Ответ: $a \in (-\infty; 2,8)$.

б) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 0,7(5a + 1) - 0,5(1 + a) < 3a, \\ 2a - (a - 1,7) > 6,7. \end{cases} $$

Решим первое неравенство системы:

$0,7(5a + 1) - 0,5(1 + a) < 3a$

Раскроем скобки:

$3,5a + 0,7 - 0,5 - 0,5a < 3a$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3a + 0,2 < 3a$

Перенесем слагаемые с переменной $a$ в одну сторону:

$3a - 3a < -0,2$

$0 < -0,2$

Полученное неравенство является ложным, так как 0 не меньше -0,2. Это означает, что первое неравенство не имеет решений.

Поскольку решение системы неравенств должно удовлетворять каждому неравенству в системе, а первое неравенство не имеет решений, то и вся система неравенств не имеет решений.

Ответ: нет решений.

890. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{x}{4} < 7, \\ 1 - \frac{x}{6} > 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y - \frac{y-1}{2} > 1, \\ \frac{y}{3} < 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{3x-1}{2} - x \leq 2, \\ 2x - \frac{x}{3} \geq 1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 2p - \frac{p-2}{5} > 4, \\ \frac{p}{2} - \frac{p}{8} \leq 6. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{x}{4} < 7 \\ 1 - \frac{x}{6} > 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x}{3} + \frac{x}{4} < 7 $.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4, то есть на 12:
$ 12 \cdot \frac{x}{3} + 12 \cdot \frac{x}{4} < 7 \cdot 12 $
$ 4x + 3x < 84 $
$ 7x < 84 $
$ x < \frac{84}{7} $
$ x < 12 $

2. Решим второе неравенство: $ 1 - \frac{x}{6} > 0 $.
Перенесем $ \frac{x}{6} $ в правую часть:
$ 1 > \frac{x}{6} $
Умножим обе части на 6:
$ 6 > x $, или $ x < 6 $.

3. Найдем пересечение решений. Мы получили два условия: $ x < 12 $ и $ x < 6 $. Решением системы является общая часть этих промежутков. Оба неравенства выполняются одновременно, когда $ x < 6 $.

Ответ: $ x \in (-\infty; 6) $.

б)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} y - \frac{y-1}{2} > 1 \\ \frac{y}{3} < 5 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ y - \frac{y-1}{2} > 1 $.
Умножим обе части на 2:
$ 2y - (y-1) > 2 $
$ 2y - y + 1 > 2 $
$ y + 1 > 2 $
$ y > 2 - 1 $
$ y > 1 $

2. Решим второе неравенство: $ \frac{y}{3} < 5 $.
Умножим обе части на 3:
$ y < 5 \cdot 3 $
$ y < 15 $

3. Найдем пересечение решений: $ y > 1 $ и $ y < 15 $. Это можно записать в виде двойного неравенства: $ 1 < y < 15 $.

Ответ: $ y \in (1; 15) $.

в)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{3x-1}{2} - x \le 2 \\ 2x - \frac{x}{3} \ge 1 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{3x-1}{2} - x \le 2 $.
Умножим обе части на 2:
$ 3x - 1 - 2x \le 4 $
$ x - 1 \le 4 $
$ x \le 4 + 1 $
$ x \le 5 $

2. Решим второе неравенство: $ 2x - \frac{x}{3} \ge 1 $.
Умножим обе части на 3:
$ 6x - x \ge 3 $
$ 5x \ge 3 $
$ x \ge \frac{3}{5} $

3. Найдем пересечение решений: $ x \le 5 $ и $ x \ge \frac{3}{5} $. Это можно записать в виде двойного неравенства: $ \frac{3}{5} \le x \le 5 $.

Ответ: $ x \in [\frac{3}{5}; 5] $.

г)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2p - \frac{p-2}{5} > 4 \\ \frac{p}{2} - \frac{p}{8} \le 6 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ 2p - \frac{p-2}{5} > 4 $.
Умножим обе части на 5:
$ 10p - (p-2) > 20 $
$ 10p - p + 2 > 20 $
$ 9p > 20 - 2 $
$ 9p > 18 $
$ p > 2 $

2. Решим второе неравенство: $ \frac{p}{2} - \frac{p}{8} \le 6 $.
Умножим обе части на 8:
$ 4p - p \le 48 $
$ 3p \le 48 $
$ p \le \frac{48}{3} $
$ p \le 16 $

3. Найдем пересечение решений: $ p > 2 $ и $ p \le 16 $. Это можно записать в виде двойного неравенства: $ 2 < p \le 16 $.

Ответ: $ p \in (2; 16] $.

891. Решите систему неравенств:

а) $ \begin{cases} \frac{x-1}{2} - \frac{x-3}{3} < 2, \\ \frac{13x-1}{2} > 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \frac{3x+1}{2} < -1, \\ \frac{x}{2} - 1 < x; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 4 - \frac{y-1}{3} \ge y, \\ \frac{7y-1}{8} \ge 6; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} \frac{5a+8}{3} - a \ge 2a, \\ 1 - \frac{6-15a}{4} \ge a. \end{cases} $

а) Решим первое неравенство системы:
$\frac{x-1}{2} - \frac{x-3}{3} < 2$
Приведем дроби к общему знаменателю 6 и умножим обе части неравенства на 6:
$6 \cdot \frac{x-1}{2} - 6 \cdot \frac{x-3}{3} < 6 \cdot 2$
$3(x-1) - 2(x-3) < 12$
Раскроем скобки:
$3x - 3 - 2x + 6 < 12$
Приведем подобные слагаемые:
$x + 3 < 12$
$x < 12 - 3$
$x < 9$

Теперь решим второе неравенство системы:
$\frac{13x-1}{2} > 0$
Умножим обе части на 2:
$13x - 1 > 0$
$13x > 1$
$x > \frac{1}{13}$

Решением системы является пересечение двух полученных множеств: $x > \frac{1}{13}$ и $x < 9$.
Следовательно, решение системы: $\frac{1}{13} < x < 9$.
Ответ: $(\frac{1}{13}, 9)$.

б) Решим первое неравенство системы:
$\frac{3x+1}{2} < -1$
Умножим обе части неравенства на 2:
$3x + 1 < -2$
$3x < -2 - 1$
$3x < -3$
$x < -1$

Теперь решим второе неравенство системы:
$\frac{x}{2} - 1 < x$
Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а константы в другую:
$-1 < x - \frac{x}{2}$
$-1 < \frac{2x-x}{2}$
$-1 < \frac{x}{2}$
Умножим обе части на 2:
$-2 < x$, или $x > -2$

Решением системы является пересечение двух полученных множеств: $x < -1$ и $x > -2$.
Следовательно, решение системы: $-2 < x < -1$.
Ответ: $(-2, -1)$.

в) Решим первое неравенство системы:
$4 - \frac{y-1}{3} \ge y$
Умножим обе части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
$3 \cdot 4 - (y-1) \ge 3y$
$12 - y + 1 \ge 3y$
$13 - y \ge 3y$
$13 \ge 3y + y$
$13 \ge 4y$
$y \le \frac{13}{4}$
$y \le 3.25$

Теперь решим второе неравенство системы:
$\frac{7y-1}{8} \ge 6$
Умножим обе части на 8:
$7y - 1 \ge 48$
$7y \ge 49$
$y \ge \frac{49}{7}$
$y \ge 7$

Мы получили два условия: $y \le 3.25$ и $y \ge 7$. Не существует числа, которое одновременно удовлетворяло бы обоим этим условиям. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: нет решений.

г) Решим первое неравенство системы:
$\frac{5a+8}{3} - a \ge 2a$
Перенесем $-a$ в правую часть:
$\frac{5a+8}{3} \ge 3a$
Умножим обе части на 3:
$5a+8 \ge 9a$
$8 \ge 9a - 5a$
$8 \ge 4a$
$2 \ge a$, или $a \le 2$

Теперь решим второе неравенство системы:
$1 - \frac{6-15a}{4} \ge a$
Умножим обе части на 4:
$4 \cdot 1 - (6-15a) \ge 4a$
$4 - 6 + 15a \ge 4a$
$-2 + 15a \ge 4a$
$15a - 4a \ge 2$
$11a \ge 2$
$a \ge \frac{2}{11}$

Решением системы является пересечение двух полученных множеств: $a \le 2$ и $a \ge \frac{2}{11}$.
Следовательно, решение системы: $\frac{2}{11} \le a \le 2$.
Ответ: $[\frac{2}{11}, 2]$.

892. Решите двойное неравенство:

a) $-3 < 2x - 1 < 3;$

б) $-12 < 5 - x < 17;$

в) $2 < 6 - 2y < 5;$

г) $-1 < 5y + 4 < 19.$

а) В двойном неравенстве $-3 < 2x - 1 < 3$ необходимо выполнить преобразования со всеми тремя частями, чтобы выделить переменную $x$. Сначала прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-3 + 1 < 2x - 1 + 1 < 3 + 1$
$-2 < 2x < 4$
Теперь, чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 2:
$\frac{-2}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{4}{2}$
$-1 < x < 2$
Решение неравенства — это все числа, которые больше -1 и меньше 2.
Ответ: $x \in (-1; 2)$.

б) В неравенстве $-12 < 5 - x < 17$ сначала вычтем 5 из всех трех частей:
$-12 - 5 < 5 - x - 5 < 17 - 5$
$-17 < -x < 12$
Чтобы получить $x$, умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-17) \cdot (-1) > (-x) \cdot (-1) > 12 \cdot (-1)$
$17 > x > -12$
Для удобства записи перепишем неравенство в стандартном виде, от меньшего числа к большему:
$-12 < x < 17$
Ответ: $x \in (-12; 17)$.

в) В неравенстве $2 < 6 - 2y < 5$ сначала вычтем 6 из всех частей:
$2 - 6 < 6 - 2y - 6 < 5 - 6$
$-4 < -2y < -1$
Теперь разделим все части на -2. При делении на отрицательное число знаки неравенства нужно поменять на противоположные:
$\frac{-4}{-2} > \frac{-2y}{-2} > \frac{-1}{-2}$
$2 > y > \frac{1}{2}$
Запишем неравенство в стандартном виде:
$0.5 < y < 2$
Ответ: $y \in (0.5; 2)$.

г) В неравенстве $-1 < 5y + 4 < 19$ вычтем 4 из всех его частей:
$-1 - 4 < 5y + 4 - 4 < 19 - 4$
$-5 < 5y < 15$
Теперь разделим все части на положительное число 5. Знаки неравенства при этом не меняются:
$\frac{-5}{5} < \frac{5y}{5} < \frac{15}{5}$
$-1 < y < 3$
Ответ: $y \in (-1; 3)$.