Номер 890, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. Решение систем неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 890, страница 200.

890. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{x}{4} < 7, \\ 1 - \frac{x}{6} > 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y - \frac{y-1}{2} > 1, \\ \frac{y}{3} < 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{3x-1}{2} - x \leq 2, \\ 2x - \frac{x}{3} \geq 1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 2p - \frac{p-2}{5} > 4, \\ \frac{p}{2} - \frac{p}{8} \leq 6. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{x}{4} < 7 \\ 1 - \frac{x}{6} > 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x}{3} + \frac{x}{4} < 7 $.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4, то есть на 12:
$ 12 \cdot \frac{x}{3} + 12 \cdot \frac{x}{4} < 7 \cdot 12 $
$ 4x + 3x < 84 $
$ 7x < 84 $
$ x < \frac{84}{7} $
$ x < 12 $

2. Решим второе неравенство: $ 1 - \frac{x}{6} > 0 $.
Перенесем $ \frac{x}{6} $ в правую часть:
$ 1 > \frac{x}{6} $
Умножим обе части на 6:
$ 6 > x $, или $ x < 6 $.

3. Найдем пересечение решений. Мы получили два условия: $ x < 12 $ и $ x < 6 $. Решением системы является общая часть этих промежутков. Оба неравенства выполняются одновременно, когда $ x < 6 $.

Ответ: $ x \in (-\infty; 6) $.

б)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} y - \frac{y-1}{2} > 1 \\ \frac{y}{3} < 5 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ y - \frac{y-1}{2} > 1 $.
Умножим обе части на 2:
$ 2y - (y-1) > 2 $
$ 2y - y + 1 > 2 $
$ y + 1 > 2 $
$ y > 2 - 1 $
$ y > 1 $

2. Решим второе неравенство: $ \frac{y}{3} < 5 $.
Умножим обе части на 3:
$ y < 5 \cdot 3 $
$ y < 15 $

3. Найдем пересечение решений: $ y > 1 $ и $ y < 15 $. Это можно записать в виде двойного неравенства: $ 1 < y < 15 $.

Ответ: $ y \in (1; 15) $.

в)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{3x-1}{2} - x \le 2 \\ 2x - \frac{x}{3} \ge 1 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{3x-1}{2} - x \le 2 $.
Умножим обе части на 2:
$ 3x - 1 - 2x \le 4 $
$ x - 1 \le 4 $
$ x \le 4 + 1 $
$ x \le 5 $

2. Решим второе неравенство: $ 2x - \frac{x}{3} \ge 1 $.
Умножим обе части на 3:
$ 6x - x \ge 3 $
$ 5x \ge 3 $
$ x \ge \frac{3}{5} $

3. Найдем пересечение решений: $ x \le 5 $ и $ x \ge \frac{3}{5} $. Это можно записать в виде двойного неравенства: $ \frac{3}{5} \le x \le 5 $.

Ответ: $ x \in [\frac{3}{5}; 5] $.

г)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2p - \frac{p-2}{5} > 4 \\ \frac{p}{2} - \frac{p}{8} \le 6 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ 2p - \frac{p-2}{5} > 4 $.
Умножим обе части на 5:
$ 10p - (p-2) > 20 $
$ 10p - p + 2 > 20 $
$ 9p > 20 - 2 $
$ 9p > 18 $
$ p > 2 $

2. Решим второе неравенство: $ \frac{p}{2} - \frac{p}{8} \le 6 $.
Умножим обе части на 8:
$ 4p - p \le 48 $
$ 3p \le 48 $
$ p \le \frac{48}{3} $
$ p \le 16 $

3. Найдем пересечение решений: $ p > 2 $ и $ p \le 16 $. Это можно записать в виде двойного неравенства: $ 2 < p \le 16 $.

Ответ: $ p \in (2; 16] $.